Moment setrvačnosti komolého kužele

10.4.2009 19:07 | poslední úprava: 10.4.2009 19:06

Jako antropolog fyzikou a matematikou prilis nepoznamenany jsem se dostal k pro me zapeklitemu problemu: potřeboval bych vypočítat moment setrvačnosti komolého kužele otáčejícího se kolem osy kolmé na jeho výšku a procházející těžištěm. Prohledal jsem net i knihovny ale nikde nenasel reseni. Pokusil jsem se odvodit vzorec z momentu setrvačnosti kužele, ktery jsem našel zde: http://www.kmp.tul.cz/~kmp/imech/dynamika/hmottel/kuzel/kuzel.html a myslim ze se mi to i povedlo, ale vzorec vypada priserne je dlouhy a je v nem zbytecne moc promennych. Vim ze existuje elegantni reseni predpokladajici ovsem znalost integralu.. Bohužel nejsem schopen ani formulovat integrál z něhož by byl takový výpočet možný, natož to pak z něj vypočítat.. Budu moc vděčný za jakoukoli pomoc!

       

Komentáře

[bluemoon]

jedna se o riemannuv integral, nasel jsem ho treba zde

[kralyk z abclinuxu]

Má ten kužel kruhovou podstavu nebo nějakou hnusnou?

[vencour]

Já si jen už pamatuju, že se to řešilo jako rozdíl momentů dvou kuželů.

[#Tom]

Pro kinetickou energii hmotného bodu platí vztah

T = 1/2 m₀ v².

Při rovnoměrném pohybu po kružnici s úhlovou rychlostí ω máme v = ω r, kde r je vzdálenost od osy otáčení, máme

T = 1/2 m₀ r²ω² = 1/2 I₀ω²,

kde I₀ je moment setrvačnosti.

Pokud máme hmotných bodů více, platí pro jejich moment setrvačnosti

I = Σ_i I_i = Σ_i m_i r_i².

Pokud nejde o hmotné body, ale tuhé těleso, máme místo konečného součtu součet infinitezimální, tedy integrál:

I = ∫ r² dm.

Použít hmotnost jako integrační proměnnou se moc nehodí. Vyjádříme ji raději pomocí hustoty a objemu, tedy dm = ρ dV:

I = ∫ r² ρ dV.

Je-li hustota konstatní, lze ji vytknout před integrál.

Nyní je možné přikročit k vlastnímu výpočtu, který je v článku, který odkazujete. Počítat ale přímo z této definice moment setrvačnosti kolem obecné osy je docela pracné.

[Mesijé Integrál]

Seš hustej!

[Robert Krátký]

Konstantně?

[Veritas]

+1

[JS]

Muzu se jen tak ze zvedavosti zeptat, k cemu to potrebujete?

Kazdopadne, ja bych na to sel rozdilem tech 2 kuzelu a Steinerovou vetou, to mate asi nejjednodussi.

[David Jaša]

Kdopak ze zdejších vysvětlovačů a odkazovačů na Riemanna si všiml, že zadaná osa momentu setrvačnosti je v nejlepším případě kolmá na jeho výšku a tudíž i osu a v jakémkoliv jiném je ve zcela obecné poloze?

[David Jaša]

 Aneb kdo tu dá do zítřejší osmé hodiny ranní správně vyřešený integrál pro ten nejlepší možný případ, tedy:

moment setrvačnosti pro komolého kužele s kružnicovými podstavami, jejihž středy leží na stejné přímce, a které leží ve vzájemně různých rovnoběžných rovinách kolmých na osu kužele, okolo osy, jež je kolmá na osu kužele a prochází jeho těžištěm

má u mě pivo

[David Jaša]

s/pro//

[dementni.lojzik]

lol... jedno reseni mas nize

[David Jaša]

Příloha:

• Obrazek(12).jpg (45072 bytů)

 Opravdu? Hned ten první integrál od nuly do dvou pí vypadá na to, že sis vybral špatnou osu. Viz obrázek v příloze (pro zjednodušení tam je situace pro normální kužel s osou položenou do jeho vrcholu).

[dementni.lojzik]

no abysme si ujasnili situaci, ja tvrdil, ze jedno reseni je nize, nerikam, ze je spravne, to si zkus rozmyslet sam. Jestli zde ale chces tvrdit, ze je spatne, tak mi rekni, co konkretne je tam spatne. Integrace od 0 do 2\pi to rozhodne neni Zkus si prohlidnout to reseni pro normalni kuzel, jak na nej odkazuje autor blogu. Rotace kolem os X a Y kolmych na Z je ten posledni odstavec (nebo se snad melo pocitat neco jineho nez hlavni moment?). Jestli ti to z toho nebude jasne, tak si to zkus presdtavit, ze musis vyscitat (vyintegrovat) pres vsechny body a to napr. tak, ze vyintegrujes pres vsechny kruhy (jednotlive rezy kuzele) - to je ta integrace od 0 do 2\pi a od 0 do R a pak pres vsechny rezy - integrace podle osy Z. Dal by te mohlo mast, jak se o pocita - coz je asi jediny figl toho vypoctu - ze moment vzhledem k X a Y je stejny, takze se spoctou dohromady, cimz se ten integral podstatne zjednodusi a pak se to vydeli dvema...

[David Jaša]

 Sypu si popel na hlavu, už to tam vidím...

[dementni.lojzik]

postup mas naznaceny v tom odkaze, ktery sam uvadis - i kdyz me teda prijde nazornejsi volba intergrace \int^{2\pi}_0\int^h_0\int^{zR/h}_0 r^3 dr dz d\phi. Pokud bude kuzel usekly, postupoval bych uplne stejne, jedine, co se zmeni je dolni mez integrace pri intergraci pres z z 0 na h_1, kde h_1 je vzdalenost toho mista, kde je to useknuty od vrcholu kuzele. Jestli v tuhle, na me uz trochu pozdni, hodinu dobre pocitam, tak by to melo vyjit I* = 3/20 * M * (R^2+h^2) * [1 - (h_1/h)^5]/[1 - (h_1/h)^3]. Pak jeste musis spocist vzdalenost teziste toho komoleho kuzele od vrcholu kuzele, coz me vyslo (opet jednoducha integrace v cylindrickych souradnicich) 3/4 * h * [1-(h_1/h)^4]/[1-(h_1/h)^3], takze pak podle Steinerovy vety by to celkove melo byt I = 3/20 * M * (R^2+h^2) * [1 - (h_1/h)^5]/[1 - (h_1/h)^3] - 9/16 * M * h^2 * {[1-(h_1/h)^4]/[1-(h_1/h)^3]}^2. Pripadne to muzes delat, jak uz navrhovali jini, jako rozdil momentu dvou kuzelu a urcite by se naslo jeste vic zpusobu. K cemu ale antropologove potrebuji pocitat takoveto ulohy, z matematickeho i fyzikalni hlediska dosti nudne, je mi taky zahadou

[Marble]

Viz zadání blogu: otáčejícího se kolem osy kolmé na jeho výšku. Což je pěkný humus teda. I když, pokud se to povede, tak už zas bude k dispozici celý tenzor setrvačnosti a moment kolem libovolné osy. :)

[dementni.lojzik]

ale tohle je kolem osy kolme na jeho vysku. Zadny humus to neni, je to zcela trivialni integrace, dival ses na ten odkaz, na ktery odkazuje autor? Vzdyt je to tam dokonce i spocitane. Jinak timto pochopitelne dostanes jen hlavni momenty, nikoli cely tenzor

[Marble]

Aha, omlouvám se, koukal, ale špatně. Ted už koukám pořádně, 1/2(I_x+I_y) je pěkný nápad. Mě zmátlo, že jsi napsal jako první integrál jen r^3, což je geometrická osa, pokud už nejsem úplně mimo.

Ad tenzor -- pokud jsme už všechno nezapomněl, tak pokud máš hlavní osy podél souřadnicových, je tenzor čistě diagonální, tudíž stačí ty tři momenty. Mimodiagonální členy vylezou až z dalších transformací souřadnic.

[dementni.lojzik]

jo, sorry, ja napsal jen prvni cast toho integrandu (myslenka byla, ze mi ty meze integrace takhle prijou nazornejsi, na to co pisu do integrandu jsem se moc nesoustredil). Stejne tak jsem napsal blbost s tim tenzorem, pochopitelne mas pravdu, ze kdyz mas vsechny tri hlavni momenty setrvacnosti, mas cely tenzor setrvacnosti a to v diagonalnim tvaru. Z toho pak lze spocist moment setrvacnosti vzhledem k libovolne ose...

[martrn]

Mnohokrate dekuju! Ve srovnani s mym resenim skrze odecitani momentu setrvacnosti te odrizle spicky od momentu puvodniho nekomoleho kuzele je to kratsi a zbavil jsi me nekolika promennych: hmotnosti odrizle spicky a polomeru jeji zakladny (ackoliv polomer stejne potrebuji pro vypocet objemu). Jsem zvedav zda to vyjde stejne jako me nebo jsem tam neco pokonil :) K tomu nac to potrebuju.. Zabyvam se lokomoci cloveka a jeho dolni koncetinu jsem vymodeloval jako soustavu dvou komolych kuzelu (stehna a berce), ktera se pri chuzi kyve (samozrejme ne kolem osy prochazejici tezistem, ale podstavou), pokud uvazuju spravne, tak kazdym krokem, ktery udelam musim moment setrvacnosti soustavy prekonat pri vykroceni a pak pri doslapnuti. Pak se do toho zamotaji dalsi promenny jako delka kroku, hmotnost tela a takove podobne a zjistim jestli je energeticky vyhodnejsi mit delsi nebo kratsi koncetinu, coz se pak pouzije pro interpretaci evoluce cloveka hehehe

[David Jaša]

Hodně štěstí. Možná vám ten model bude souhlasit s nálezy, ale možná taky budou vycházet blbosti - pak to asi bude chtít uvažovat setrvačnost při posuvných pohybech u lýtka, nebo vzít do úvahy konečnou pevnost a modul pružností kostí a tyto dát do vztahu s velikostí a hmotností postavy...

[martrn]

Pevnost, pruznost a prurez predevsim holenni kosti budou hrat zrejme vyznamnou roli. Predchozi teoreticke studie tento faktor pomerne zanedbavaly a pak slozite vymyslely cim ze to nevychazi stejne jako experimentalni mereni. Vliv setrvacnost posuvnych pohybu berce mi na prvni pohled prilis jasny neni, ani jsem se zatim nesetkal se zakomponovanim tohoto faktoru do modelace chuze, ale podivam se na to. Dekuji za namety.

[David Jaša]

Příloha:

• IMG_0066.tif (484428 bytů)

 Další věc je chodidlo. Ano, těžko se modeluje, ale už samotný fakt, že po amputaci prstů na noze se člověk musí naučit znovu chodit, napovídá, že i tak malé části mohou mít na pohyb člověka nezanedbatelný vliv. Samozřejmě zahrnutím chodidla do modelu vzniknou složitosti typu víc možných bodů dotyku se zemí, ale když budou vycházet blbosti, bude to možná ta pravá cesta.

Zanedbávat posuvná zrychlení bérce mi moc košer nepřipadá, protože v okamžicích okolo odrazu a došlapu rozhodně nejsou zrovna malá.

Další možná neprávem zanedbaný vliv bude tvar terénu, po přímé rovné cestě s konstantním sklonem se chodí trochu jinak, než po prudké hrbolaté pěšině vinoucí se úbočím rokle, nebo po pěšině jdoucí po spádnici prudkého svahu skrz padlé stromy.

Ještě k tomu výpočtu momentu setrvačnosti: pro daný účel mi připadá výpočet jednotlivých prvků ve 3D jako overkill. Dostatečně přesné a jednodušší na výpočet to IMHO bude, když ty prvky budeš modelovat jako pruty. Moment setrvačnosti se pak spočítá pro prut s jednotkovou plochou a proměnnou hmotností na běžný metr, nebo s proměnnou plochou a konstantní hustotou. Pak se ty vícenásobné integrály a Steinerovy věty zjednoduší na integrál přes úsečku dané délky, kde ti stačí pro výpočet třetí vzorec odsud. Viz přílohu, kde máš ukázkový výpočet pro zanedbanou průřezovou plochu (A = 1 m^2) a lineárně klesající hmotnost na běžný metr od osy otáčení k druhému konci prutu (což odpovídá lineárně klesající ploše, kdyby lineárně klesal poloměr jako u komolého kužele, vycházelo by to jinak).

[Zdeněk Štěpánek]

Fuj, neco tak oskliveho uz jsem dlouho nevidel...