abclinuxu.cz AbcLinuxu.cz itbiz.cz ITBiz.cz HDmag.cz HDmag.cz abcprace.cz AbcPráce.cz
AbcLinuxu hledá autory!
Inzerujte na AbcPráce.cz od 950 Kč
Rozšířené hledání
×
dnes 13:00 | Komunita

Do 30. října se lze přihlásit do dalšího kola programu Outreachy (Wikipedie), jehož cílem je přitáhnout do světa svobodného a otevřeného softwaru lidi ze skupin, jež jsou ve světě svobodného a otevřeného softwaru málo zastoupeny. Za 3 měsíce práce, od 4. prosince 2018 do 4. března 2019, v participujících organizacích lze vydělat 5 500 USD.

Ladislav Hagara | Komentářů: 0
včera 22:22 | Komunita

Společnost Purism představila kryptografický token Librem Key. Koupit jej lze za 59 dolarů. Token byl vyvinut ve spolupráci se společností Nitrokey a poskytuje jak OpenPGP čipovou kartu, tak zabezpečení bootování notebooků Librem a také dalších notebooků s open source firmwarem Heads.

Ladislav Hagara | Komentářů: 1
včera 20:33 | Nová verze

Společnost NVIDIA oficiálně vydala verzi 10.0 toolkitu CUDA (Wikipedie) umožňujícího vývoj aplikací běžících na jejich grafických kartách. Přehled novinek v poznámkách k vydání.

Ladislav Hagara | Komentářů: 0
včera 20:00 | Upozornění

Příspěvek Jak přežít plánovanou údržbu DNS na blogu zaměstnanců CZ.NIC upozorňuje na historicky poprvé podepsání DNS root zóny novým klíčem dne 11. října 2018 v 18:00. Software, který nebude po tomto okamžiku obsahovat nový DNSSEC root klíč, nebude schopen resolvovat žádná data. Druhým důležitým datem je 1. února 2019, kdy významní výrobci DNS softwaru, také historicky poprvé, přestanou podporovat servery, které porušují DNS standard

… více »
Ladislav Hagara | Komentářů: 5
včera 15:55 | Pozvánky

Spolek OpenAlt zve příznivce otevřených řešení a přístupu na 156. brněnský sraz, který proběhne v pátek 21. září od 18:00 v restauraci Na Purkyňce na adrese Purkyňova 80.

Ladislav Hagara | Komentářů: 0
včera 13:22 | Nová verze

Alan Griffiths z Canonicalu oznámil vydání verze 1.0.0 display serveru Mir (GitHub, Wikipedie). Mir byl představen v březnu 2013 jako náhrada X serveru a alternativa k Waylandu. Dnes Mir běží nad Waylandem a cílen je na internet věcí (IoT).

Ladislav Hagara | Komentářů: 0
20.9. 22:00 | Nasazení Linuxu
Stabilní aktualizace Chrome OS 69 (resp. Chromium OS), konkrétně 69.0.3497.95, přináší mj. podporu linuxových aplikací. Implementována je pomocí virtualizace, a proto je tato funkce také omezena na zařízení s dostatkem paměti a podporou hardwarové akcelerace, tudíž nejsou podporovány chromebooky s 32bitovými architekturami ARM, či Intel Bay Trail (tzn. bez Intel VT-x).
Fluttershy, yay! | Komentářů: 5
20.9. 21:32 | Zajímavý projekt

Došlo k uvolnění linuxové distribuce CLIP OS, vyvíjené francouzským úřadem pro kybernetickou bezpečnost ANSSI, jako open source. Vznikla za účelem nasazení v úřadech, kde je potřeba omezit přístup k důvěrným datům. Je založená na Gentoo.

Fluttershy, yay! | Komentářů: 1
20.9. 16:00 | Komerce

Zjistěte více o bezpečné a flexibilní architektuře v cloudu! IBM Cloud poskytuje bezpečné úložiště pro Vaše obchodní data s možností škálovatelnosti a flexibilitou ukládání dat. Zároveň nabízí prostředky pro jejich analýzu, vizualizaci, reporting a podporu rozhodování.

… více »
Fluttershy, yay! | Komentářů: 12
20.9. 12:22 | Nová verze

V dubnu letošního roku Mozilla představila webový prohlížeč pro rozšířenou a virtuální realitu Firefox Reality (GitHub). V úterý oznámila vydání verze 1.0. Ukázka na YouTube. Firefox Reality je k dispozici pro Viveport, Oculus a Daydream.

Ladislav Hagara | Komentářů: 2
Na optické médium (CD, DVD, BD aj.) jsem naposledy vypaloval(a) data před méně než
 (13%)
 (14%)
 (21%)
 (23%)
 (25%)
 (4%)
 (1%)
Celkem 386 hlasů
 Komentářů: 33, poslední 16.9. 11:55
Rozcestník

Octave - 15 (špetka matematiky)

22. 5. 2006 | Jiří Poláček | Programování | 9480×

Pár ukázek z praktické matematiky - čtyřstěn s pomocí vektorů, řešení rovnic a množinové funkce.

Čtyřstěn a trocha vektorové algebry

Pro seznámení s některými dalšími funkcemi Octave si vyřešíme následující příklad:

Funkci předáme souřadnice čtyř bodů v prostoru. Zkontrolujte, zda tyto body generují prostor a v kladném případě vykreslete čtyřstěn a spočítejte povrch čtyřstěnu.

Pro zjednodušení si odpustíme kontrolu počtu vstupních parametrů, tj. zda byly skutečně zadány čtyři tříprvkové vektory, a pustíme se do ověřování, zda body generují prostor:

function povrch=ctyrsten(A,B,C,D)
u=B-A; v=C-A; w=D-A;
if rank([u;v;w]) ~= 3
  error('Body negenerují prostor');
else

Z bodů si spočítáme tři vektory, které by měly být lineárně nezávislé, pokud mají generovat prostor. Funkce rank vrací hodnost matice, tj. počet lineárně nezávislých řádků této matice. Pokud tedy sestavíme matici ze spočítaných vektorů a hodnost takové matice bude menší jak tři, vektory jsou lineárně závislé a zadané body negenerují prostor. V opačném případě můžeme pokračovat:

  M=[A;B;C;A;D;B;C;D];
  plot3(M(:,1), M(:,2), M(:,3));
  grid on

Souřadnice bodů jsou naskládány do matice tak, aby zde alespoň jednou každý bod sousedil s každým, funkce plot3 po té vykreslí čtyřstěn, sloupce matice M postupně tvoří x-ové, y-ové a z-ové souřadnice bodů. Příklad má v tomto bodě drobnou nedokonalost - funkce plot3 zatím není součástí oficiální distribuce Octave, lze ji najít v repozitáři doplňkových funkcí na octave.sourceforge.net (více o repozitáři v následujícím dílu).

  x=B-D; y=D-C; z=C-B;
  povrch=obtroj(u,v,z)+obtroj(u,w,x)+obtroj(v,w,y)+obtroj(x,y,z);
endif
endfunction
Dopočítáme zbylé vektory čtyřstěnu a spočítáme povrch jako součet obsahů jeho jednotlivých stěn.

Funkci obtroj pro výpočet obsahu trojúhelníka ze zadaných vektorů můžeme psát jak do dalšího souboru, tak do stávajícího ctyrsten.m ihned za definici hlavní funkce - tvoříme si tak vlastně lokální funkce:

function S=obtroj(va,vb,vc)
  a=norm(va); b=norm(vb); c=norm(vc);
  s=(a+b+c)/2;
  S=(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))^(1/2);
endfunction

Obsah trojúhelníka počítáme podle Heronova vzorce z délek všech tří stran. Délky nám z příslušných vektorů (ve smyslu vektorové algebry, tj. chcete-li normu či magnitudu) spočítá funkce norm. Nuže zkušební volání naší funkce ctyrsten:

>> ctyrsten([1 4 5], [-4 6 9], [0 0 2], [-8 -3 2])
ans = 115.47
>> who
*** dynamically linked functions:
dispatch  max       svd
*** currently compiled functions:
__plt3__         ctyrsten:obtroj  isvector         strcmp
builtin:rank     grid             norm
columns          is_vector        plot3
ctyrsten         isstr            rows

Ve výpisu příkazu who si povšimněte položky ctyrsten:obtroj, která nás informuje, že v rámci funkce ctrysten byla také zkompilována lokální funkce obtroj.

vykreslený čtyřstěn

Další funkce týkající se (stejně jako rank a norm) vektorové algebry jsou popsány v nápovědě. Nepřehlédněte dot a cross pro skalární a vektorový součin vektorů.

Řešení rovnic

Soustava lineárních rovnic

Pokud hledáme kořeny nějakého polynomu či soustavy lineárních rovnic, je určitě Octave vhodným řešitelem. Pokusme se najít například kořeny následující soustavy tří rovnic o třech neznámých:

-15a - 5b + 6c = -5
3a + 9b + 9c = 6
-8a + 5b + 12c = 7

Snad každý středoškolák ví, že takovéto příklady lze řešit přepsáním soustavy do matice a buď s pomocí Cramerova pravidla (a tedy počítáním determinantů) nebo úpravou matice do schodovitého tvaru získat kořeny soustavy. Ano, takto lze postupovat i v Octave, přičemž díky funkci det pro výpočet determinantu dané matice bude určitě první jmenovaný způsob jednodušší než programování převodu matice na schodovitý tvar, které jako triviální záležitost rozhodně označit nejde:

>> A=[-15 -5 6;3 9 9;-8 5 12];
>> B=[-5;6;7];
>> % Crammerovo pravidlo
>> for i=1:length(A) Ai=A; Ai(:,i)=B; x(i)=det(Ai)/det(A); end, x
x =
  -4.0000   7.0000  -5.0000

Nač si však komplikovat život. Pokud matici koeficientů označíme jako A, sloupcový vektor pravých stran jako B a sloupcový vektor kořenů jako X, pak platí A·X = B. Po úpravách dostáváme A-1·A·X = A-1·B, z čehož X = A \ B. Proměnné A a B jsme si již naplnili v předchozím příkladě, takže stačí jedno levostranné dělení:

>> X=A\B
X =
  -4.0000
   7.0000
  -5.0000

Polynomy

Pro hledání kořenů polynomu existuje v Octave funkce roots. Mějme například následující rovnici:

x5 − 4x4 − 55x3 + 10x2 + 624x + 864 = 0

Její kořeny spočítáme následovně:

>> koeficienty=[1 -4 -55 10 624 864];
>> roots(koeficienty)
ans =
   9.0000
   4.0000
  -4.0000
  -3.0000
  -2.0000

Kontrolu správně opsaných koeficientů můžete udělat s pomocí funkce polyout, která vrací textovou reprezentaci polynomu ze zadaného vektoru:

>> polyout(koeficienty, 'x')
1*x^5 - 4*x^4 - 55*x^3 + 10*x^2 + 624*x^1 + 864

Samozřejmě můžeme chtít i opačnou operaci - z vektoru kořenů si nechat spočítat koeficienty polynomu, tato funkce se jmenuje poly:

>> poly([-4 -3 9 4 -2])
ans =
     1    -4   -55    10   624   864

Svým způsobem se jedná jen o roznásobení symbolického zápisu (x − x1)(x − x2) ... (x − xn), takže když už jsme u toho násobení, je třeba zmínit funkci conv, která umí násobit dva polynomy. Chtějme vynásobit například (x2 + 4x − 6)(5x + 4):

>> conv([1 4 -6],[5 4])
ans =
    5   24  -14  -24
>> [podil, zbytek] = deconv([5 24 -14 -24], [5 4])
podil =
   1   4  -6
zbytek =
  0  0  0  0

Jak je vidět z příkladu, funkce deconv provádí opak, tj. dělení polynomů.

K dalším užitečným funkcím pro práci s polynomy patří výpočet derivace či integrálu polynomu (funkce polyder a polyinteg), výpočet hodnoty polynomu v daných bodech (polyval) apod.

Množiny

Vektor lze chápat jako množinu, pokud neobsahuje žádné duplicitní prvky - tento požadavek splní funkce create_set (v Matlabu se tato funkce jmenuje unique):

>> v=[7 7 2 3 3 3 7 7 2];
>> mnozina=create_set(v)
mnozina =
  2  3  7

Zde je nutno podotknout, že v Octave existuje také funkce values řazená k funkcím popisné statistiky, která dělá totéž co create_set - s tím drobným rozdílem, že výsledkem je sloupcový vektor:

>> values(v)
ans =
  2
  3
  7

S množinami pak můžeme dělat jednoduché operace jako sjednocení, průnik a doplněk:

>> union([4 3 2 1],[2 4 6 8])
ans =
  1  2  3  4  6  8
>> intersection([4 3 2 1],[2 4 6 8])
ans =
  2  4
>> complement([4 3 2 1],[2 4 6 8])
ans =
  6  8

Můžete si povšimnout, že tyto funkce výsledky vrací setříděné od nejmenšího čísla po největší.

Nejčtenější články posledního měsíce

Jaderné noviny – 30. 8. 2018: Druhá polovina začleňovacího okna 4.19
Jaderné noviny – 16. 8. 2018: Jak je důležité míti šum
Jaderné noviny – 9. 8. 2018: WireGuard v upstreamu

Nejkomentovanější články posledního měsíce

Jaderné noviny – 16. 8. 2018: Jak je důležité míti šum
Jaderné noviny – 30. 8. 2018: Druhá polovina začleňovacího okna 4.19
Týden na ITBiz: Virtuální realita pro podniky
  všechny statistiky »

Seriál Octave (dílů: 16)

Octave - 1 (je to kalkulačka) (první díl)
<—« Octave - 14 (finance a statistika)
»—> Octave - 16 (a co dál?)
Octave - 16 (a co dál?) (poslední díl)

Související články

Octave - 1 (je to kalkulačka)
Octave - 2 (počítání s maticemi)
Octave - 3 (přístup k jednotlivým položkám matice)
Octave - 4 (je to pravda?)
Octave - 5 (práce s řetězci)
Octave - 6 (práce se soubory)
Octave - 7 (vlastní skripty a funkce)
Octave - 8 (větvení programu)
Octave - 9 (cykly)
Octave - 10 (zbylé řídicí struktury)
Octave - 11 (kreslíme grafy)
Octave - 12 (měřítko os a speciální grafy)
Octave - 13 (dokončení grafiky)
Octave - 14 (finance a statistika)
Octave - 16 (a co dál?)
Vektorový elegán Ipe
Recenze: Kniha kódů a šifer
Awk & sed: Příručka pro dávkové zpracování textu
SETI@home
Jak se píše procesor
GnuCash - domácí účetnictví na úrovni
Použití gnuplot pro tvorbu grafů v PHP
Hra s písmenky - wxMaxima

Odkazy a zdroje

Octave

Další články z této rubriky

LLVM a Clang – více než dobrá náhrada za GCC
Ze 4 s na 0,9 s – programovací jazyk Vala v praxi
Reverzujeme ovladače pro USB HID zařízení
Linux: systémové volání splice()
Programování v jazyce Vala - základní prvky jazyka
       

Hodnocení: 100 %

        špatnédobré        

Nástroje: Tisk bez diskuse

Tiskni Sdílej: Linkuj Jaggni to Vybrali.sme.sk Google Del.icio.us Facebook

Komentáře

Vložit další komentář

22.5.2006 06:09 Přemek Jordák | skóre: 12 | Beroun
Rozbalit Rozbalit vše Re: Octave - 15 (špetka matematiky)
Ještě bych doplnil, že pokud je soustava rovnic přeurčená, tzn. matice A ma více řádek než sloupců, potom octave při výpočtu pomocí backslash vrací hodnoty vyrovnané metodou nejmenších čtverců.
Blogy neprohlížím, nepíši a ani se jim valně nesměji
22.5.2006 13:35 Hynek (Pichi) Vychodil | skóre: 43 | blog: Pichi | Brno
Rozbalit Rozbalit vše Lin. soustavu Cramerem?
Proboha proč? Vždyť je to zbytečně výpočetně náročné a numericky nepřesné. Cramerovo pravidlo se hodí jen jako teoretický nástroj k důkazu některých vět, na specifické symbolické výpočty a numericky jen, když dostanu determinant "zadarmo". Pro numerické řešení prosím nikdy! I ten operátor dělení zleva je v matlabu, octave i jinde řešen Gaussovou eliminací s přeskládáním řádků.
XML je zbytečný, pomalý, nešikovný balast, znovu vynalézané kolo a ještě ke všemu šišaté, těžké a kýčovitě pomalované.
Jiří Poláček avatar 22.5.2006 14:28 Jiří Poláček | skóre: 47 | blog: naopak | Sivice
Rozbalit Rozbalit vše Re: Lin. soustavu Cramerem?
Nevidím nic špatného na použití Cramerova pravidla pro edukativní účely, ale je pravda, že jsem mohl zmínit, že řešení lineární soustavy dělením matic je mnohem vhodnější nejenom jednoduchostí zápisu, ale též výpočetní náročností.
Sudoku omrzelo? Zkuste bobblemaze! | Statistiky jsou jak bikiny. Napoví hodně, všechno ale neukážou.
ISSN 1214-1267   www.czech-server.cz
© 1999-2015 Nitemedia s. r. o. Všechna práva vyhrazena.