Parabola v kadince

11.1.2006 18:29 | poslední úprava: 11.1.2006 19:34

Mam drobny problem, potrebuju zjistit jak matematicky dokazu ze v rotujici kadince hladina vody vytvori parabolu.        

Komentáře

[#Tom]

Pomocí Navierových-Stokesových rovnic lze např. vyřešit tuto úlohu. Tlak roste s druhou mocninou vzdálenosti od osy otáčení. Protože hydrostatický tlak jinak roste lineárně s výškou (nestlačitelné) tekutiny nad místem, kde tlak hledáme, lze odhadnout, že druhá mocnina v sobě odráží tvar hladiny.

[Jindra]

Ach tak, to ma bejt parabola Docela jsi me zmat nadpisem, premejslel jsem co chces delat s bilou parou v kadince

[Michal Kubeček]

Buď si vyjádříte celkovou energii vody v kádince v závislosti na křivce hladiny (budete předpokládat, že je hladina rotačně symetrická) a aplikujete metody variačního počtu (abyste našel minimum). Nebo si představíte částici vody na hladině, vyjádříte si gravitační sílu, která ji tlačí dolů a odstředivou sílu (směřuje od osy) a vyjdete z toho, že výslednice musí být kolmá na hladinu. Z toho dostanete něco jako u'(r) = ω²r/(2g) (nejsem fyzik, takže jsem nejspíš poztrácel nějaké konstanty), což vám dá kýženou parabolu.

Stojí to ale na předpokladu, že se voda všude v kádince pohybuje stejnou úhlovou rychlostí. Abych pravdu řekl, moc mi není jasné, proč by to musela být pravda.

[wlofy]

Tohle je pouze linearni, protoze omega zustava konstantni a jedina promenna je r a to je pouze na prvou.

[Michal Kubeček]

Asi jste přehlédl, že na levé straně není u(r) ale u'(r). Zůstává ale otázka, proč by ω musela být konstantní…

[#Tom]

V ustáleném stavu by to platit mohlo. Možná by se mohly objevit nějaké problémy v blízkosti osy otáčení.

[#Tom]

To nevadí, u' = ω²r/g je jen směrnice. Integrováním vyjde u = 1/2 ω²r²/g

[wlofy]

Dik moc

[Marble]

Pohybuje se všude stejnou úhlovou rychlostí protože jinak by měly jednotlivé vrstvy (souosé válcové plochy) vůči sobě nenulovou rychlost a kvůli viskozitě kapaliny vznikne tření, které ty rychlosti srovná. Tj. úhlová rychlost nemusí být vždy konstantní (třeba při roztáčení), ale je to stabilní stav,do kterého to míří.