Přijímačky z matematiky na SŠ pro žáky 7. třídy

8.4.2013 21:51 | Přečteno: 1960× | Malé velké úvahy

Chápu, že není možné v novinách vše uhlídat. Stejně tak dobře vím, že toto není to pravé místo ke stížnostem. Přesto mi to nedá, abych si nechal jen pro sebe, že tam mají kardinální chybu.

V pátek 5. dubna 2013 vyšla v MF DNES příloha k přijímačkám na SŠ. Je zde také sekce věnovaná příkladům z matematiky a v ní příklad v řádku označeném „7. třída“, který mi jaksi padl do oka. Výhrady bych měl už jen k tomu zadání:

Urči obsah obdélníku v dm², o němž víš, že se jeho plocha dá bez mezer vyskládat čtverečky o stranách 8 cm, 9 cm, 12 cm a 15 cm, délka je 2krát delší než šířka a jde o nejmenší ze všech možných takových obdélníků.

Vyplývá ze zadání, že každý ze čtverečků musí být v obdélníku alespoň jednou? Není správným řešením obdélník o stranách 8 a 16 cm?

Ale budiž. Přiznejme komplikovanější verzi zadání a představme si ty rozmanité možnosti, jak lze čtverečky skládat do plochy. A hlavně vezměme v úvahu tu nejpřísnější podmínku – že se jedná o nejmenší možný takový obdélník. Jak pak někdo – a nikoliv jen žák 7. třídy – může bez důkazu tvrdit, že „jde vlastně o úlohu na společný násobek, který je třeba najít“?

Řešení z novin můžete vidět na zkopírovaném obrázku. Není správné, protože se mi podařilo najít hned několik menších obdélníků, které vyhovují zadání. Ale podařilo se mi skutečně najít nejmenší takový možný obdélník? Nevím, řekl bych, že jo, ale nemám důkaz.

Schválně své řešení zatím neprozradím. Zkuste si příklad spočítat sami a řekněte – je to opravdu příklad pro žáky sedmých tříd? A má smysl o tom psát do redakce MF DNES?

       

Obrázky

Komentáře

[dolik.rce]

Řešení otištěné v novinách odpovídá následujícímu zadání:

... jeho plocha dá bez mezer vyskládat čtverečky o stranách 8, 9, 12 i 15 cm (to jest vždy určitým počtem čtverečků stejné velikosti)...

V takovéhle podobě je to rozhodně vhodné pro žáka 7. třídy a řešení je pak opravdu nejmenší společný násobek.

[prqek]

Díky, konečně jsem to zadání pochopil

[Zadejte vaše jméno]

a muze se ten ctverecek ohybat? :P

[Bedňa]

Čo už by to bolo za štverčky bez ohýbaní. U nás sa tak plánujú všetky rozpočty a je na to vytvorená Execelovská tabuľka čo nám poslali z NDR.

[Kvakor]

Spíš by bylo dobré zeptat se "Může se ohýbat ten obdélník?". Jinak řečeno, jestli je řešení omezené jen na klasickou rovinou eukleidovskou geometrii. Většinou se s tím počítá jaksi automaticky, ale nikde to nepíšou.

Protože pokud ne, tak by bylo možné spojit dva (v tomto případě ty širší) konce obdélníku k sobě, přetočit je o 180° (a získat tak virtuální Möbiovu pásku) a poskládat čtverečky o straně 8 cik-cak, posunuté vůči sobě o polovinu délky jako cihly (což jde, protože ke každé sudé půlmezeře na jednom konci přijde lichý půlčtvereček na opačném konci), tudíž by stačila poloviční délka oproti rovinnému řešení (ostatní čtverečky by fungovaly rovnou, protože mají i liché provočinitele). Jediná nevýhoda je, že v konkrétním případě by na ukázku nestačil ani 3D prostor

[Jimmy]

Vyplývá ze zadání, že každý ze čtverečků musí být v obdélníku alespoň jednou? Není správným řešením obdélník o stranách 8 a 16 cm? Opravdu jste pochopil zadání ? Jak vyplním obdélník 8x16 např. čtverečky 15x15 ?

IMHO zadání se ptá na obdélník který lze vyplnit samými čtverečky 8x8, nebo 9x9 nebo 12x12 nebo 15x15 a to vždy pouze jednou použitou velikostí. Tedy žádná kombinace jako několik 8x8, trochu 9x9 a na doplnění 15x15. Vždy má být použitá pouze jedna velikost. Pak je řešení jedno jasné a jednoduché a odpovídá znalostem předpokládaným v 7. třídě ZŠ.

[Martin Mareš]

Ano, ale pak to také měli do zadání napsat, a ne si myslet, že nejprve žák uhodne očekávané řešení a pak teprve pochopí, co chce zadání říct.

A ostatně, kolega o kus níže má pravdu, obdélník 0×0 je zcela korektní řešení i pro tento výklad zadání.

[Ondrej 'SanTiago' Zajicek]

No, u takoveho 'obdelniku 0×0' dost zalezi na konkretni definici obdelniku, zda to pripusti ci ne. Pokud bych obdelniky definoval jako [0,a]×[0,b] + translace a rotace, tak by to 0×0 prirozene mohl splnovat, pokud bych ale obdelniky definoval jako specielni pripad ctyrstenu a ten zas jako specielni pripad obecneho polygonu (coz je IMHO daleko blize tomu, jak se obdelniky definuji na ZS), tak by v tom bylo mnoho potizi - i kdybych akceptoval body jako specialni pripady usecek, tak bych tezko mohl argumentovat, ze ten ctyrsten je obdelnik, kdyz ty (degenerovane) steny nemaji definovane smery a tedy ani svirajici uhly. Tazke bych hadal, ze ZS definice obdelniku proste 'obdelnik 0×0' nepripousti.

[Martin Mareš]

Nedělám si moc iluzí o tom, že by na ZŠ byl obdélník natolik dobře definován, aby bylo možné rozhodnout, zda definice takovou možnost připouští ;)

[w4rr10r]

A ostatně, kolega o kus níže má pravdu, obdélník 0×0 je zcela korektní řešení i pro tento výklad zadání.

To bylo první, co mě napadlo. Pak jsem deset minut hledal, jestli definice rovnoběžníku neobsahuje něco jako "a, b \in \mathbb{R}^+". Nenašel jsem. Nesnáším geometrii.

[JS]

To mi pripomina tu slavnou stredoskolskou ulohu, v ktere Paulu Diracovi vysel vysledek "-3 ryby".

Taky mi to pripomnelo jednu lehouckou ulohu, z ktere jsem byl na gymplu zkouseny u tabule, a protoze zadani bylo nejasne, vyresil jsem to tedy dvakrat... Cerna z toho byla tenkrat docela zdesena, kdyz jsem ji na zacatku vysvetlovani suse oznamil, ze "uloha ma 2 varianty reseni, ktere jsem dale oznacil a a b.." Trida se pak docela pobavila, kdyz jsem se ji snazil vysvetlit, ze "to neni jedno, ktery z pokoju v hotelu si hoste vyberou, ze jeden muze mit treba vyhled na more a druhy do ulice, a to jim muze vadit.."

Ale ja bych to z toho originalu taky nepochopil. Maji vubec u techto zadani neco jako testovani?

[prqek]

Můžeš, prosím, přiblížit obě úlohy?

[JS]

Ah, tak to rikam trochu spatne, viz niz.

Uloha byla nasledujici: 3 rybari ulovi urcite mnozstvi ryb, a pak jdou spat. Jeden z nich se probudi driv, chce si vzit svuj podil, ale pocet ryb neni delitelny tremi, tak jednu zahodi, pak to uz delitelne je, vezme si tedy svuj podil a zmizi. Pak se probudi dalsi rybar, nevi, ze ten predchozi uz odesel, zase pocet ryb neni delitelny tremi, jednu zahodi, zacne to byt delitelne, vezme si tedy tretinu a zmizi. Posledni rybar se probudi, nevi co delali ti pred nim, a zase ten stejny postup - jednu zahodi, vezme si tretinu. Otazka je, jaky je minimalni pocet ryb, ktere museli rybari ulovit?

Odpoved Paula Diraca: Rybari ulovili -2 ryby. (Jedna se zahodi, budou tedy -3, bez tretiny jsou to -2, a cele se to opakuje..) Zminuje se to hodne v souvislosti s tim, ze Dirac pozdeji predpovedel pozitron.

Druha uloha byla, kolika moznostmi naskladat 10 hostu do penzionu s dvema 2-luzkovymi a dvema 3-luzkovymi pokoji.

[SKK]

Posledni rybar se probudi, nevi co delali ti pred nim, a zase ten stejny postup

však musel vedieť, aká bola tých rýb kopa, keď ich spoločne ulovili, takže keď sa poobzeral a nikde ich nevidel, došlo mu, že si vzali tie najlepšie kusy a vypadli... najskôr bol naštvaný, že s tým delením na neho nepočkali a ktovie, či ho ešte aj neošmekli

za to by mi matikárka asi 1 nedala, čo? :)

[JS]

Ano, to mate naprostou pravdu. Coz je take duvod, proc je to Diracovo reseni daleko verohodnejsi, nez to originalni.

[Kvakor]

Mně přesně tento případ s rybami také napadl (spolu s vtipem o autobusu, kde je řešením záporný počet cestujících), jinak přesně tato úloha je popsaná na české wikipedii v članku o diofantických rovnicích (tj. takových, kde řešení mohou být jen celá čísla).

[Jendа]

Ve třídě je komplexní počet studentů…

[Heron]

Ano, ale pak to také měli do zadání napsat, a ne si myslet, že nejprve žák uhodne očekávané řešení a pak teprve pochopí, co chce zadání říct.

Tohle je, bohužel, problém více lidí. Zadají nejednoznačný úkol, přičemž ten kontext, který by ten úkol zjednoznačnil, si nechají pro sebe. A když to druhá strana (ten, kdo ten úkol má dělat) pochopí jinak, tak to ještě svedou na něj. Pěkně o tom píše Vlasta Ott.

Já to dělám tak, že si vyberu to nejabsurdnější řešení splňující zadání a to s pečlivostí udělám a poctivě vykážu. Nenašel jsem lepší řešení, vrácení úkolu a diskuse se zadávajícím (jak radí onen článek) je většinou mnohem náročnější.

[AsciiWolf]

Tohle je, bohužel, problém více lidí. Zadají nejednoznačný úkol, přičemž ten kontext, který by ten úkol zjednoznačnil, si nechají pro sebe. A když to druhá strana (ten, kdo ten úkol má dělat) pochopí jinak, tak to ještě svedou na něj.

+1

[Jiří Poláček]

Aha, tak zadání jsem nepochopil. Tato varianta výkladu mne vůbec, ale vůbec nenapadla.

[juriad]

Něco mi nedochází, nebo obdélník o délce 0 a šířce 0 vyhovuje zadání? Nejmenší asi už bude.

[ZAH]

Zadání je jednoznačně správné, podle hesla: Kdo uhodne co tím vyšší autorita myslela ten splnil, neboť myslí shodně jako jeho páni.

[disorder]

Je to jasna uloha na najmensieho spolocneho delitela vhodna pre 7. triedu. Ked sa to nedavno ucili, nie je to pre nich problem, ja som na to prisiel tiez hned. Mne skor prekaza ta zbytocna komplikacia s obdlznikom.

[disorder]

nie delitela, ale tak ako pisu, najmensi spolocny nasobok -- vyskrtat vsetky nepotrebne cisla z rozkladnu na prvocisla a vynasobit ich

[JS]

To je prast jako uhod, protoze ten se da spocitat i z nejvetsiho spolecneho delitele. Dokonce pro velka cisla je to mnohem efektivnejsi nez rozklad na prvocisla.

[gtz]

V 7 třídě jsem se zabýval spolužačkami a ne nějakými přijímačkami Sakra, ale to bylo v minulosti.

[Pavec]

Je to napsane tak, ze jsem to ze zacatku chapal jako obdelnik poskladany jen a pouze z vyjmenovanych ctyrech ctvercu. Neco jako vyska = √((8²+9²+12²+15²)/2) ;) Cim vic clovek o tom vi, tim hur chape zadani - jako napriklad bezne opomijene definicni obory.