Portál AbcLinuxu, 29. dubna 2024 12:01
Přehled funkcí finanční matematiky a popisné statistiky.
Kdo občas nepotřebuje spočítat, kolik uspoří při daných platbách, jaký bude dostávat důchod a kolik prodělá na výhodném úvěru?
Vysvětlení sady funkcí pro finanční matematiku bude nejlepší provádět na příkladech:
Do investičního fondu vložíme 100 000 Kč. Kolik nám to vynese po patnácti letech při předpokládané úrokové míře 7 %?
>> format bank >> fvl(.07, 15, 100000) ans = 275903.15
První parametr funkce fvl - úrokovou míru - zadáváme jako setinové vyjádření procent (stejně tomu je i u ostatních funkcí). Druhý parametr je počet úročených období a třetí pak počáteční vložená částka. Příkaz format bank nám zajistí výpis čísel zaokrouhlený na dvě desetinná místa.
A naopak - jak velká musí být počáteční investice, aby po patnácti letech spoření s úrokovou mírou 7 % byl na účtu rovný milión?
>> pvl(.07, 15, 1000000) ans = 362446.02
Jaká bude konečná cena tisícikorunového výrobku, který byl nejdříve dvakrát zdražen o 30 % a po té zlevněn o 65 %?
>> pvl(.65, 1, fvl(.30, 2, 1000)) ans = 1024.24
Budeme si následujících 30 let platit penzijní připojištění 500 Kč měsíčně (plus 150 Kč bude příspěvek od státu) u penzijního fondu s předpokládanými ročními výnosy 5 %. Kolik budeme mít na kontě, až půjdeme do důchodu?
>> fv(.05, 30, 650*12) ans = 518223.01
Výpočet je poněkud zjednodušený - nebereme v úvahu případné průběžné úročení částky v průběhu roku (no a hlavně je snazší odhadnout, jaké bude počasí za rok, než jaký bude roční výnos našeho fondu). Funkce fv má ještě další dva volitelné parametry - počáteční vklad a příznak, zda pravidelná platba (paušál) probíhá na začátku či na konci příslušného období. Porovnejme:
>> fv(0.1, 1, 100, 1000, 'b') ans = 1210.00 >> fv(0.1, 1, 100, 1000, 'e') ans = 1200.00
V prvém případě byl paušál na první období (100 peněz) zaplacen zároveň s počátečním vkladem (1000 peněz), proto se úrok počítal z částky 1100. V druhém případě byl paušál zaplacen až na konci období, proto se úrok počítal pouze z počátečního vkladu. Nuže parametr 'b' = na začátku (od begin), 'e' = na konci (end) - výchozí hodnota.
Na problematiku pravidelných výplat - důchodů si pak lze vzít ku pomoci funkci pv.
Jaká částka nám zajistí roční bezprostřední předlhůtní / polhůtní důchod ve výši 16 000 po dobu dvaceti let při neměnné roční úrokové sazbě 4 %?
>> pv(0.04, 20, 16000, 'b') ans = 226143.03 >> pv(0.04, 20, 16000, 'e') ans = 217445.22
Opět lze dedukovat, že 'b' značí výplatu na počátku období (tj. předlhůtní důchod) a 'e' výplatu na konci období (polhůtní důchod).
Z pohledu banky může být otázka okolo důchodů položena také takto: jak velké musí být roční procentuální zhodnocení vloženého kapitálu ve výši například 200 000 Kč, aby bylo možno po dobu dvaceti let vyplácet roční důchod 16 000 Kč?
>> rate(20, 16000, 200000) ans = 0.049643
Jelikož nebylo specifikováno, výsledek platí pro polhůtní důchod, i zde je možno tuto skutečnost uvést stejným způsobem jako u předchozích funkcí.
Následující dvě funkce navyšují počáteční dluh o úrok, ovšem s tím, jak je dluh postupně splácen, snižuje se též úrok za každé období.
Jaká bude výše měsíční splátky, pokud se nám podaří získat úvěr od Státního fondu rozvoje bydlení ve výši 150 000 Kč? Splácí se deset let a roční zúročení činí 2 %:
>> pmt(0.02, 10, 150000)/12 ans = 1391.58
Pokud bychom tento úvěr chtěli splácet měsíční částkou ve výši 2 000 Kč, jak dlouho budeme splácet?
>> nper(0.02, 2000*12, 150000) ans = 6.74
Výsledkem je počet období, v tomto případě tedy šest a tři čtvrtě roku.
Nyní rychlé seznámení se sadou funkcí spadajících do popisné statistiky. Zkusme motivační příklad - mějme vektor hodnot střeleckých pokusů pistolí do terče - můžeme si je vygenerovat například následujícím způsobem:
>> strelba=round((10-3*abs(randn(1,10)))*10)/10 strelba = 9.50 7.50 9.40 3.50 7.90 5.80 8.30 8.20 8.50 4.00
Spočítejme minimum, první kvartil, medián, třetí kvartil, maximum, průměr, standardní odchylku, šikmost a špičatost z těchto hodnot:
>> statistics(strelba) ans = 3.50 5.80 7.90 8.50 9.50 7.26 2.12 -0.69 -1.18
Čísla ve výsledku v uvedeném pořadí odpovídají požadavku. Funkce statistics slouží k rychlému získání souhrnné statistiky ze zadaného vzorku, pro výpočet používá následující statistické funkce:
průměr; s pomocí textových parametrů 'a', 'g' a 'h' lze specifikovat, zda se má počítat aritmetický (výchozí), geometrický či harmonický průměr:
>> v=[3 3 7 7]; w=[3 4 5 6 7]; >> [mean(v,'a'), mean(v,'g'), mean(v,'h')] ans = 5.0000 4.5826 4.2000 >> [mean(w,'a'), mean(w,'g'), mean(w,'h')] ans = 5.0000 4.7894 4.5752
vrací hodnotu nejmenšího a největšího prvku; pokud jsou vyžadovány dva výsledky, vrací též pozici prvního výskytu nalezené hodnoty:
>> [hodnota, pozice]=max([1 2 3 3 3]) hodnota = 3 pozice = 3
Kromě těchto funkcí samozřejmě nechybí ani další aparát na řešení náležitostí popisné statistiky:
vrací rozsahy, tj. rozdíl mezi hodnotou maximálního a minimálního prvku u funkce range a rozdíl mezi prvním a třetím kvartilem u funkce iqr:
>> x=1:10; range(x), iqr(x) ans = 9 ans = 5
Pro většinu funkcí vázaných k popisné statistice platí, že pokud je vstupním parametrem vektor, dostáváme jako výsledek skalár, a pokud je na vstupu matice, výstupem je řádkový vektor výsledků pro každý sloupec matice zvlášť:
>> A=[1 2 3; 3 6 9; 10 20 30] A = 1 2 3 3 6 9 10 20 30 >> range(A(1,:)) % první řádek ans = 2 >> range(A) % první řádek ans = 9 18 27 >> range(A) % celá matice ans = 9 18 27 >> range(A(:)) % celá matice jako vektor ans = 29
Poslední příklad ukazuje trik, jak lze celou matici pojmout jako (sloupcový) vektor.
Repertoár statistických funkcí v Octave se neomezuje jen na popisnou statistiku, zájemci si mohou v manuálu prostudovat nástroje na provádění statistických testů, vyhodnocování modelů a výpočet nejrůznějších distribučních funkcí. Z balíku funkcí zařazených do popisné statistiky je však vhodné zmínit se ještě o dvou šikovných funkcí, které se dají využít i v jiných oblastech:
cut - provádí jakési rozdělování čísel do přihrádek; vstupními parametry jsou vektor hodnot a počet přihrádek, výstupem pak stejně početný vektor s čísly ukazujícími, do které přihrádky spadá číslo na stejné pozici ve vstupním vektoru (takto můžeme například podle věku rozdělit děti do táborových oddílů apod.):
>> cut([1 8 5 5 5 8 0], 3) ans = 1 3 2 2 2 3 1
center - od všech čísel ve vstupním vektoru odečte průměr těchto čísel; vhodné na vyvážení hodnot okolo nuly:
>> center(1:9) ans = -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Se základy popisné statistiky se lze v češtině seznámit například na http://www.informatika.xcars.cz/zakladnipojmy.html.
ISSN 1214-1267, (c) 1999-2007 Stickfish s.r.o.