Dotaz: Výpočet přírustku funkce o dvou proměnných

[__dark__]

Ahoj,

vím, že je to celkem triviální úloha, ale nějak jsem se zasekl a nemůžu s tím hnout. Jde o to, že mám opravdu primitivní funkci o dvou proměnných 'x * y * C' a já bych potřeboval spočítat přírustek (delta), tak, abych v cyklu mohl jen přičítat tuto deltu a mít výsledek. X a Y se mění lineárně.

Funkční kód vypadá takto:

int i;

double x, dx;
double y, dy;
double C;

// nějaké startovní podmínky
x = 5;
y = 7;
C = 4.55;

// dx/dy je lineární.
dx = 0.1;
dy = 0.05;

for (i = 0; i < 1000; i++)
{
  double d = x * y * C;
  printf("%f\n", d);

  x += dx;
  y += dy;
}

Můj problém je, že bych v tom cyklu chtěl jen sčítat, takto bych si to představoval:

int i;

double x, dx;
double y, dy;
double C;

// nějaké startovní podmínky
x = 5;
y = 7;
C = 4.55;

// dx/dy je lineární.
dx = 0.1;
dy = 0.05;

// výpočet d a delty, popřípadě delta-delta?
double d = x * y * C;
double delta = ???

for (i = 0; i < 1000; i++)
{
  printf("%f\n", d);

  d += delta;
}

Pro výpočet delty jsem zkusil více možností, jsem si celkem jistý, že tam musí být y*dx*C + x*dy*C, ale něco mi tam chybí.

Takže, je tu nějaký zkušený matematik, co by věděl:_) ?

Odpovědi

[__dark__]

Pro zájemnce krátký testovací program v Pythonu, hledám d_d_d (delta-delta)

import math

def f(x, y, C):
  return x * y * C
  
x = 1.5
y = 1.9
C = 1.4
dx = 1.5
dy = 1.1

d = f(x, y, C)
d_d = x * dy * C + y * dx * C + dx * dy * C
d_d_d = dx * C + dy * C

for i in xrange(0, 10):
  a = f(x, y, C)
  d
  
  if abs(a - d) > 0.001:
    print "a=%f b=%f (FAILED)" % (a, d)   
  else:
    print "a=%f b=%f (OK)" % (a, d)   
  
  d += d_d
  d_d += d_d_d
  x += dx
  y += dy

[__dark__]

Protože mi to nedalo, musel jsem to vyřešit sám Je potřeba i druhá derivace funkce, takže mám 2 přírůstky (d, d_d), které jsou:

d   = x * dy * C + y * dx * C + dx * dy * C
d_d = 2 * C * dx * dy

Takže uzavřít

[l4m4]

Nemá to hlavu ani patu.

Čeho se snažíš dosáhnout tím sčítáním? Proč počítáš derivace a zase je sčítáš? To je jako psát program ověřující 1 == 1.

Když máš přimitivní funkci, tak už nemáš co sčítat a počítat nějaké delty, to už je výsledek.

Výsledek je v každém případě funkcí dvou proměnných. To co děláš, může být pokus o pohyb po nějaké nespecifikované křivce v rovině (x,y), která je zde náhodou přímka se sklonem dy/dx, nebo taky nesmysl.

S těmi druhýmí derivacemi je to úplný blábol.

[__dark__]

Zjevně nechápeš, co je něco počítat v cyklu:) Přikládám testovací program, který už funguje. Šlo o to, abych spočítal průběh té funkce, aniž bych musel dosazovat do f(), takže jsem spočítal přírustek (d), a přírůstek přírůstku (d_d).

Nechce se mi hledat skripta a přesný název toho, co hledám, ale v Mathematice se na to dá použít funkce DifferenceDelta[].

Jde mi o výkon, tato funkce je část jiné funkce, kterou už jsem měl hotovou, jen tato malá věc, kde bylo x a y neseparovatelné, mi způsobila trochu problém:)

import math

def f(x, y, C):
  return x * y * C
  
x = 1.5
y = 1.9
C = 1.4
dx = 1.9
dy = 1.5

d = f(x, y, C)
d_d = x * dy * C + y * dx * C + dx * dy * C # První
d_d_d = 2 * C * dx * dy # Druhá

for i in xrange(0, 10):
  a = f(x, y, C)
  
  if abs(a - d) > 0.001:
    print "a=%f b=%f (FAILED)" % (a, d)   
  else:
    print "a=%f b=%f (OK)" % (a, d)   
  
  d += d_d
  d_d += d_d_d
  x += dx
  y += dy

[l4m4]

Šlo o to, abych spočítal průběh té funkce, aniž bych musel dosazovat do f()

No dobře, to je popis toho, co děláš. Ale tím, že to popíšeš, to nezačne dávat smysl.

Proč nechceš počítat hodnotu funkce, když ji spočítat dovedeš? Je to skoro vždy mnohem jednodušší než numerická integrace -- v tvém případě je to zcela evidentně jednodušší. Jediná důležitá praktická výjimka, kterou znám, je obecný Bresenhamův algoritmus pro rasterizaci algebraických křivek, ale tam je to právě tou diskretizací do rastru.

A že to s tou druhou derivací provádí něco smysluplného je zde dáno čistě tím, že Taylorův rozvoj té funkce končí u druhého řádu. Takže ve skutečnosti počítáš přímo zase hodnotu té funkce, akorát ten polynom máš hrozně složitě rozepsaný.

[__dark__]

Protože chci počátat diferenciál, stačí?

[__dark__]

A jinak sorry, ale trvdit o něčem, že to nemá hlavu ani patu, když máš k dispozici i zdroják na otestování, je trochu ubohé. Ta funkce je taky hodně primitivní, takže sis chtěl asi jen rýpnout ne...?

S tou druhou derivací to zase takový blábol nebude, protože nehledám parciální, ale úplnou.

[l4m4]

A jinak sorry, ale trvdit o něčem, že to nemá hlavu ani patu když máš k dispozici i zdroják na otestování, je trochu ubohé.

Mohu a budu s klidem tvrdit, že to nemá to hlavu ani patu, i kdyby k tomu bylo deset testovacích zdrojáků, pokud nemá hlavu ani patu původní formulace problému.

Ta funkce je taky hodně primitivní, takže sis chtěl asi jen rýpnout ne...?

Primitivní funkce je (zhruba řečeno) taková, kterou když zderivuji, dostanu původní funkci. Tato vlastnost není kvantifikovatelná. Buď funkce k dané funkci primitivní je, nebo není, nemůže být více nebo méně primitivní.

S tou druhou derivací to zase takový blábol nebude, protože nehledám parciální, ale úplnou.

Děkuji za potvrzení, že to je naprostý blábol.

Parciální derivace je derivace podle jednoho argumentu.

Totální derivace je pojem, který má smysl, pouze pokud jsou některé argumenty funkcemi dalších argumentů/proměnných. To zde má nastávat konkrétně kde a jak? A i pak se v první totální derivaci vyksytují stále jen particální derivace. Totéž pro totální diferenciál.

[__dark__]

Děkuji za potvrzení, že to je naprostý blábol.

Parciální derivace je derivace podle jednoho argumentu.

Totální derivace je pojem, který má smysl, pouze pokud jsou některé argumenty funkcemi dalších argumentů/proměnných. To zde má nastávat konkrétně kde a jak? A i pak se v první totální derivaci vyksytují stále jen particální derivace. Totéž pro totální diferenciál.

Funkce x*y má diferenciál, a diferenciál diferenciálu, já fakt nevím, co je na tom nepochopytelné.

[l4m4]

Dokážeš vůbec rozlišit mezi derivací a diferenciálem?

Nepochopitelné je, jak tu žonglueš matematickými pojmy.

[__dark__]

Nepochopitelné je, že si tu jediný, kdo nepochopil, o co jde. Namísto analytického řešení tu plácáš něco o numerické matematice na příkladu x*y. Pokud nemáš nic k tématu, tak opravdu nechápu, jaký mají tvoje komentáře smysl.

Dokážeš vůbec rozlišit mezi derivací a diferenciálem?

Dokážu, ale netvářím se, že to spolu nesouvisí...

Nepochopitelné je, jak tu žonglueš matematickými pojmy.

No vidíš, a ty do toho přidáváš elektrárny a mosty. Máš tu nejvíc příspěvků, a trumfl tě ten nejmenší co tu je.

[dementni.lojzik]

jen tak pro upresneni, to neni zadna druha derivace, ale jen dosazeni, totalni diferencial te funkce je df(x,y) = C*y*dx + C*x*dy, pricemz vis, ze y = x0 + i*dx, y = y0 + i*dy a to dosadis za x a y pri vypoctu totalniho diferencialu a dostanes (pro i-tou iteraci) \Delta f = C*x0*dy + C*y0*dx + i*2*C*dx*dy

[dementni.lojzik]

ech, su blbej, pochopitelne je to diferencial diredencialu...

[l4m4]

Pokud potřebuješ numericky řešit diferenciální rovnici, tak se podívej na Runge-Kuttovu metodu (nebo spíš metody, je to celá rodina metod), což je skutečná a dobré metoda vyššího řádu. Nejdířv ale budeš muset ten problém smysluplně formulovat.

[__dark__]

Ale já už jsem to dávno vyřešil, tak nevím co pořád máš. Nic numericky řešit nepotřebuju, když se to dalo udělat analyticky...

[l4m4]

ROTFL!

Vážně, při tomto jsem málem spadl ze židle. Akorát doufám, že nebudeš projektovat jaderné elektrárny, mosty, nebo raději vůbec cokoli, s čím přijdu v životě do styku.

[__dark__]

Já zase padám ze židle z toho, že se celou dobu tváříš, že absolutně nelze pochopit dotaz. Ostatní to pochopili, takže bude asi problém u tvého vedení:)

[VM]

Dělal bych to takhle - zkontrolujte to po mě, netestoval jsem to. Možná je to blbě, ale myšlenka by tam být měla.

Teorie:

"d" se v jednom kroku zvětší o C*x*dy + C*dx*y (označíme "a")
"C*x*dy" se zvětší o C*dx*dy
"C*dx*y" se zvětčí také o C*dx*dy, tuto konstantu označíme "b/2"
Takže "C*x*dy + C*dx*y" se zvětší o "b"

Takže by mělo stačit něco ve smyslu:

d=x*y*C;
a=C*(x*dx+dx*y);
b=2*dx*dy*C;
for(i=0; i<1000; i++) {
    printf("%f\n",d);
    d+=a;
    a+=b;
}

[__dark__]

Já už jsem to vyřešil, ale to a se mi nezdá:) Potřeboval jsem diferenciál této funkce:

d = x^2 * (r^2 - fy^2) + y^2 * (r^2 - fx^2) + x*y * (2*fx*fy)

Ale problém jsem měl právě s tím x*y:)

Celý kód je zde:

http://code.google.com/p/fog/source/browse/trunk/Fog/Fog/G2d/Render/Render_C/PGradientRadial_p.h