Matematika - transformace souřadnic (diskuse)

[backinabag]

Problém je v tom, že promítám na rovinu a ne na kulovou plochu, navíc pod úhlem.

Takze "X Galvo" nemiri kolmo na promitaci plochu?

V podstatě mám souřadnicemi dané 2 úhly - jeden který svírá paprsek proti středové ose promítání a pak úhel, který svírá spojnice středu plochy proti bodu daném souřadnicemi. Potřebuju nějakou funkci, která úhel paprsku rozloží úhlem souřadnic na úhly natočení zrcátek. To mi nikdo zatím nezodpověděl - jakým způsobem se skládají a rozkládají úhly do jiných rovin. Vím, že vektor jde rozložit podle úhlu do navzájem kolmých složek, ale jak totéž udělat s úhlem rozkládaným jiným úhlem mi uniká.

Priznam se, ze tenhle odstavec vubec nechapu. Takhle zatim rozumim tomu zadani: mas nejaky bod (x, y) na promitaci plose a chces najit natoceni "X Galvo" a "Y Galvo", aby paprsek dopadl na ten bod.

[Jendа]

Takze "X Galvo" nemiri kolmo na promitaci plochu?

Nejspíš má nějaké problémy s geometrií. Proto bych si promítl mřížku, zaměřil skutečné souřadnice a aproximoval sítí.

Takhle zatim rozumim tomu zadani: mas nejaky bod (x, y) na promitaci plose a chces najit natoceni "X Galvo" a "Y Galvo", aby paprsek dopadl na ten bod.

Řekl bych, že jo.

[vlastikroot]

Mam problem s geometrii Ale naklopeni projektoru je schvalne a da se nastavit mechanicky. Korekcni mapa je az uplne posledni moznost, potrebuju tam dostat realitu - vsechny potrebny vzdalenosti atd muzu celkem presne zmerit, ale kdyz si to neumim spravne odvodit, tak je mi to k nicemu.

[Jendа]

Tak v tom případě promítáš vlastně rovnoramenný lichoběžník, ne?

[kralyk z abclinuxu]

Imho to nemůže být žádný tvar z eukleidovské geometrie. To bude něco zakroucenýho

[Jendа]

Jo, pravda, dopustil jsem se klamu s pravítkem. Mea vulva, jdu spáchat sudoku.

[vlastikroot]

X Galvo je ve vychylovacim systemu normalne 45 stupnu jak ma byt, ale cela hlava je naklopena - promita sklopene v ose y. Pokud je k dispozice obecna rovnice, staci tam pridat sklopeni jako souradnicovy offset (jen promitam v jinem intervalu souradnic), spocitat to jak to ma byt a pak ten uhlovy offset, ktery tam je udelany mechanicky, znovu odecist. Ale zadani chapes spravne.
Ja jsem dospel k tomu, ze jsem si spocital uhly z prumetu pruvodice do rovin x a y. Ale tyto uhly jsou spatne - neuvazuji vliv druhe osy. Dalsim jinym odvozovanim jsem dospel znovu k tem samym vysledkum, ktere sice plati, ale jen pro X=0 nebo Y=0.

[kralyk z abclinuxu]

Podle mýho to, co ti ten paprsek promítá, netvoří kulovou plochu, ale "dovnitř zaoblenej obdélník". Tzn. stejný tvar, jako má čočka rozptylka (z profilu), ale širší. Nevim, jak se tomu nadává a transformaci taky nevím, zkusím ještě zapřemýšlet.

[vlastikroot]

Na kulove plose bych mel linearni prevod uhel-vzdalenost. Dovnitr zaoblenej obdelnik je pincushion, je to jeden z projevu geometrie spolecne s keystone. Ja bych potreboval jednim smahem digitalne vsechno spocitat, co nejvic presne (v ramci float vystupu, double uvnitr).

[kralyk z abclinuxu]

Jasný, to je ten pojem, díky, nicméně on to pincushion nebude Sry.

[kralyk z abclinuxu]

Počkat, on to ten pincushion přeci jen bude.

Představme si, že X galvo se zuřivě točí, takže v podstatě na zrcátko Y promítá čáru. Pokud je zrcátko Y v defaultním úhlu (45°), vidíme na projekční ploše čáru snadno vypočitatelné délky. Pokud se ovšem zrcátko Y vychílí BÚNO nahoru, čára se pohne též nahoru a zároveň se rozšíří, protože vzdálenost, kterou musí paprsek urazit, je nyní o něco dělší. Je to jako bychom promítaci stěnu trochu oddálili. Pokud by se zrcátko Y pohybovalo velmi rychle vždy o kousek nahoru a dolů, uvidíme na projekční ploše pincushion.

Souhlasíte s mnou doposud?

Takže ty v podstatě potřebuješ kompenzovat tu vzdálenost navíc, kterou paprsek musí urazit, když je zrcátko Y vychýleno od úhlu pi/4. Nevím, jaký je přesně vzoreček pro tuhle vzdálenost, ale imho to bude trigonometrická funkce vychýlní Galva Y.

[vlastikroot]

Je to tak, rovina dela pincushion a naklopeni navic jeste keystone. A ze to bude kombinace obou souradnic pres nejaky trigonometricky funkce je mi taky jasny

[Jendа]

Have you tried logarithms?

[kralyk z abclinuxu]

Příloha:

• vlastikroot.jpg (550408 bytů)

Hodil jsem to na papír, máš to v příloze.

Doufám, že to je správně, je to nějaký podezřele jednoduchý

d je vzdálenost projekční plohy, ay a ax jsou ty úhly.

[kralyk z abclinuxu]

Dvě poznámky: 1) Vlevo dole má bejt ax, ne ay; 2) pokud y = 0, volíme dr = d.

[vlastikroot]

Tohle uz jsem zkousel taky, ale ma to jednu zasadni vadu - kdyz chci udelat primku tak, ze y = konst a x menim, nedela to primku, ale oblouk. Tohle zanedbava vliv osy X na osu Y.

[kralyk z abclinuxu]

No, tahle úvaha uvažuje laserovej paprsek pouze jako přímku, ne jako válec, to by bylo složitější. Jseš si jistej, že ti paprsek ze zrcátka x dopadá opravdu na osu otáčení zrcátka y a ne kus mimo? A že jsou ty osy otáčení opravdu v pravým úhlu? Protože mi není jasný, kde by se tam jinak ten vliv osy x na y vzal...

[Kvakor]

Počkat, on to ten pincushion přeci jen bude.

Pokud si to dobře pamatuju, tohle se v některých projektorech řeší asférickou čočkou, která je podobná běžné spojce, ale je uprostřed mnohem plošší než na okrajích, tudíž čím je paprsek dále od osy, tím více dovnitř se láme ve srovnání s normální sférickou čočkou (viz obrázek na této stránce o asférických čočkách, tedy až na to, že tam je asférická naopak a potlačuje soudkovitost).

[backinabag]

Podarilo se mi jenom spocitat misto dopadu na promitaci plochu, kdyz vim uhly a a b. Pokud a = pi/4 a b = pi/4, tak by paprsek mel smerovat do stredu (tzn. podobne jako na tom obrazku). Je samozrejme mozny, ze tam je nekde chyba, pravdepodobnost chyby odhaduju na 50% :) Ale postup by mel byt ok.

Pouzivam stejny system souradnic jako na tomhle obrazku.

Myslenka je jednoducha, pokud vim normalovy vektor roviny a smer dopadu paprsku, muzu spocitat vektor odrazu.

Vektor l1 (light 1) je vektor, ktery smeruje z mista dopadu na prvni zrcadlo ke zdroji.

l1 = [0, 1, 0]

n1 je normalovy vektor roviny prvniho zrcadla, normalizovany na delku 1.

n1 = [0, cos(a), sin(a)]

r1 je vektor odrazu paprsku od prvniho zrcadla, smeruje pryc od mista dopadu. Jak spocitat vektor odrazu je vysvetleno zde.

r1 = 2*(n1*l1)*n1 - l1 = [0, 2*cos(a)*cos(a) - 1, 2*sin(a)*cos(a)]

Normalovy vektor roviny druheho zrcadla:

n2 = [cos(b), 0, -sin(b)]

A l2 je totez co r2, jenom ma opacny smer:

l2 = -r1 = [0, 1 - 2*cos(a)*cos(a), -2*sin(a)*cos(a)]

Vektor odrazu od druheho zrcadla spocitam stejne jako pro prvniho zrcadla:

r2 = [4*sin(a)*cos(a)*sin(b)*cos(b), 2*cos(a)*cos(a) - 1, 2*sin(a)*cos(a) * (1-2*sin(b)*sin(b))]

Z vektoru r2, ktery smeruje na promitaci plochu, je ted potreba spocitat misto dopadu (projx a projy). Pokud mam vektor [x, y, z], tak projx = y/x a projy = z/x. Obe souradnice je jeste potreba vynasobit konstantou s podle vzdalenosti platna.

Takze:

projx = s * (2*cos(a)*cos(a)-1) / (4*sin(a)*cos(a)*sin(b)*cos(b))

projy = s * (2*sin(a)*cos(a)*(1-2*sin(b)*sin(b))) / (4*sin(a)*cos(a)*sin(b)*cos(b))

Pokud chces umet prevest projx a projy na a a b, tak je potreba resit soustavu dvou rovnic, coz jsem nezkousel, ale vypada to slozite.

[backinabag]

Ty uhly a a b jsou natoceni X Galvo a Y Galvo, na obrazku jsou natoceny priblizne na 45 stupnu (pi/4 v radianech).

[vlastikroot]

Na vysledny rovnice je jednoducha zkouska, ze pro specialni pripad X=0 je rovnice b = atan(y/vzdalenost). To samy pro Y. Tohle nevypada, ze by tim proslo

[backinabag]

Hm, mas pravdu, nevypada to, ze po vyreseni ty rovnice by vysel atan :)

Co presne je to b, jakych to muze nabyvat hodnot? Protoze ten muj uhel b je v intervalu 0 az 90 stupnu (pri 45 stupnich paprsek miri doprostred platna), kdezto atan vraci -90 az 90.

[backinabag]

Pokud pouziju b = atan(y) / 2, tak ta zkouska vychazi.

[backinabag]

Kdyz se totiz uhel a zafixuje na 45 stupnu, tak

y = (2*sin(a)*cos(a)*(1-2*sin(b)*sin(b))) / (4*sin(a)*cos(a)*sin(b)*cos(b))

jde podle wolfram alpha upravit na y = cotan(2*b).

[backinabag]

Vlastne to takhle jde upravit vzdycky, tzn. y vubec nezavisi na otoceni prvniho zrcadla.

[kralyk z abclinuxu]

Tak alespoň že tenhle závěr nám vyšel stejně... Ty rovnice už asi ne ale možná to špatně počítám...

[kralyk z abclinuxu]

Aha, už to vidím, to y nám vyšlo stejně (akorát já uvažuju jinej úhel, proto tg místo cotg). Jestli vyšlo stejně i x už opravdu počítat nebudu. Dobrou noc

[backinabag]

To co mi vyslo jde dost zjednodusit, r2 (vektor paprsku smerujiciho na platno) wolfram alpha zjednodusil na [sin(2a) * sin(2b), cos(2a), sin(2a) * cos(2b)] Dobrou

[backinabag]

Podarilo se mi vyjadrit oba uhly, tohle by mohlo fungovat pokud jsem nekde neudelal chybu:

alpha = 0.5 * acos(x / sqrt(x^2 + y^2 + 1))

beta = 0.5 * acot(y)

Pokud zafixuju x nebo y na 0, tak to dava stejny vysledky jako atan(uhel)/2. Alpha i beta jsou uhly 0 az 90, kdyz jsou oba 45, tak paprsek smeruje doprostred.

[vlastikroot]

Ty uhly by meli mit stejnou rovnici, ovlivnuji se navzajem uplne stejne, tzn kdyz otocim hlavu a prohodim tim X a Y, funguje to porad stejne. Porad predpokladam, ze zrcatka nemaji mezi sebou zadnou vzdalenost, ale efekt tohoto by mel byt velmi maly - zrcatka jsou vzdalena 9mm a promitam do vzdalenosti 1500mm, tzn pri mensich rozkmitech by se to vubec nemelo projevit. Za to tahle transformace ma vliv obrovsky, bez toho to asi vubec neje pouzit.

[kralyk z abclinuxu]

Efekt té vzdálenosti mezi zrcátky by měl být zanedbatelný. Ale to s tím otočením hlavy nechápu, jak to myslíš?

[vlastikroot]

Otocenim hlavy myslim to, ze oba vzorce (X i Y) musi byt principalne shodne, protoze to funguje stejne v obou osach.

[kralyk z abclinuxu]

No, já vůbec netušim, co tam fyzicky máš a co fyzicky znamená to 'otočení hlavy'. Čistě podle toho nákresu v zápisku imho není možný, aby byly vzorce pro obě souřadnice stejný. Koneckonců, s kolegou jsme došli nezávisle ke stejnýmu řešení... Ale jde o to, že ten experiment nemusí tý teorii odpovídat...

[vlastikroot]

Otoceni znamena fyzicky o 90 stupnu otocit celou hlavu tak, aby se prohodily osy (tzn zrcatko pro Y bude promitat X). Nic se nezmeni - vzorce musi byt na stejnem principu (napr. se budou lisit jen v sin/cos). Kdyz budu mit zrcatko jedne osy pevne a druhym budu otacet, delka pruvodice bude v kazdem bode jina a tim padem to nenakresli primku. Je jedno, ktere to je, chova se to symetricky v obou osach stejne. Nejde jednu osu zanedbat a korigovat jen tu druhou.

[kralyk z abclinuxu]

Kdyz budu mit zrcatko jedne osy pevne a druhym budu otacet, delka pruvodice bude v kazdem bode jina a tim padem to nenakresli primku.

To, že délka průvodiče je jiná, ještě neznamená, že to nevykreslí přímku. Když si vemeš do ruky laser, budeš jím svítit na zeď a budeš jim vodorovně otáčet, tak taky promítneš přímku, přestože dráha je v každým bodě jinak dlouhá.

Jestliže se ti to opravdu chová tak, jak popisuješ, tak to znamená, že to tvoje zařízení neodpovídá tomu modelu na obrázku.

[vlastikroot]

Nasel jsem popis na wiki. Predpoklad, ze to vykresli primku vychazi z aproximace malych uhlu. Na korekci tohodle problemu existuje f-theta lens nebo jinym jmenem flat field lens. Vicemene bych potreboval digitalne simulovat takovou cocku.

[kralyk z abclinuxu]

Ale tenhle efekt už je započítaný. Od čeho sis myslel že tam jsou ty goniometrický funkce?

Jádro naší neshody spočívá v tom, že ty uvažuješ úhly vychýlení paprsku. Pokud bychom chtěli vypočítat vodorovný a svislý úhel natočení paprsku, tak bys měl úplnou pravdu - ty vzorce by skutečně musely být pro obě souřadnice stejný.

Fór je v tom, že ty úhly natočení zrcátek úhlům vychýlení paprsků neodpovídají. Respektive ten X-ový ano, ale ten Y-ový už ne. Proč? Protože zatímco na to X-ové zrcalo dopadá paprsek vždy do stejného bodu, na tom Y-ovém zrcátku tohle neplatí. Ve chvíli, kdy vychýlíš X-ové zrcátko, tak se změní bod dopadu paprsku na tom Y-ovém zrctáku, což způsobí změnu úhlu odrazu. Zatímco vychylování Y-ového zrcátka s úhlem na X-ovém nic nedělá. Proto je ten vzorec pro Y-ové zrcátko ovlivněn i úhlem na X, zatímco ten pro X není Y-ovým ovlivněn nijak.

Důležité je uvědomit si to, že úhel natočení Y-ového zrcátka je o něco jiný než jaký je výsledný Y-ový úhel paprsku. Pokud bys chtěl, aby byl stejný, musel bys to Y-ové zrcátko přidělat k tomu X-ovém tak, aby při otočení X-ového se to Y-ové po kružnici přesunulo tak, že by paprsek dopadal do stejného místa. To by ale konstrukčně bylo zbytečné náročné.

Tak snad se mi to podařilo objasnit...

[kralyk z abclinuxu]

Jinak ve výpočtu jsme žádnou osu nezanedbali, to, co proved kolega je v podstatě raytracing a ten nekecá

[vladimír Zima]

Neděláš ty něco pro laserové sváření plastů?

[vlastikroot]

Ne, je to celkem levna cinska hlava se sklenenyma zrcatkama. Vykon laseru 100mW. Staci na ebay hledat galvo scanner. Na svarovani je potreba mnohem silnejsi laser a lepsi vybaveni - kovova chlazena zrcatka, tzn mnohem silnejsi motory, lepsi budice atd atd.

[Miloslav Ponkrác]

Takže máme nejasné zadání s nedostatkem vstupních informací.

Máme 2 zrcátka, které vychylují paprsek. Je vcelku jasné, že vychýlení na prvním zrcátku změní i vstupní bod na druhém zrcátku, který to následně ještě někam posune. To je to, co napsal autor jako „nelineární závislost“.

Potřebujeme toho vědět tedy více, včetně vzájemného umístění zrcátek a jejich vzdálenosti – jinak takovou rovnici nelze vůbec odvodit.

A protože zadání zní „mám systém PODOBNÝ tomuto“, je to zadání typu „mám rád vepřo, knedlo zelo, můj brácha je blonďák, kolik je mi let“.

Odvození rovnic je triviální, ale když se autor vybodne i na pečlivost v zadání a všechno v zadání je jenom jako, tak proč se nevybodnout na odvozování?

[jj]

Lidi, kteří sem nechodí brblat, tu úlohu konstruktivně vyřešili...

[pochybnik]

Na to je jednoduchá odpověď - je ti 48 let!

[vlastikroot]

Zadani je jasne - vypocitat uhly zrcatek tak, aby paprsek miril na bod zadany souradnicemi na rovine. Ted vubec neuvazuju vlastni zkresleni projektoru, protoze v realu se rozdilna vzdalenost zrcatek projevi mensi chybou, nez je velikost tecky laseru. Uvazuju idealni projektor, ktery promita idealne na kulovou plochu (krivkovy integral po kulove plose je linearni vuci uhlu).

Vzhledem k tomu, kolik lidi si na tom uz vylamalo zuby a vlastne mi nikdo zatim presne nerekl, jak to spravne je, nepovazuju tuhle ulohu za trivialni .

[backinabag]

a vlastne mi nikdo zatim presne nerekl, jak to spravne je, nepovazuju tuhle ulohu za trivialni

No, kdyz ja dve hodiny neco (zdarma) pocitam a ty to odbydes ala "takhle to vyjit nemuze, nejak se mi to nezda", ani se neobtezujes to vyzkouset (natoz se zmyslet nad postupem reseni), tak clovek uplne ztrati chut se tim vubec zabyvat. Spocitej si to sam, kdyz ses tak chytrej, lituju toho ztracenyho casu

[vlastikroot]

Sry, tak jsem to vubec nemyslel. Za pomoc jsem moc vdecny Reagoval jsem na Ponkracuv koment, ze je spatne zadani. Me tvoje uplne posledni vysledny reseni vyslo taky, jinym zpusobem (uhel +-45 kolem 0) a zkousel jsem ho, ale nefungovalo a melo zminenou vadu s kulatyma primkama. Taky my vysly ruzny jiny vysledky, ktery taky nefungovaly.
Asi to vzdam, vypada to, ze to nema cenu pocitat, kdyz je to tak slozity a ve vysledku tam muzu mit i jiny nelineatity. Posledni reseni co mi zbyva, je koupit A3 milimetraky a odmerit si korekcni mapu. Prace na nekolik dni ... Toho jsem se prave chtel vyhnout, ale jak vidim tak mi asi stejne nic jineho nezbyva, o to vic, pokud budu verit, ze tve reseni je spravne a v realu nefunguje.

[pc2005]

Jinak ta korekční mapa bude asi nejlepší, protože co jsem viděl na těch videích od Jendy, tak to dost brutálně zkresluje setrvačností mechanických součástí.

[Jendа]

Myslíš třeba zaoblené rohy? To mapou transformací neopravíš, protože se to mění podle promítaného obrazu…

[pc2005]

Hmm v tom případě je nutno zahrnout do modelu transformace i mechaniku pro setrvačnost motorků :-/.

[vlastikroot]

Tohle vsechno se da dokompenzovat na driverech. Je tam klasickej PID regulator a aspon na tech mych galvech to jde dost zrychlit a zpresnit.

[pc2005]

Aha, jestli je to v driverech tak v pohodě.

[sigma]

To se snad normálně dělá - a vzhledem k tomu, že tam nejsou žádné poruchy typu variabilního neznámého zatížení těch motorů, a všechny potřebné parametry půjde zjistit, tak by to šlo udělat i dost přesně. Další možnost zpřesnění je doplnit na ty motory odměřování přes inkrementální snímače.

[backinabag]

Sry, tak jsem to vubec nemyslel.

Jasne, neni problem, pocit ukrivdenosti uz vyprchal

[David Jaša]

Potřebujeme toho vědět tedy více, včetně vzájemného umístění zrcátek a jejich vzdálenosti

Ale bylo, stačí jen zadání přečíst.

[pc2005]

Tak trochu OT: Jak je to rychlý, umělo by to zobrazovat třeba video?

[Jendа]

Video určitě ne (pokud ti nestačí něco jako 20 řádků), jednodušší vektorové animace jo. (1 2 3)

[pc2005]

20 je málo, ale taková stovka by byla už zajímavá. Ale uvědomuju si, že by ty motorky musely rotovat sebedestruktivní rychlostí .

[kralyk z abclinuxu]

Co je v těhle věcech použito na vychylování paprsku?

[Jendа]

Galva se zrcátkama - stejně, jako v zápisku. Takhle to vypadá IRL. Barevného obrazu je docíleného pomocí tří laserů a složení dichroickými zrcadly do jednoho paprsku.

[kralyk z abclinuxu]

Aha. Dá se to sehnat za rozumnou cenu? (Jen ta součástka, co je na obrázku.) Co jsem zběžně koukl na ebay, tak to jsou sumy jako 3kKč apod., což je teda docela dost.

Zabýval jsem se před časem nápadem tohle vyrobit z dvou aktuátorů z optický mechaniky. Už je mam i změřený. Jsou řízený proudem a mechanicky jsou samy o sobě hodně přesný a mají i celkem vhodné mechanické vlastnosti, ale nevim, jestli bych byl schopen to celý zkonstruovat s dostatečnou přesností.

[vlastikroot]

3kKc je rozumna cena - mas za to mount, 2 motory, 2 PID drivery, PSU a kabely. V ceskych obchodech se takova sada prodava tak za 15kKc. Normalni cena takove hlavy pro profi pouziti zacina na $1000 za jedno galvo, pak specializovany XY drivery s integegrovanyma korekcema a DAC ... S presnou mechanikou mas pak treba 100kKc za jednu hlavu. To je duvod, proc se snazim zkorigovat tuhle cinskou hracku, mam 60kpps (bod/s) sadu, tzn jednu z tech nejlepsich, co se daji koupit na ebayi.

[David Jaša]

čuchám čuchám, že se paprsek bude pohybovat po hyperbole budeš-li mít jedno zrcátko ve fixní nenulové poloze a druhým budeš pohybovat od mínus pí čtvrt do pí čtvrt. Hyperbola bude zadaná:

• bodem, kam se paprsek promítne při druhém zrcátku v nulové poloze
• asymptotami: dostaneš je promítnutím paprsku rovnoběžného s průmětnou, kterého docílíš otočením druhého zrcátka limitně k pí čtvrt (tedy jako by tam skoro nebylo), resp. k mínus pí čtvrt (tedy zrcátko odrážející téměř zpět ke zdroji)

To by ti mělo stačit ke určení funkcí hyperbol (první krok už máš - určení vrcholu hyperboly), tak teď už jen ten úhel asymptot, a pak už jen určit inverzní fci.