Octave - 14 (finance a statistika)

12. 5. 2006 | Jiří Poláček

Články - Octave - 14 (finance a statistika)  

Přehled funkcí finanční matematiky a popisné statistiky.

Finanční matematika

Kdo občas nepotřebuje spočítat, kolik uspoří při daných platbách, jaký bude dostávat důchod a kolik prodělá na výhodném úvěru?

Složené úrokování

Vysvětlení sady funkcí pro finanční matematiku bude nejlepší provádět na příkladech:

Do investičního fondu vložíme 100 000 Kč. Kolik nám to vynese po patnácti letech při předpokládané úrokové míře 7 %?

>> format bank
>> fvl(.07, 15, 100000)
ans = 275903.15

První parametr funkce fvl - úrokovou míru - zadáváme jako setinové vyjádření procent (stejně tomu je i u ostatních funkcí). Druhý parametr je počet úročených období a třetí pak počáteční vložená částka. Příkaz format bank nám zajistí výpis čísel zaokrouhlený na dvě desetinná místa.

A naopak - jak velká musí být počáteční investice, aby po patnácti letech spoření s úrokovou mírou 7 % byl na účtu rovný milión?

>> pvl(.07, 15, 1000000)
ans = 362446.02

Jaká bude konečná cena tisícikorunového výrobku, který byl nejdříve dvakrát zdražen o 30 % a po té zlevněn o 65 %?

>> pvl(.65, 1, fvl(.30, 2, 1000))
ans = 1024.24

Spoření a důchody

Budeme si následujících 30 let platit penzijní připojištění 500 Kč měsíčně (plus 150 Kč bude příspěvek od státu) u penzijního fondu s předpokládanými ročními výnosy 5 %. Kolik budeme mít na kontě, až půjdeme do důchodu?

>> fv(.05, 30, 650*12)
ans = 518223.01

Výpočet je poněkud zjednodušený - nebereme v úvahu případné průběžné úročení částky v průběhu roku (no a hlavně je snazší odhadnout, jaké bude počasí za rok, než jaký bude roční výnos našeho fondu). Funkce fv má ještě další dva volitelné parametry - počáteční vklad a příznak, zda pravidelná platba (paušál) probíhá na začátku či na konci příslušného období. Porovnejme:

>> fv(0.1, 1, 100, 1000, 'b')
ans = 1210.00
>> fv(0.1, 1, 100, 1000, 'e')
ans = 1200.00

V prvém případě byl paušál na první období (100 peněz) zaplacen zároveň s počátečním vkladem (1000 peněz), proto se úrok počítal z částky 1100. V druhém případě byl paušál zaplacen až na konci období, proto se úrok počítal pouze z počátečního vkladu. Nuže parametr 'b' = na začátku (od begin), 'e' = na konci (end) - výchozí hodnota.

Na problematiku pravidelných výplat - důchodů si pak lze vzít ku pomoci funkci pv.

Jaká částka nám zajistí roční bezprostřední předlhůtní / polhůtní důchod ve výši 16 000 po dobu dvaceti let při neměnné roční úrokové sazbě 4 %?

>> pv(0.04, 20, 16000, 'b')
ans = 226143.03
>> pv(0.04, 20, 16000, 'e')
ans = 217445.22

Opět lze dedukovat, že 'b' značí výplatu na počátku období (tj. předlhůtní důchod) a 'e' výplatu na konci období (polhůtní důchod).

Z pohledu banky může být otázka okolo důchodů položena také takto: jak velké musí být roční procentuální zhodnocení vloženého kapitálu ve výši například 200 000 Kč, aby bylo možno po dobu dvaceti let vyplácet roční důchod 16 000 Kč?

>> rate(20, 16000, 200000)
ans = 0.049643

Jelikož nebylo specifikováno, výsledek platí pro polhůtní důchod, i zde je možno tuto skutečnost uvést stejným způsobem jako u předchozích funkcí.

Splácení dluhů

Následující dvě funkce navyšují počáteční dluh o úrok, ovšem s tím, jak je dluh postupně splácen, snižuje se též úrok za každé období.

Jaká bude výše měsíční splátky, pokud se nám podaří získat úvěr od Státního fondu rozvoje bydlení ve výši 150 000 Kč? Splácí se deset let a roční zúročení činí 2 %:

>> pmt(0.02, 10, 150000)/12
ans = 1391.58

Pokud bychom tento úvěr chtěli splácet měsíční částkou ve výši 2 000 Kč, jak dlouho budeme splácet?

>> nper(0.02, 2000*12, 150000)
ans = 6.74

Výsledkem je počet období, v tomto případě tedy šest a tři čtvrtě roku.

Popisná statistika

Analýza střeleckých pokusů

Nyní rychlé seznámení se sadou funkcí spadajících do popisné statistiky. Zkusme motivační příklad - mějme vektor hodnot střeleckých pokusů pistolí do terče - můžeme si je vygenerovat například následujícím způsobem:

>> strelba=round((10-3*abs(randn(1,10)))*10)/10
strelba =
  9.50  7.50  9.40  3.50  7.90  5.80  8.30  8.20  8.50  4.00

Spočítejme minimum, první kvartil, medián, třetí kvartil, maximum, průměr, standardní odchylku, šikmost a špičatost z těchto hodnot:

>> statistics(strelba)
ans =
   3.50
   5.80
   7.90
   8.50
   9.50
   7.26
   2.12
  -0.69
  -1.18

Čísla ve výsledku v uvedeném pořadí odpovídají požadavku. Funkce statistics slouží k rychlému získání souhrnné statistiky ze zadaného vzorku, pro výpočet používá následující statistické funkce:

mean

průměr; s pomocí textových parametrů 'a', 'g' a 'h' lze specifikovat, zda se má počítat aritmetický (výchozí), geometrický či harmonický průměr:

>> v=[3 3 7 7]; w=[3 4 5 6 7];
>> [mean(v,'a'), mean(v,'g'), mean(v,'h')]
ans =
  5.0000  4.5826  4.2000
>> [mean(w,'a'), mean(w,'g'), mean(w,'h')]
ans =
  5.0000  4.7894  4.5752

min, max

vrací hodnotu nejmenšího a největšího prvku; pokud jsou vyžadovány dva výsledky, vrací též pozici prvního výskytu nalezené hodnoty:

>> [hodnota, pozice]=max([1 2 3 3 3])
hodnota = 3
pozice = 3

median, var, std, skewness, kurtosis

medián, rozptyl, standardní odchylka, šikmost a špičatost.

Pokročilé funkce popisné statistiky

Kromě těchto funkcí samozřejmě nechybí ani další aparát na řešení náležitostí popisné statistiky:

range, iqr

vrací rozsahy, tj. rozdíl mezi hodnotou maximálního a minimálního prvku u funkce range a rozdíl mezi prvním a třetím kvartilem u funkce iqr:

>> x=1:10; range(x), iqr(x)
ans = 9
ans = 5

cov, cor, corrcoef

kovariance, korelace a korelační koeficient, tj. funkce pro vyjádření vztahu dvou veličin;

spearman, kendall

výpočet speciálních korelačních koeficientů;

table

tvorba kontingenční tabulky;

Pro většinu funkcí vázaných k popisné statistice platí, že pokud je vstupním parametrem vektor, dostáváme jako výsledek skalár, a pokud je na vstupu matice, výstupem je řádkový vektor výsledků pro každý sloupec matice zvlášť:

>> A=[1 2 3; 3 6 9; 10 20 30]
A =
   1   2   3
   3   6   9
  10  20  30
>> range(A(1,:)) % první řádek
ans = 2
>> range(A) % první řádek
ans =
   9  18  27
>> range(A) % celá matice
ans =
   9  18  27
>> range(A(:)) % celá matice jako vektor
ans = 29

Poslední příklad ukazuje trik, jak lze celou matici pojmout jako (sloupcový) vektor.

Rozděl a panuj

Repertoár statistických funkcí v Octave se neomezuje jen na popisnou statistiku, zájemci si mohou v manuálu prostudovat nástroje na provádění statistických testů, vyhodnocování modelů a výpočet nejrůznějších distribučních funkcí. Z balíku funkcí zařazených do popisné statistiky je však vhodné zmínit se ještě o dvou šikovných funkcí, které se dají využít i v jiných oblastech:

cut - provádí jakési rozdělování čísel do přihrádek; vstupními parametry jsou vektor hodnot a počet přihrádek, výstupem pak stejně početný vektor s čísly ukazujícími, do které přihrádky spadá číslo na stejné pozici ve vstupním vektoru (takto můžeme například podle věku rozdělit děti do táborových oddílů apod.):

>> cut([1 8 5 5 5 8 0], 3)
ans =
  1  3  2  2  2  3  1

center - od všech čísel ve vstupním vektoru odečte průměr těchto čísel; vhodné na vyvážení hodnot okolo nuly:

>> center(1:9)
ans =
  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4

Se základy popisné statistiky se lze v češtině seznámit například na http://www.informatika.xcars.cz/zakladnipojmy.html.

Seriál Octave (dílů: 16)

První díl: Octave - 1 (je to kalkulačka), poslední díl: Octave - 16 (a co dál?).
Předchozí díl: Octave - 13 (dokončení grafiky)
Následující díl: Octave - 15 (špetka matematiky)

Diskuse k tomuto článku

[JiK]

Dekuji za vyborny clanek. Je skvely a zejmena si cenim praktickych prikladu, jen by trebas ta financni matematika mohla jit i do nejakych slozitejsich veci, zajimala by mne trebas statistika cen akcii, fluktuace, technicka analyza. Zkratka neco, co si s kalkulackou nespocitam a s octave uz ano, urokove miry se daji zvladnout i v kalkulacce.

Chtel bych se zeptat redakce, zda mohu nejak podporit takto nadstandardne kvalitni clanek a jeho autora, aby byl za svou praci nejak nadstandardne odmemen.

[Jiří Poláček]

Jsem rád, že se článek líbí. Co se týče složitějších příkladů – nemohu psát o věcech, kterým nerozumím, ačkoliv působím na ekonomce, tak napřiklad analýze akcií vůbec nerozumím a ani o to nemám zájem :-/ Také si nejsem jist, kolik čtenářů by to ocenilo ... už teď podle počtu přečtení jednotlivých dílů seriálu je patrné, že Octave není to, co by každého návštěvníka portálu zajímalo (a když už jsem u toho, být v redakci, asi bych se zdráhal nadstandardně odměnit článek s podprůměrnou čteností

Každopádně těm, co seriál sledují, mohu již v tuto chvíli sdělit, že jsou připraveny dva poslední díly.

[XXX]

Mě by zajímalo nasazení Octave v nějaký praktický záležitosti. Rozumějmě třebas ve školním vysokoškolském prostředí. Jinak čtenost není všechno. takže jen tak dál.

[marulinko]

Ja som spravil pomocou pár skriptov spracovanie signálu z meraní. Jedno meranie je 36 súborov s niekoľkými údajmi zo snímačov. V octave najprv vyhladím signál pomocou FFT, potom zistím začiatok merania podľa nárastu sily na snímači, získam maximálnu hodnotu na intervale, priemernú hodnotu a integrál na danom intervale. Výsledok zapisujem do súboru a neuveriteľne to urýchlilo spracovanie údajov z merania. Nikdy pred tým som v octave nerobil a aj vďaka tomuto seriálu som zhruba za mesiac zvládol takmer všetko, čo som chcel urobiť, dokonca aj viac :)

[bagrball]

Studuji obor Geoinformatika (geodet+informatik) a Octave používáme prakticky denně (Zpracování měření z terénu, Vyrovnávací počet nebo se to dá rychle užít jako kalkulačka, která si pamatuje mezivýsledky a je, alespoň já mám ten názor, snažší na ovládání než třebas Excel). Občas přecházíme na Matlab, ale Octave zatím jasně vede a kdo v něm umí, tak má o spoustu starostí méně

[Vlastimil Ott]

Chtel bych se zeptat redakce, zda mohu nejak podporit takto nadstandardne kvalitni clanek a jeho autora, aby byl za svou praci nejak nadstandardne odmemen.

Asi nejlepší bude, když mu odměnu pošlete sám a přímo. Autor samozřejmě získá víceméně běžný honorář (výši neznám), sami čtenáři jej mohou ocenit podle svého rozhodnutí. Více bude vědět Robert, za pár dní bude zase "ve službě".

[JiK]

kdyby to slo jednim klikem na tlacitko vedouci na paypal.com, udelal bych to.

[Vlastimil Ott]

Pokud je mi známo, PayPal V ČR neoperuje.

[ladislav popov]

Možná je to dobrý článek ,ale pro normálního prostého člověka nesrozumitelné matematické znaky článek nic neříká.Myslím si pokud se upřesní,pak to nemá chybu.Popov

[Käyttäjä 11133]

Neřekl bych, že ty základní věci, které se zde popisují jsou nesrozumitelné znaky. Maticový počet zná snad každý student střední školy. A je pravda, že finanční matematika je docela úzce zaměřené témá už v tak v celkem odborném článku a asi to moc čtenářů nevyužije, ale co kdyby jednou někdo počítal nějakou půjčku, vzpomene si na ábíčko