Dotaz: jak se nejsnáze spočítá sin (bez počítače)

[kyknos]

Dotaz je programovací, nicméně potřebuji naprogramovat vlastní mozek.

Jaký je nejjednodušší a přitom snadno zapamatovatelný algoritmus pro výpočet sinus s tužkou a papírem nebo ideálně z paměti?

Znám algoritmus pomocí Taylorovy řady (nebo jak se to jmenuje), s tužkou a papírem je to v pohodě, ale z hlavy to moc nedávám. Existuje něco jednoduššího?

---

---

Odpovědi

[ZAH]

Pamtovat si něco základních hodnot a potom odhad v intervalu. viz http://cs.wikipedia.org/wiki/Goniometrick%C3%A1_funkce

[kyknos]

To se obávám bych daleko nedonavigoval :) Buď zoufale malá přesnost nebo zoufale moc dat k zapamatování :)

[kyknos]

V podstatě potřebuju mít kdykoliv k dispozici výsledky:

DEC = 23.5 * sin (0.973 * n) pro přirozené n <= 180

a

DEC = 23.5 * sin (n -5) pro přirozené n od 181 do 365

s tím, že ten výsledek je potřeba v přesnosti na desetiny stupně :)

Bohužel mám příliš malou poruchu osobnosti, abych se to naučil z paměti, i když je to jen 365 čísel :)

[Sinuhet]

Jak chcete tak presne vstupni hodnoty ziskavat jen s pomoci parezu a more?

[kyknos]

Nechápu otázku :). Já to chci počítat z hlavy.

[kyknos]

jediná vstupní hodnota je n, což je den v roce

[Sinuhet]

Jde mi o aplikaci. Ziskal jsem dojem, ze to chcete pouzivat pro orientaci/navigaci v terenu a na mori, kdyz mate po ruce jen dva pazourky a klacik. Jak se s takovym vybavenim rychle meri uhly s presnosti na desetiny stupne?

[kyknos]

kdyz se k tomu pazourku a klaciku prida jeste provazek, uz je to skoro cely klinometr :)

radeji bych pouzil ten co je skoro v kazdem lepsim kompasu a nebo sextant, byt treba ten plastak co se dava do zachrannych clunu

to jsou vsechno veci, ktere se vejdou do kapsy a prilis jim nevadi voda - narozdil od elektroniky a knih

a pokud odejde gps ale zustane fotak, lze pocitat pixely :)

proste metod jak merit uhly na obloze je docela dost, ovsem bez deklinace slunce jsou ta mereni k nicemu - a tu je prave potreba spocitat

[Sinuhet]

Kdyz predpokladate vlastnictvi kompasu, sextantu nebo fotaku, tak proc je takovej problem mit kalkulacku v pytliku, nebo si zatavit karticku s 365 cislama a povesit si ji na krk? O navigaci vim velky kulovy, ale rekl bych, ze deklinaci muzete merit stejne jen jednou za den a jeste musite vyhmatnout spravnej okamzik, takze neni velky problem si vyhradit 5-10 minut a to cislo predpocitat.

[kyknos]

To uz muzes predpokladat existenci gps nebo rovnou pruvodce a sluzeb cestovni kancelare s plnou penzi. Dobry navigator se musi obejit s tim co ma za vsech okolnosti. Mit sextant a neumet spocitat sin, tomu se rika vlastni blbost. Navic, pristroj pro mereni uhlu na obloze se da narozdil od te kalkulacky pomerne snadno improvizovat.

ak proc je takovej problem mit kalkulacku v pytliku, nebo si zatavit karticku s 365 cislama a povesit si ji na krk?

mne to problem pripada - ty chodis ceje zivot s kalkulackou v pytliku a kartickou na krku? :)

[Ash]

Dost si protiřečítš. Kolega reagoval na tvůj vlastní post

radeji bych pouzil ten co je skoro v kazdem lepsim kompasu takže vlastnictví "lepšího kompasu" se nebráníte

to jsou vsechno veci, ktere se vejdou do kapsy a prilis jim nevadi voda - narozdil od elektroniky a knih aha, takže sextant a lepší kompas do kapsy je ok, ale kartička se vám tam už nevejde?

Myslím že Sinuhet zcela správně, logicky a věcně v reakci na váš komentář o problematice přepravovat "elektroniku a knihy" v nepříznivých podmínkách upozornil, že není vůbec nutné s sebou tahat knihy nebo nedej bože dokonce elektroniku, jak jste se nám snažil vnutit, ale že stačí jedna malá blbá plastová kartička, jejíž přeprava a uchování je podobné obtížná jako přeprava a uchování "lepšího kompasu".

[kyknos]

Zacinam byt na podobne priblble teoretizovani alergicky.

1) Kdyz polozim dotaz, ocekavam prispevky k veci. Tedy, pokud se ptam, jak nejlepe bez technickych prostredku pocitat sin, nezajimaji me odpovedi typu vezmi si kalkulacku nebo tahak. Pokud bych si chtel brat kalkulacku nebo tahak, nebudu se ptat jak na to.

2) Nevim jak ty a sinuhet, ale ja NECHCI byt zavisly na existenci a pritomnosti nejake plastove karticky. Pokud napriklad otocis lod o 720 stupnu podle podelne osy (nebo v horsim pripade treba jen o 180), nemusi ti zbyt nic, ani plastova karticka.

3) Nepotrebuji kompas k tomu, abych meril uhly na obloze. Opakuji uz asi po sedme, uhly se daji merit mnoha ruznymi zpusoby a to i zcela improvizovanymi.

4) Kazda slusna ucebnice nouzove navigace popisuje ruzne metody, jak co nejlepe navigovat s neuplnou a v ruzne mire zoufalou sadou nastroju. Mimo jine existuji rovnice umoznujici aproximovat astronomicke tabulky - s vyuzitim kalkulacky. Ja to chci umet bez kalkulacky. A bez karticky. Napriklad chci umet na pustem ostrove bez jakycholiv prostredku zjistit, KDE JSEM.

[q]

a co takhle si to nechat vytetovat nekde na tele?

[kyknos]

My co máme mozek, ukládáme data a algoritmy do něj. Pokud nekdo používá jako paměťové médium kůži, jeho volba. Ale stale nevím, proč to chodíte řešit do mého dotazu.

[l4m4]

Chceš-li ukládat do mozku, v tom případě je nejlepší každý večer půl hodiny čumět do matematických tabulek a ráno se nechat z několika tuctů hodnot sinu přezkoušet, dokud nedosáhneš požadované přesnosti. Lidský mozek dokáže poměrně slušne interpolovat i zadrátovat množstí tabulkových dat -- pokud je pravidelně používáš.

[Ash]

Chtěl jsem jen upozornit na to, že plastové kartička by se měla přibalit k plastovému sextantu, což se mi zdálo na věci zajímavé, získáte tím výhodu oproti tomu, kdybyste si řekl (jako že jste řekl) že "knížka ani elektronika" to stejně nepřežije tak raděj nebudete brát nic. Nebráním vaší snaze zjistit jak to spočítat z hlavy nebo klackem v písku), jistě na to přijdete.

[kyknos]

Ještě jsi mi zapomněl připomenout, abych si vzal toaletní papír a prezervativy :)

[Ash]

To už řešíte blbosti.

[Sinuhet]

Tento dotaz patri do okruhu otazek, kdy se pozaduje X aby se udelalo Y, pricemz je nesmyslne pouzit X k dosahnuti Y, pripadne samo Y je nesmyslne. Mel byste byt rad, ze vas na to nekdo upozorni, treba vam to umozni najit lepsi reseni.

Jednou rikate, ze budete mit sextant nebo kompas ale karticku na krku a kalkulacku v kapse ztratite, pak zase ze nebudete mit nic a pritom potrebujete sypat z hlavy sinus na pockani s presnosti na desetiny stupne...

Mimochodem, jestli se nepletu, tak bez hodin nemate sanci zjistit zemepisnou delku, takze na pustem ostrove bez jakycholiv prostredku mate smulu tak jako tak.

[kyknos]

Jsem rad, ze si po tydnu na mori z Internetu muzu zase popovidat s nejakym trollem.

Tento dotaz patri do okruhu otazek, kdy se pozaduje X aby se udelalo Y, pricemz je nesmyslne pouzit X k dosahnuti Y, pripadne samo Y je nesmyslne. Mel byste byt rad, ze vas na to nekdo upozorni, treba vam to umozni najit lepsi reseni.

Bla, bla, bla. Zvanis nesmysly a nevidis si do huby.

Jednou rikate, ze budete mit sextant nebo kompas ale karticku na krku a kalkulacku v kapse ztratite, pak zase ze nebudete mit nic a pritom potrebujete sypat z hlavy sinus na pockani s presnosti na desetiny stupne...

Ano rikam. Mas s tim nejaky osobni problem?

Mimochodem, jestli se nepletu, tak bez hodin nemate sanci zjistit zemepisnou delku, takze na pustem ostrove bez jakycholiv prostredku mate smulu tak jako tak.

Pletes se, ale to je normalni, pokud se nekdo plete do veci, ke kterym nema co rici.

[kyknos]

Jsem rad, ze si po tydnu na mori bez Internetu muzu zase popovidat s nejakym trollem.

Tento dotaz patri do okruhu otazek, kdy se pozaduje X aby se udelalo Y, pricemz je nesmyslne pouzit X k dosahnuti Y, pripadne samo Y je nesmyslne. Mel byste byt rad, ze vas na to nekdo upozorni, treba vam to umozni najit lepsi reseni.

Bla, bla, bla. Zvanis nesmysly a nevidis si do huby.

Jednou rikate, ze budete mit sextant nebo kompas ale karticku na krku a kalkulacku v kapse ztratite, pak zase ze nebudete mit nic a pritom potrebujete sypat z hlavy sinus na pockani s presnosti na desetiny stupne...

Ano rikam. Mas s tim nejaky osobni problem?

Mimochodem, jestli se nepletu, tak bez hodin nemate sanci zjistit zemepisnou delku, takze na pustem ostrove bez jakycholiv prostredku mate smulu tak jako tak.

Pletes se, ale to je normalni, pokud se nekdo plete do veci, ke kterym nema co rici.

[Matlák]

Mno mně osobně by třeba ani přesná poloha na pustém ostrově nepomohla, jelikož bych neměl mapu. A kdybych si měl pamatovat mapu celého světa dostatečně přesně (=na <200km jak tu jinde říkáte) tak už by mi pár koeficientů nebo hodnot nedělalo problém

[kyknos]

Problém je v tom, že ty osobně nejsi já osobně.

Je neuvěřitelné, kolik lidí má potřebu sdělit, že nemá k problému co říci. :)

[Matlák]

Problém je v tom, že ty osobně nejsi já osobně.

jojo Ty osobně jsi geniální navigátor křížený s MacGyverem :-P Je neuvěřitelné, kolik lidí má potřebu sdělit, že nemá k problému co říci. :)

Já jsem tu před pár dny navrhoval aby sis zapamatoval pár koeficientů. Dva zlomky bylo moc a jeden zase dával málo přesné výsledky.. To co tu provádíš je pouhé zamyšlení se nad něčím hypotetickým, něco jako když Jules Verne nechal své trosečníky vyrábět nitroglycerin z rybího tuku.. navíc to podáváš tak že opravdu není od věci poznamenat do jaké míry praktické to může být, mimo teda toho že můžeš frajeřit před holkama na své jachtě

[kyknos]

Navigator urcite nejsem genialni, ale postarat se o sebe dokazu jak na sousi (kde mam spoustu zkusenosti), tak snad i na mori (kde na to mam aspon uredni papir). Nicmene metoda, k jejimuz nasazeni potrebuji pocitat sinus s presnosti jakou pozaduji, je popsana v literature od navigatoru mnohem zkusenejsich a dost mozna i genialnich. Oni ve sve knize pouzivaji kalkulacku, ja to chci umet bez ni.* Ze tri elektronickych pristroju, ktere jsem mel prave tyden na mori, funguji dva :).

Hypotetickymi blaboly tu spamujes ty.

*A take umim. Ptal jsme se na pripadnou efektivnejsi metodu. Ne na duvody, proc to nejde :) .

[Marek Bernát]

F(n) = 23.5 sin(0.973 * n * pi/180)

G(n) = 4x(6 - x^2), kde x = n/60

 |F(n) - G(n)| < 0.1 pro n = 1..60

 

[kyknos]

To je hezký, ale co vyssi hodnoty n?

A co ta rovnice pro druhou polovinu roku? Potrebuji aproximaci sin, aproximovat zvlast kazdou rovnici ve ktere se vyskytuje (tady jsem uvedl dve, ale je jich pochopitelne vic), mi prijde blbost.

[pavel]

Stačí, když si zapamatuješ, že sin (n) pro n<10° je n/58, sin 30° je 0,5 a sin 45° je odmocnina ze dvou/2. Zbytek si bez problémů odvodíš, když si před sebou představíš tu sinusovku. Např. sin 186° = minus 6/58

[Jendа]

Bohužel mám příliš malou poruchu osobnosti, abych se to naučil z paměti, i když je to jen 365 čísel :)

Ještě mě napadá, že přece stačí naučit se sinus 0-90˚, případně každou druhou, třetí hodnotu a odhadovat (nebo si pár dní počkáš ).

[Marek Bernát]

Stačí 0-45˚. v Okolí 90˚ sa nič zaujímavého nedeje, lebo tam sa sin správa ako cos a máme sin^2 x + cos^2 x = 1. A v okolí 0 zasa sin x ~ x. Ďalej stačia súčtové vzorce. Ďalšia metóda by bola aproximácia sin pomocou polynómu (pre jednoduchosť taylorovho, ale existujú aj lepšie).

[Nicky726]

Matematicko-fyzikální tabulky?

[kyknos]

To není zrovna typická rekvizita, kterou by člověk jen tak vytáhl z moře nebo pařezu, když neví, kde zatraceně je :)

[Jendа]

Tetování? :-P Implantovaná GPSka?

(ty se plánuješ zhmotňovat na náhodných místech na zemi?)

[kyknos]

Tetování?

:DDD

:-P Implantovaná GPSka?

GPSky mají tendenci nefungovat

(ty se plánuješ zhmotňovat na náhodných místech na zemi?)

na zemi to dělám už dlouho, teď mám v plánu to zkoušet na moři, a to už není taková sranda :)

[Jendа]

Tak to se obávám, že z hlavy nepůjde. Ale nejsem v matematice nějaký odborník, třeba se zde vynoří Génius a poradí ti .

s tužkou a papírem je to v pohodě

Takže zbývá písek a klacek (antické kultury si s tím prý vystačily), případně jiné přírodní psací náčiní (drásání nehty do ulovených ryb, když je to na tom moři).

(Proč dochází k tomu náhodnému zhmotňování? Přirozená zvědavost...)

[Matlák]

Taylorova řada mám pocit je jen obyčejný polynom.. teda matematika mi nikdy nešla, ale nejsložitější co já vím je odvodit koeficienty ne? Možná jen stačí to zkusit pro danou přesnost jednou odvodit a pak si pamatovat ty koeficienty, určitě jich bude míň než 365 (teda alespoň myslím)...

[Jendа]

Pro sinus mu stačí 90 hodnot .

[jehovista]

Od 0 do pi/2(zbytek je trivialni) si (pro bezne ucely) staci pamatovat sin(x)=x-x^3/6

uhel;sinus;odhad taylorem; odchylka

0 0 0 0

10.0000 0.1736 0.1736 -0.0000

20.0000 0.3420 0.3420 -0.0000

30.0000 0.5000 0.4997 -0.0003

40.0000 0.6428 0.6414 -0.0014

50.0000 0.7660 0.7619 -0.0041

60.0000 0.8660 0.8558 -0.0102

70.0000 0.9397 0.9178 -0.0219

80.0000 0.9848 0.9426 -0.0422

90.0000 1.0000 0.9248 -0.0752

[kyknos]

S takovymi odhady bych asi daleko nedocestoval

-0.0752 * 23.4 = 1.76 coz odpovida cca 200 km, pokud uz nejsem moc ospalej :)))

[kyknos]

Myslim, ze je potreba jeste aspon ten druhy zlomek - a v tom uz se zacitam z pameti ztracet, zvlast kdyz to je jen cast vypoctu deklinace.

[Marek Bernát]

Taylorov polynóm ale nie je zďaleka najlepšia aproximácia funkcií, lebo konverguje pomerne pomaly v závislosti na stupni polynómu. Jeho význam je skôr v analytickej teórii než v praxi. Oveľa lepšie riešenie je Čebyševov polynóm.

[kyknos]

jak to vypada?

[l4m4]

Vypadá to nakonec jako polynom... Podstatné je, že chyba aproximace klesá na celém intervalu rovnoměrně s řádem polynomu a je blízko optimálnímu interpolačnímu polynomu. Pomocí Čebyševových polynomů se v praxi počítají v podstatě všechny hodnoty speciálních funkcí, pro které není znám lepší algoritmus.

Nevýhody jsou nutnost transformace intervalu na [-1,1] a to, že krajní body intervalu nejsou mezi abscisami, takže aby pro ten přibližný sinus přesně platilo třeba sin(0)=0 (což může být někdy důležité), je třeba to zajistit explicitně. Například sin(x)=x*f(x), kde f(x) se teprve vyjádří Čebyševovým polynomem.

Viz např. http://mathdl.maa.org/images/upload_library/4/vol6/Sarra/Chebyshev.html

Pro praktickou a poměrně čitelnou implementaci viz např. GNU Sicentific Library (která taky umí vypočíst Čebyševovu interpolaci pro danou funkci), funkce chev_eval_e(). Výpočet je sice jednoduchý, ale vhodnost pro ruční provedení je sporná.

V závislosti na požadované přesnosti bych si s sebou možná spíš vzal velké kružítko (či ekvivalentní nástroj) a ten sinus si změřil z definice...

[Marek Bernát]

Je to vcelku jednoduché: stačí integrovať sínus s Čebyševovmi polynómami, čo je úloha pre prváka na analýze, alebo pre Mathematicu, ale ja na to nemám chuť :-P Ďalšia možnosť inak je vygenerovať funkčné hodnoty pre sínus, spustiť gnuplot a nafitovať tie dáta pomocou obecného polynómu nejakého stupňa. Je to úloha tak na 5 minút, ale opäť sa mi do toho nechce Btw, dobrý výsledok už ti tu niekto napísal a myslím, že je to presne to, čo chceš. Označil som ho ako riešenie, tak sa pozri, či ti to vyhovuje.

[droid]

Obecně vzato máte pravdu, ale v tomto konkrétním případě ne. Taylorův polynom pro sínus konverguje dostatečně rychle na to, aby byl prakticky použitelný.

[Marek Bernát]

Máte pravdu.

[faha]

Trochu odbocim, ale kdyz jsem u tech fci... Velmi velmi davno jsem videl v assembleru jeste na 386 demo s rotaci krychle, po louskani zdrojaku jsem v komentarich narazil na cosi s nazvem (a ted za presnost nerucim) "Darneruv Cosinus Generator", uz jsem se to pokousel vicekrat hledat, ale bez uspechu. Nebyl by tady nejaky pametnik/znalec?

[darkstar]

co tak zapamatat si par hodnot sinusu a ostatne hodnoty dopocitat linearnou (kvadratickou, kubickou ...) aproximaciou ?

[cronin]

Nic v zlom, ale nechcel by som sa plavit na lodi, ktorej kapitanom by si bol.

[faha]

Chapu, ze muze u Taylorova polynomu delat problem ty vysoke mocniny nebo snad i faktorial...ale podle me se to naucit da (podivejte se na koreny s abakusem bo jak se to jmenuje) Tady je to sepsane... http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function#Series_definitions ---

[stps]

Já vím, že to není tužka a papír, ale co třeba logaritmické pravítko?

[Ash]

Pokud myslíte, že si ho dokáže na pustém ostrově sestrojit, asi by to bylo řešení :) Jinak zadání je "vyplivne mě to bez věcí na pláži pustého ostrova kde nic moc není, jen vegetace a zvířata".

[xxxs]

moze sa ho naucit a potom si v hlave predstavit posuny. a to je presne to, co chce.

[droid]

7. Goniometrické funkce počítané pomocí číselných řad

[michal]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin
Víc než tohle už asi nenajdeš. Stejně je ale nejlepší si pár hodnot pamatovat a zbytek odhadnout. Nikdy jsem nepotřeboval nic víc. Jediné co mě dalšího napadá je pamatovat si součtové vzorce a sin(x) rozdělit tak, aby jedna část byla známá tzn nějaké p/q*pi a druhá část malá, aby šla odhadout třeba prvním členem tailora takže x.