Fyzikální problém (diskuse)

[asdf]

balisticka krivka je pojem, ve kterem jsou zapocitany odpory, smer gravitace nehraje roli, protoze v lokalnim meritku je povrch zeme bran jako kruznice s nekonecne velkym polomerem. jinak co resis ty je konina, budto ti to spadne, nebo to bude krouzit jak satelit. a pokud budes fakt frajer, tak dopln prvni moznost o to, ze jeste nez se to po vyhozeni zastavi a zacne padat tak to muze dosahnout unikovej rychlosti :)

[asdf]

btw, ten satelit je taky pripad padani, jen se pohybuje tak rychle, ze o to co spadne se staci zeme odmotat :)

[Radovan Garabík]

Ak zanedbáš odpor vzduchu (a ostatné telesá vo vesmíre a rýchlosť bude << c), bude to kužeľosečka, useknutá na mieste kde sa pretne s povrchom Zeme

Ak niečo z toho nezanedbáš, výsledok bude (potenciálne) značne komplikovaný, vo všeobecnosti analyticky neriešiteľný a jediný rozumný spôsob riešenia je numerická simulácia.

[Bourec]

Ještě je tu variantu tu raketu prostě vystřelit a pozorovat, jak letí

[Václav HFechs Švirga]

Zkoušel jsem napsat simulátor gravitace, stále na tom pracuju, a každý objekt (tedy spíš hmotný bod) mohl má svou hmotnost, rychlost, směr (úhel pohybu) a souřadnice.

Za určitý časový okamžik se vždycky vypočítají všechny síly které na objekt působí, můj model počítá pouze s gravitačními silami od ostatních objektů působící na objekt, sečtou se dohromady s jeho hybností a podle výslednice se upraví směr, rychlost a souřadnice.

No ve výsledku se mi to chová tak, že pokud nechám jeden bod statický a druhému nastavím správnou rychost a směr, začne obíhat, někdy se podaří trefit skoro kružnice, většinou ale elipsa. To by odpovídalo. Akorát je problém s tím, že dráha te elipsy není stejná, ale jakoby rotovala kolem středu. Když vypnu překreslování scény, kreslí to zajímavé obrazce.

Při hodně dlouhem hledání dobrého nastavení jsem udělal soustavu slunce - měsíc - země, největší rekord stabilního obíhání byl 5 minut, pak se mi soustava rozpadla (země byla příliš těžká a vychylovala slunce, což asi zbržďovalo nebo urychlovalo měsíc a buď uletěl, nebo do země napral).

Docela by mě zajímalo, jestli mi tam nechybí jestě nějaká síla, aby to bylo realnější.

[Václav HFechs Švirga]

Jinak fyziku jsem měl na střední jen první dva roky a celkem jsem ji flákal, takže jsem dopředu nevěděll, co můj program zrobí . Ale skládání sil, výpočet gravitace, atd... mám snad podle dobře implementovaných vzorečků . Ale jestli je dobře myšlenka nevím.

[ja]

No - mam velku obavu, ze s Newtonovskou fyzikou toho vela nenapocitas :-/. Na to treba ist z uplne druhej strany.

[Saljack]

Pěkně o to by si se mohl podělit celkem rád bych to viděl.

[Václav HFechs Švirga]

Zatím je to takový rozkopaný bastl v ruby, neměl jsem na to ještě moc čas, až to přepíšu do C (snad po matuře), podělím se .

[Kvakor]

Pokud nejsou tělesa příliš hmotná, hustá nebo rychlá a/nebo neobíhají příliš blízko sebe, měla by na jednoduchý simulátor stači i klasická newtonovská fyzika, protože stejně budou chyby při výpočtu větši než ostatní vlivy. Pro větší přesnost je pak nutné použít relativistické verze, protože i v naší sluneční soustave se už projevuje efekt stáčení perihelia oběžné dráhy Merkura (použité jako jeden z důkazů OTR). V exotičtějších podmínkách se projevují ještě další vlivy (např. vyzařování grafitačních vln), ale ty jsou v "normálních" planetárních soustavách zanedbatelné.

S ještě vyšší přesností to začíná být už velmi problematické: tělesa, která nejsou dostatečně tuhá (tj. vlastně vše mimo pevných planet a zhroucených hvězd), se nemohou brát jako pevné body, protože se vlivem vnějších sil či rotace mohou rozličně deformovat (tj. rovníková a polární dráha se pak liší). U blízko obíhajícíh těles také mají celkem důležitý vliv slapové síly, které na úkor celkové energie soustavy mohou ovlivňovat zůčasněná tělesa (např. příliv na Zemi, ohřívání jádra Jupiterova měsíce Ió a pod.) a v extrémním případě mohou obíhající těleso zcela roztrhat.

Větší tělesa také mohou mít celkem rozsáhlou atmosféru (kterou, jako některé typy hvězd, dokonce mohou ztrácet do prostoru), která může nízko obíhající tělesa brzdit, nebo naopak jim jí mohou jiná tělesa "krást" (pokud se dostane dostatečně daleko) a měnit si tak hmotností poměry (to se běžně děje u blízkých dvojhvězd). Jako bonus mohou mít planety s kovovým jádrem a zhroucené hvězdy celkem silná magnetická pole, která (aby to nebylo tak jednoduché) často rotují "našišato", protože jejich osa není rovnoběžná s osou rotace a občas dokonce ani neprochází těžištěm tělesa.

A i když se použijí jen základy (tj. jen klasická mechanika s tělesy jako hmotnými body), nesmí se zapomínat, že zatímco problém dvou těles je vcelku trviální (tělesa se buťo srazí, obíhají se nebo od sebe odletí), u tří (a více) těles to začítná být zajímavé, aneb slovy lišky z Antichrista "Chaos vládne". Dynamické nelineární soustavy tohoto typu jsou také extrémně citlivé na počáteční podmínky, takže v důsledku omezené přesnosti výpočtu (obecná analytická řešení pro více těles než tři není v dispozici a i u těch tří je to dost omezené) je sice možné odhadnou trendy (např. celková stabilita soustavy), ale není možné zjistit přesné polohy. V praxi pak stačí změnit při zadávání jednu číslici na posledním desetinném místě a na konci může být simulace úplně jinde (mimochodem, přesně tak Edward Lorenz objevil efekt motýlího křídla).

Takzě v praxi bych zůstal jen u gravitace, protože přidáním dalších parametrů se sice přesnost zvýší, ale stejně to bude dřív či později závislé spíš na použitých numerických metodách při výpočtu ...

[Václav HFechs Švirga]

To jsem si všiml, že jsem přidal jen setinku rychlosti a soustava byla rozbitá hned, setinku ubral, a bylo to stabilní pět minut, zkusil další ubrat a zase to bylo špatně... Pokud to tak fakt funguje, tak docela čumím, že nějaké soustavy vznikly a drží .

[Marek Bernát]

Tak za prvé: treba si uvedomiť rozdiel medzi realitou a numerikou. Dôvod, prečo sa ti to rozpadá, môže byť celkom proste zlým algoritmom. Ak používaš obyčajnú Eulerovu integráciu (tj. naivnú lineárnu interpoláciu), ktorá je buď extrémne nestabilná, alebo neefektívna (podľa veľkosti kroku), tak odporúčam naštudovať si niečo o Runge-Kutta metóde.

Za druhé si treba uvedomiť, že počiatočné rýchlosti a polohy, ktoré nastavuješ, sú už doladené (fine-tuned) parametre systému, ktorý sa v skutočnosti vyvíjal miliardy rokov, ale ty začínaš vývoj niekde v prostriedku života sústavy. Keby si mal skutočne poriadny simulátor, ktorý by ti zvládol nasimulovať aj vznik slnečnej sústavy, tak by si tie parametre dostal časovým vývojom už pomerne malého počtu vcelku ľubovoľných parametrov (napr. systém prachu s danou hustotou a daným momentom hybnosti). Tj., tvoja poznámka o stabilite sústav je vcelku nezmyselná. Slnečná sústava nevznikla tak, že sa nám tu objavila s presne definovanými parametrami pred 6000 rokmi. Hoci niektorí ľudia sa to snažia tvrdiť

[Václav HFechs Švirga]

Pokud nejsme v matrixu ;P.

[Marek Bernát]

Nechci aby som začal prednášku o Occamovej britve :-P

[Václav HFechs Švirga]

ROFL, včera jsem si o ni četl kvůli písemce z filozofie (občanka, ale chytli jsme na ni ve čtvrťáku filozofa), takže vím na co narážíš :).

[Marek Bernát]

To s tým chaosom nie je úplne pravda. Dôležité je to len tam, kde majú tie telesá v podstate rovnakú hmotnosť. V prípade slnečnej sústavy sa dá na systém pozerať ako slnko + nezávislé planéty a dodatočné efekty planét na seba navzájom (hoci chaotické) sú len malé poruchy, ktoré so stabilitou systému nemôžu nič spraviť.

[Marek Bernát]

A dôsledok samozrejme je, že skôr než simulovať slnečnú sústavu (kde pri presných výpočtoch bude veľká akumulácia chyby, takže dlhšie obdobia sa aj tak nebudú dať odsimulovať) by bolo asi výhodnejšie numericky riešiť tie perturbácie okolo kužeľosečiek. Výhodou by bolo, že pomerne jednoducho by sa dali zapracovať aj ďalšie perturbácie (multipólové rozloženia hmoty slnka a planét, poruchovo započítať opravu od OTR pre precesiu Merkúru, etc...).  To len tak poznámka na okraj

[pht]

IMHO se tam jen akumuluje chyba při výpočtu. Zmenšete "step" nebo použijte nějakou robustnější metodu integrace (např. rk4).

[dolik.rce]

Problémy který popisuješ jsou nejspíš způsobený akumulací chyb. Prakticky se to nedá napsat správně, dříve nebo později ti vždycky nějaká planeta spadne nebo uletí, ale i s jednoduchým programem jde dosáhnout rozumný přesnosti po dobu několika hodin.

Jak už tu někdo psal, mohlo by pomoci zmenšit krok. Taky si zkontroluj jestli tam nemáš zbytečně moc aritmetických operací, při každé se to trošku zaokrouhlí a po stotisících iterací už je to poznat Jo a taky se vyplatí používat rozumný jednotky. Pokud počítáš v SI (tj. metry, sekundy) zkus jednotky který líp odpovídaj velikosti té soustavy např. AU a roky.

Pokud chceš být opravdu přesný, obyčejné sčítání příspěvků přestane stačit a budeš muset přejít k řešení soustavy diferenciálních rovnic. Tak jsem to kdysi psal já jako zápočťák v prváku

[Václav HFechs Švirga]

Napsal jsem to v ruby, ten je celkem pomalý ve smyčkách, takže krok je celkem velký. A jo, mám to v SI. Díky za tipy. Do céčka to mám samozřejmě v plánu přepsat, ale asi až po matuře.

Jinak kdyby ses chtěl o svůj program podělit, celkem by mě to zajímalo :).

[podlesh]

Za určitý časový okamžik se vždycky vypočítají všechny síly které na objekt působí, můj model počítá pouze s gravitačními silami od ostatních objektů působící na objekt, sečtou se dohromady s jeho hybností a podle výslednice se upraví směr, rychlost a souřadnice.

Já myslím že z hlediska fyziky by to mělo být dostatečné (alespoň pro začátek), ale matematicky je tam problém. Celé je to vlastně řešení soustavy diferenciálních rovnic jednoduchým způsobem - převodem na diferenční rovnice. Chyba se dá zmenšit použitím menšího kroku, ale pořád tam bude a navíc se s časem kumuluje.

Asi by stálo za to vzít nějakou literaturu o numerickém řešení diferenciálních rovnic a najít lepší metodu.

[:::]

v podstate je to spravne. Rekl bych ze hlavni problem bude v tom jakou pouzivas "integracni metdu" (to postupny pripocitavani rychlosti je vlastne integrace, ale hodne primitivni metoda :) )

Ja jsem kdysy delal neco podobnyho. Vytvoril jsem par skriptu ktery podle zadani objektu sestavily diferencialni rovnice v jazyce modelica. To jsem pak pradal dymole a vysledky dalsim skriptem vizualizoval (dymola - http://www.3ds.com/products/catia/portfolio/dymola/overview/ - meli to ve skole. Super program, ale na domaci pouziti drahy...)

Zkousel jsem tim simulovat i docela dlouhou dobu a nidky me zadna planeta neuletela... a ani na pocatecni nastaveni to nebylo moc citlivy...

[zulu]

Nechápu v čem je problém. Nevíš jak zjistit směr gravitace, nebo jak ty síly sčítat, nebo co?

[tmr]

To vim, jenomze ja potrebuju urcit trajektori, pokud mozno presne, ne iterativnim pocitanim.

[vlanav]

Google vrací třeba tohle: http://vedmakalouskova.tripod.com/obehplanet.htm

[Tomáš Pěnička]

No analyticky bych to nechtěl dělat, ale numericky bys s tím neměl být problém, jenom ty zaokrohlouvací chyby. řekl bych že ve škole se taková věc nedělá, protože buď započítáš odpory (balistická křivka), takže ta věc brzo spadne a není třeba se zalamovat s kulatostí Země, nebo odpory nezapočítáš (pohyb družice) a zase máš mnohem jednodušší problém.

[michal]

Zkus na simulaci program Step, je to součástí KDE4 (kdeedu). To je na takovéto hraní ideální :) Pohyby planet tam jsou přímo v příkladech.

[dementni.lojzik]

neni mi teda vubec jasny zadani, ale pokud chces vedet, jak vypada trajektorie, tak si napis pohybovy rovnice (spolu s pocatecnima podminakama) a ty vyres (analyticky nebo kdyz to nejde/neumis, tak numenricky) ... a trajektorie bude na svete

[zimous]

Nepises co vsechno chces uvazovat, tak se pokusim shrnout moznosti (a castecne zopakovat co uz psali jini).
Analyticky reseni, tj. primo vzorec pro trajektorii do kteryho staci dosadit, existuje vicemene pouze pro problem dvou teles. Uvazujes tedy pouze Newtonovsky gravitacni pusobeni jednoho telesa (Zeme) na druhy (vystreleny objekt). Zanedbavas treni o atmosferu a relativisticky efekty. Resenim jsou kuzelosecky, tj. elipsy, paraboly a hyperboly, detaily mas treba tady. Muzes to pouzit i pro vice vystrelenych objektu kolem Zeme, ale kazdej pocitas nezavisle a zanedbavas jejich vzejmny gravitacni pusobeni.
Dal muzes resit problem vice teles, tj. uvazujes gravitacni pusobeni vsech teles navzajem, ale porad zanedbavas treni a relativisticky efekty. Napr. pohyb Zeme, Mesice a tezkyho objektu vystrelenyho ze Zeme; nebo pohyb planet kolem Slunce. Tenhle problem se uz ale musi resit numericky (iterativne). Nejjednodusi je Eulerova metoda, coz je pripad ty simulace, jak psal nekdo vyse. Bohuzel se v ni hodne akumuluje chyba a je dost nestabilni. Lepsi je tedy pouzit metodu vyssiho radu, jako je treba ta Runge-Kuttova metoda radu 4, alias RT4. Tady sem vygooglil Java aplet, kde pouzivaj tuhle metodu, a navic volitelne muzes nastavit adaptivni velikost kroku. Podle toho co pisou tady je ale pro tenhle problem nejvhodnejsi Leapfrog metoda, ktera by mela byt hodne stabilni a je jednodussi nez RT4.
Pokud bys chtel uvazovat i treni o vzduch, nehomogenity a deformace teles nebo nedejboze relativisticky efekty, tak uz to pude zase jenom numericky. Bylo by to o dost slozitejsi, musel by treba znat hustotu atmosfery v ruznych vyskach apod. Tady bych asi doporucil pro zacatek tu metodu RT4, ta je celkem dobra a univerzalni. Leapfrog metoda pro systemy se trenim ztraci svoje vyhody. Lip by poradil poradnej numerik, ale tipuju, ze vic slozitejsi matiky uz nechces :)

[zimous]

s/RT4/RK4/

[zimous]

Jinak pokud te zajima spis co se deje v atmosfere Zeme a ne ve vesmiru, tak o tom je prekvapive cela balistika. Tam muzes videt hromadu dalsich efektu (zakriveni a rotace Zeme, rotace projektilu, nadzvukovy efekty, ...) co se daj uvazovat. Ale analyticky reseni bude pravdepodobne existovat jenom pro ten nejjednodusi pripad balisticky krivky nad rovnou zemi. Vsechno ostatni bude uz zas numerika.

[tmr]

Staci mi spocitat jenom trajektorii jedne delove koule kdyz ji pod urcitym uhlem a urcitou silou vystrelim, treba na druhy konec sveta - odpor vzduchu neberu v uvahu. Dik za pomoc, udelam to numericky, to bude asi nejjednodssi.

[Radovan Garabík]

Tak to je vcelku jednoduché, bude to kužeľosečka (väčšinou elipsa) s ohniskom v strede Zeme, a počiatočná rýchlosť bude dotyčnica kužeľosečky v mieste výstrelu...

[zimous]

Ano, tady je numerika zbytecna. V tom odkazu Kepler orbit na wiki si vsimni hlavne vzorce (13). Ten v polarnich souradnicich (r,theta) popisuje obecnou kuzelosecku, ktera ma osu rovnobeznou s osou y. Uplne obecnou kuzelosecku bys ziskal otocenim, tj. nahradou theta za theta + theta0 ve vzorci (13), kde theta0 je dalsi parametr. Vsechny tri parametry p, e, theta0 spoctes z mista, uhlu a rychlosti vystrelu. A nakonec se nezapomenout podivat se na misto dopadu, tj. kde se trajektorie protne s povrchem Zeme;)

[houska]

kdyz uz jsme u matiky a fyziky vite jakou energii dokaze vyvinout Hvezda Smrti na zniceni planety? odpoved

rekl bych ze kdysi davno jsem to videl i na cswu.cz v cestine, ale ted to nemuzu najit

[Semo]

Ak zanedbam odpor atmosfery a relativisticke javy a podobne veci, ktore sa neucia na strednej skole, a zaroven popisujem pohyb telesa voci stredu Zeme, tak si myslim, polarnymi suradnicami vyjadrim vcelku trivialne pohyb telesa s hocijakym pociatocnym vektorom hybnosti.

Ked o tom narychlo uvazujem (ale mozem sa mylit), tak vyjadrit takyto pohyb voci hmotnej ploche (proste Zem ako placka) v kartezkych suradniciach bude uplne to iste ako vyjadrit voci gulatej Zemi v polarnych suradniciach. Rozlozis pohyb na vektor ku/od stredu Zemu (smerom ku placke alebo od nej) a vektor kolmy na neho. A pohyb podla oboch vektorov je na sebe nezavisly. Ten druhy vektor bude raz pohyb rovnobezny s plackou a druhykrat uhol, ktory teleso obehne okolo Zeme.

[Marek Bernát]

Presne tak. Obecnejšie povedané, oba tie problémy majú symetriu (prvý translačnú, druhý rotačnú), takže človek dostane integrál pohybu (v prvom prípade hybnosť, v druhom prípade moment hybnosti) a druhý integrál pohybu je energia. Keďže sú oba problémy rovinné, tak nie je čo riešiť...