Komiks xkcd 866: Eukleidovská konstrukce (diskuse)

[Sten]

Na sestrojení přátel je potřeba ještě chloroform

[pesopes]

joo neni nad pratelske setkani v mistnosti plne spicich lidich

[Bedňa]

Ne lidí, ženských

[Valerius]

[Zopper]

To vysvětluje, proč mají biologové mnohem více přátel, než matematici :D

[DarkKnightCZ]

a co pak takovi architekti :)

[E. U. Klieides]

Jak se tak na to dívám, tak toho panáčka někdo sestrojil skoro s pomocí kružítka a pravítka. Proč mu tedy nesestrojil ještě jednoho, aby mu nebylo smutno.

[BoB]

...protože měli jenom kružítko a pravítko?

[Lempl]

Kružítko má tuhu. Mohli to rozevřít a malovat podle pravítka.

[BoB]

Otázkou však zůstává, byla-li by taková postava přítelem? Nebo by byla nepřítelem? Či dokonce jen shlukem čar, který není živý?

A co na to Jan Tleskač?

[dave_007]

Prime sestrojeni pratel pomoci kruzitka a pravitka sice mozne neni, nicmene se da s jejich pomoci sestrojit <|>. Navic, kruzitkem lze, krome vykruzovani kruznic, take pichat - osobni empiricka zkusenost. Pak uz je jen otazkou vychovy, zda si z deti udela i pratele.

[hajoucha]

Mě spíš zaujalo, proč je název "Eukleidovská konstrukce". Tj. proč se konstrukce kružítkem a pravítkem označují jako Eukleidovské.

[Bedňa]

Nechce sa mi to hľadať, ale on zaviedol zostrojenie objektov pomocou kružidla, ktoré dokáže nakresliť hocijaký kruh a nekonečného pravítka bez možnosti merania. Dokázal že sa nedá pomocou týchto dvoch predmetov zostrojiť kópia štvorca a ešte veľa vecí, to si už nepamätám.

[Sten]

To by mě zajímalo, jak dokázal tu nemožnost sestrojit kopii čtverce, když kružítkem a pravítkem se dá snadno přenést délka a sestrojit pravý úhel.

[rubicon]

V knize Jazyk matematiky píše Keith Devlin: "Některá tvrzení v 1. knize [myšleny Eukleidovy Základy, pozn. rubicon] se týkají konstrukcí pomocí pravítka a kružítka. Hledají se zde geometrické útvary, které lze zkonstruovat pouze se dvěma nástroji - pravítkem bez měřítka na rýsování přímek a kružítkem na kreslení oblouků. K jinému účelu - například k přenášení vzdálenosti - kružítko nepoužívali."

[Bilbo]

Tak zrovna přenos vzdálenosti jde celkem dobře i bez "finty" že se s kružítkem něco naměří a přenese (např. když budu předpokládat, že když kružítko zvednu z papíru, že se hned samo sklopí).

Nakreslím přímku z bodu čtverce A "směrem někam mimo" pomocí pravítka. Zabodnu kružítko na stranu čtverce AB a udělám kružnici - a hned mám vzdálenost (velikost čtverce) i na té nové přímce. Tohle opakuju a tím si tu vzdálenost popostrkám pryč, tam kam potřebuju...

[hajoucha]

moc zajímavé. Díky. Tu knihu zřejmě někde mám, ale ještě jsem ji nestihl přečíst.

Např. kdyby měl člověk začít bez předešlé znalosti - mohl by vybrat i něco jiného, než pravítko a kružítko?

[m.p.]

Stačí kružítko (L.Mascheroni), resp. jediná narýsovaná kružnice (včetně středu) a pravítko (J.V.Poncelet).

[Sten]

Protože Eukleidés právě pomocí kružítka a pravítka definoval euklidovské postuláty a tím i základní vlastnosti geometrie (dnes zvané euklidovská, neboť jsme objevili i další).

[hajoucha]

Protože Eukleidés právě pomocí kružítka a pravítka definoval euklidovské postuláty a tím i základní vlastnosti geometrie (dnes zvané euklidovská, neboť jsme objevili i další).

to je právě to co mě překvapuje. Když jsme objevili další, proč zůstal původní název? Nejsem žádný geometr, proto mě napadlo, jestli třeba v jiných geometriích konstrukce pravítkem a kružítkem nemají žádnou váhu, nebo jsou snad nemožné? Nebylo by proto lepší nespojovat takový způsob konstrukce s konkrétní geometrií?

[Ash]

V neeuklidovských geometriích (hyperbolická, eliptická...) užiješ spíš křivítko :D V zásadě je to tak, že v Euklidovské geometrii se operuje s přímkami a kružnicemi, takže se pravítko a kružítko nabízí jako vhodný nástroj. U Neeuklidovských geometrií se příliš neužije, takže když vidíte někoho s pravítkem a kružítkem, je celkem pravděpodobné, že kreslí kružnice, rovnoběžky právě podle 5. Eulerova postulátu, a pravé úhly, které mají opravdu 90°.

[m.p.]

I v neeukidovských geometriích užiješ pravítko. Pouze v euklidovské geometrii malované modely těchto geometrií mají přímky "euklidovsky zakřivené". (Je to podobný problém jako, že protinožci, z našeho pohledu, chodí hlavou dolů.)

[m.p.]

Ještě bych upřesnil, že pravý úhel je úhel shodný se svým úhlem vedlejším a tedy součet dvou pravých úhlů dává vždy přímý úhel (a pokud stupeň definujeme jako 1/180 přímého úhlu, pak pravý úhel má 90°, bez ohledu na geometrii ve které se pohybujeme).

Jenom v hyperbolické geometrii součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy menší než přímý úhel (v závislosti na délkách stran tohoto trojúhelníka, tj. velmi "malé" trojúhelníky mají součet vnitřních úhlů blízký úhlu přímému).

Bez ohledu na geometrii, je kružnice množina bodů konstantní vzdálenosti od středu. Takže samozřejmě můžu provádět konstrukce pravítkem a kružítkem v hyperbolické geometrii.

(Ale o tomhle ten komiks tedy nebyl, ten byl o poruše osobnosti

[Ash]

Jistě, bylo to vše dost volně řečeno, vše je o definicích. Pokud rovnoběžku v neeuklidovské geometrii definujete jako přímky které se neprotínají, a prostor definujete jako kruh, tak můžete mít mnoho "euklidovsky různoběžných" rovnoběžek, a všechny jde kreslit pravítkem, a i to kružítko se hodí na nakreslení těch hranic prostoru. Ale podstata je myslím jasná.

[hajoucha]

no, moc tomu nerozumím. Dokážu si představit, že kdybych byl na kouli a měl "pravítko" přiléhající k té kouli, tak s ním můžu po té kouli libovolně otážet a pohybovat a kreslil bych podle něho "rovné" čáry. Neumím si ale podobnou aktivitu představit s jediným "pravítkem" na válci nebo na kuželu. Co se tedy myslí tím, že i v neeuklidovských geometriích bych mohl použít pravítko? (kružítko prozatím ponechávám stranou)

[korf]

Tezko rict, co se tim presne mysli. Muze to byt tak, misto toho, abyste rysoval v hyperbolicke geometrii budete rysovat v jejim modelu. Ten je v euklidovske rovine, takze s pravitkem a kruzitkem neni problem, viz treba Poincareho model.

Nebo byste mohl zmenit chapani pravitka z "rovne tycky" na "vec, ktera dela rovne cary". Problem ale je, ze "primky" tj. "rovne cary" jsou na valci spiraly (plus primky a kruznice na ne kolme). Anebo, coz je asi uplne nejvrhlejsi, zkusit si predstavit, ze hyperbolicka rovina je obycejna rovina, ktera ma divne vlastnosti. Tedy predstavit si ji jako "plochou" a zkouset na ni rysovat obycejnym kruzitkem a pravitkem, bez vnoreni do nejakeho Rⁿ (neboR^(1,2):).

Mimochodem v hyperbolicke geometrii asi bude problem narysovat pravitkem a kruzitkem exocykl nebo horocykl.

[Michal Kubeček]

Analogií přímky je geodetika, tj. křivka, která (lokálně) minimalizuje vzdálenost. Zrovna na válcové nebo kuželové ploše se dají geodetiky zkonstruovat snadno, protože obě lze rozvinout do roviny. Např. na válci jsou geodetikami přímky rovnoběžné s osou, kružnice kolmé na osu a šroubovice. Na kouli jsou to hlavní kružnice (tj. ty, které vzniknou řezem rovinou procházející středem koule).

[hajoucha]

tomuhle rozumím zcela jasně. Asi je ale problém s představou rýsování ve dvoudimenzionální geometrii (tj. představa, že bych byl placka na válci) nebo naopak, s představou pravítka ve "zprohýbaném" 3. dimenzionálním prostoru. Neumím si představit co by se dělo s "rovným" pravítkem na válci, kdybych ho pootočil.

Válec nebo kužel jsem zvolil zcela záměrně, právě proto, že to jsou tak nějak nejjednodušší příklady hned po kouli. Na kouli si ale dovedu představit, že otáčením placatého rovného pravítka nic nezměním. Tj. z pohledu Euklidovského prostoru můžu "otáčet poledníkem zcela svobodně" a stále bude krásně přiléhat po celé délce.

[Michal Kubeček]

Na válci to zrovna není problém, šroubovice se dá "v sobě" posouvat bez problémů (je to křivka s konstantní křivostí) - díky tomu je možné zašroubovat šroub.

To "rýsování" je ale potřeba chápat abstraktně, ne ve smyslu nějakého fyzického pravítka a kružítka. Výše zmíněná věta o tom, že co se dá narýsovat pravítkem a kružítkem, se dá narýsovat i samotným kružítkem, také neznamená, že se dá kružítkem nakreslit přímka. Konstrukcí se rozumí to, že máme dány nějaké body coby vstup a sada povolených základních operací a úkolem je nalézt polohu bodů, které mají být výstupem. Takže např. konstrukce čtverce, známe-li jednu jeho stranu, vypadá tak, že vsupem jsou dva sousední vrcholy a výstupem poloha zbylých dvou.

[pavlix]

To "rýsování" je ale potřeba chápat abstraktně, ne ve smyslu nějakého fyzického pravítka a kružítka.

Já teda nevím, ale skoro v každém větším obchodě s nábytkem mají dlouhá papírová pravítka.

Podle mě není problém vzít papírové pravítko, přiložit k válci a šikmo namotat. Ta spirála jde rýsovat třeba při odmotávání.

[Ash]

Otázka je, jestli papírové pravítko z Bauhausu odpovídá definici idealizovaného pravítka. Mně teda moc ideální nepřipadá, ať už bych ho měl použít na cokoliv :)

[pavlix]

Otázka je, jestli papírové pravítko z Bauhausu odpovídá definici idealizovaného pravítka.

Jen těžko najdeš v reálném světě něco, co odpovídá lépe.

[Ash]

Zapomeňte na koule a válce, definujte si geometrii na kruhu (placka, třeba lívanec), potom na rozdíl od Euklidovské geometrie může bodem B mimo přímku P procházet více různých rovnoběžek (protože rovnoběžky jsou přímky, které se s přímkou P neprotnou. Protly by se, ale mimo kruh, a to už je mimo váš prostor). V takové geometrii užijete kružítko i pravítko stejně dobře jako v Euklidovské. Chtěl jste to, máte to, kružítko a pravítko neznemaná automaticky Euklidovskou geometrii. A Euklidovské konstrukce jsou něco jiného, proč se jim říká Euklidovské nevím, asi že si je čmáral Euklides. Když budete na papíře čárat neeuklidovskou geometrii, budete většinou (...) potřebovat náročnější nástroje než pravítko a kružítko. Ale ne vždy.