Ľahký úvod do symetrií 2 (diskuse)

[fraxinus]

OMG. Jílek je späť!

[Marek Bernát]

Ok, tiež som z toho mal ten pocit. Najbližší blog bude o dva týždne a bude dvakrát kratší

[Ladicek]

Existuje přinejmenším latex2html, ale nikdy jsem to nezkoušel.

Jinak souhlas s přebytkem fyziky, ta mne nikdy moc nebavila

[Marek Bernát]

Viem, že nejaké veci existujú. Zrovna latex2html som kedysi skúšal a výsledky boli povedzme... neuspokojivé.

Človek si nevyberie. Niekto chce teóriu, niekto príklady. A príklady, tie ja poznám ako fyzik prevážne len z fyziky Btw, aké príklady by si chcel (ak vôbec nejaké)? Geometria?

[Václav HFechs Švirga]

Geometrie (s obrázky) by mohla být zajímavá :). Na střední (kterou jsem teď absolvoval, takže se na to tak lehce dívám s tím, že to asi na výšce potkám), se mi líbil tenhle příklad:

A       
      
       B

----X------- (řeka)

Dědeček (A) si chce vychladit lahváče do řeky a pak dojít k babičce (B), a hledá místo X, aby se co nejmíň nachodil. Řešení je promítnout bod B na druhou stranu pomocí osové souměrnosti a spojit s bodem A (kde se to protne s osou - řekou, tam je X) :). Pro všechny tady absolutní trivialita, ale nějak jsem si při čtení těhle zápisku na to vzpomněl ;).

[Václav HFechs Švirga]

Jo a vzorce asi nejspíš jako obrázek ne? Nic jiného než UTF8 či obrázek stejně do blogu neprocpeš (a obrázky můzeš vložit do článku a pak je navíc přímo do těla blogu nacpat přes <img src="http://abclinuxu.cz/cesta_k_obrázku/obrázek.jpg"> . Tuším, že když zápisek hned nepublikuješ, tak máš čas ho pak upravit, než to uvidí ostatní (protože obrázky, jak víš, jdou vložit až po odeslání zápisku). Stejně tak můžeš dát i ty kresby přímo do blogu mezi text (místo navedení stylem: podívejte se na první přílohu).

[Marek Bernát]

Mno, možno som nenašiel správny spôsob, ale vkladanie obrázkov do blogu mi pripadá extrémne nepohodlné. Tie štyri v tomto článku som ešte zvládol. V prípade väčšieho počtu by som sa na to vykašlal.

Najlepšie riešenie je asi HTML + UTF. Nebude to síce typografická kvalita, ale aspoň sa to bude generovať automaticky, takže mi to uľahčí kopu práce.

[Václav HFechs Švirga]

Tak ideální to není, souhlasím.

[Ladicek]

No, čekal bych, že to nebude stát za moc. Na druhou stranu, v MathML bych nechtěl psát ani výpočet kořenů kvadratické rovnice

Nemám nic proti příkladům z fyziky (bohudík jsem se v tomhle článku ještě docela chytal ), třeba to takhle bude fungovat, ale je fakt, že když slyším slovo symetrie, tak si představím geometrickou symetrii. Každopádně mne to přimělo kouknout na článek symetrie na wikipedii a významů toho slova jsou mraky.

[Marek Bernát]

Ugh, ja v tom samozrejme písať nechcem. Ale snáď existujú nejaké exporty TeX -> MathML.

To vieš, fyzik sa nezaprie. Pre budúcnosť ale teda budem hľadať aplikácie z iných končín.

[Ladicek]

Máš pravdu, na první pohled to vypadá, že konvertory existují. Ale podpora MathML v prohlížečích, aspoň podle wikipedie, není dvakrát široká. Škoda.

Fyzik se určitě nezapře. Ale když občas přihodíš něco odjinud, nebudu se zlobit

[Marek Bernát]

Vo firefoxe by mala byť a do webkitu sa dostane čo nevidieť. Nič iné tu snáď nikto nepoužíva. Ale aj tak asi budem preferovať HTML. Je tu totiž ešte aj dôvod, že abíčko asi odchytáva nepovolené tagy, medzi inými aj MathML (?).

[Václav HFechs Švirga]

S největší pravděpodobností ano.

[Radek Miček]

Můžete zkusit TeX2page.

[Marek Bernát]

Dík za tip, pozriem na to.

[hajoucha]

a proč to prostě neudělat jako .pdf a nevystavit zde? Vždyť si to může každý stáhnout a přečíst, ne? Imho to za tu typografii stojí.

[Marek Bernát]

Ono tie konvertory HTML nie sú zlé, ale bohužiaľ je to absolútne nekompatibilné s abíčkom (zakázané HTML značky a blbé vkladanie obrázkov).

PDF je dobrý nápad, ale to by asi nikto nečítal. Skôr uvažujem nad tým, že si založím blog niekde, kde budem mať nad takýmito vecami väčšiu kontrolu (príklad blogu s funkčnou sadzbou). A sem by som zo začiatku len linkoval a uviedol stručný obsah.

[hajoucha]

nerozumím tomu, proč by to v .pdf nikdo nečetl? (já bych to např. četl, to snad bylo zřejmé z mé poznámky a tudíž triviálně vyvracím představu, že by to nikdo nečetl). Založení blogu jinde mi připadá hodně podobné tomu, že by si čtenáři abclinuxu prostě měli najít něco o symetriích jinde.

Tak jako tak, je lepší dělat něco, než nedělat nic. Tudíž Ti i nadále držím palce a těším se na veselou symetrickou taškařici. Co se týče úloh - formulací bych se tolik netrápil. Jistě se našli i lidé, co jim rozdíl v komutativnosti u úlohy 2 došel po druhém přečtení.

Osobně bych se ještě zeptal:

proč se ty grupy značí někdy S0() a někdy ISO()...tj. když najdu novou grupu, jak ji mám označit? Existuje nějaká "taxonomie" ?

Dále, co to znamená "kompletně vyřešit pohyb" a proč bychom něco takového měli chtít?

[Marek Bernát]

Lebo kníh v .pdf je na nete dostupných hafo. Myslíš, že by stačilo, keby som na ne linkoval a odkázal, ktoré kapitoly si treba prečítať? Inak jasné, že nikto bolo zveličenie. A možno by to čítala dokonca väčšina. Keď tak urobíme anketu a budeme to vedieť presne

Díky. Úlohy budú v budúcnosti rozhodne lepšejšie, až bude trochu na čom stavať. V tomto diele som tam proste chcel niečo hodiť (tá fyzika bola úplne zbytočná).

Taxonómia a klasifikácia grúp je obor sám o sebe a časom sa na tieto veci určite pozrieme. Nateraz asi toľko, že O je od slova ortogonal. Ortogonálny znamená pravoúhly a je to pre to, že rotácie práve zachovávajú pravoúhle súradnicové systémy. S je od slova special. Chce sa tým vyjadriť, že v príslušnej grupe nie sú zrkadlenia (ktoré tiež zachovávajú pravoúhlosť, ale už nie orientáciu). Pôvod I v ISO(n) nepoznám, ale chce sa ním povedať, že je to spoločná grupa všetkých transformácii euklidovského n-rozmerného priestoru. Inak sa to značí aj E(n). Existujú ešte aj iné označenia, vychádzajúce zo skúmania grupovej štruktúry a isté, tzv. prosté Lieove grupy (medzi ktoré patrí aj SO(n)), sú dokonca klasifikované úplne. V tejto klasifikácii by sa SO(2k + 1) volala B_k a SO(2k) zasa D_k (čiže medzi rotáciami existujú významný rozdiel v závislosti na tom, akú paritu má priestor, na ktorom pôsoboia).

Kompletne vyriešiť pohyb znamená, že ak sa ťa spýtam, čo bude daný systém robiť zajtra o takomto čase, tak mi v princípe dáš presnú odpoveď V prípade väčšiny reálnych systémov bez symetrie vieme pohyb riešiť len približne a treba iterovať diferenciálne rovnice (ktoré určujú časový vývoj za krátke okamihy), prípadne použiť nejaké aproximačné metódy.

[Václav HFechs Švirga]

Jenže to nebude nějaká PDF knížka, ale tvůj blog , jen v jiném formátu, neměl bych s tím problém. Ale UTF8 zápis se taky dá (pokud ale bude stačit i dál).

[hajoucha]

ad .pdf - ok, odpověď beru. Jenom snad dodám: nalinkovat a odkázat, které kapitoly je třeba přečíst taky považuji za užitečnou práci.

ad. vyřešení pohybu : mě šlo spíš o to, jaký je užitek ze symetrií. Tj. klasický přístup je prostě vzít druhý Newtonův zákon, získat pohybovou rovnici a tu pak řešit v závislosti na počátečních podmínkách. Naproti tomu s využitím symetrií se dostaneme (?) k řešení rovnic pohybu (tj. k funkci souřadnic na čase) zcela nezávisle na počátečních podmínkách. Tj. je šumák, jestli těleso v homogenním gravitačním poli rotuje tak nebo jinak, průmět momentu hybnosti do osy z se zachovává vždy.

Dalo by se tedy říct, že pod "řešením pohybu" rozumíš spíše nelezení závislosti souřadnic (souřadnic těžiště?) na čase pro celou kategorii různých pohybů. Jedna kategorie by byly např. nejrůznější rotace v homogenním gravitačním poli. Druhá kategorie by byly pohyby nabitých hmotných bodů v Coulombovském potenciálu (tj. ať už se daný nabitý hm. bod pohybuje pod libovolným úhlem a libovolnou rychlostí vzhledem k místu r=0.).

[Marek Bernát]

Mno, jak to tak sledujem, ty si dosť špecifický prípad (neštuduješ náhodou matfyz? ) a toto by takmer určite veľa ľudí neocenilo. Ale vidím, že sa začínajú množiť zaujímavé nápady, takže nabudúce dáme niekoľko ankiet, nech vidíme, čo ľudia chcú.

Rozdiel je práve v tom, že ak máš dosť symetrií, žiadnu diferenciálnu rovnicu (čo môže byť dosť ťažký problém) riešiť nemusíš, ale rovno napíšeš výsledok v termínoch zachovávajúcich sa veličín. Btw, ono aj na riešenie samotných difiek sa dajú použiť symetrie (ak tie rovnice nejaké majú). Ale táto aplikácia vyžaduje dosť analýzy, a preto sa jej asi vyhneme. Ale nejaké drobnosti, napr. generovanie riešení z nejakého triviálneho pomocou symetrie, sa spomenúť môžu. Jednoduchá aplikácia: vo vákuu máš riešenie, kde ti teleso stojí na mieste. Rovnice (Newtonove) sú invariantné voči transformáciám medzi inerciálnymi sústavami (ktoré sa navzájom pohybujú konštantnou rýchlosťou), takže existuje aj riešenie, kde sa teleso bude pohybovať rovnomerne priamočiaro (toto je v podstate obsah 1. Newtonovho zákona, ktorý nám hovorí, aké symetrie jeho rovnice majú). Netriviálne toto môže byť, ak máš zložitejšie rovnice, so zložitejšími symetriami. Vtedy z nejakého triviálneho riešenia (teleso stojí v počiatku) môžeš vygenerovať nejakú zaujímavú trajektóriu.

Presne tak, obvykle sa pod úplným riešením myslí riešenie pre všetky počiatočné podmienky naraz. Nie vždy to ide, takže sa napr. môžeš obmedziť na nejakú špeciálnu podtriedu počiatočných podmienok (ak máš axiálnu symetriu, tak na ekvatoriálnu rovinu), vďaka ktorým sa zjednodušia rovnice (to obvykle zodpovedá nejakej ďalšej symetrii, ktorú má táto špeciálna trieda navyše oproti triede všetkých počiatočných podmienok).

[Grunt]

Ty jo, nevím. A nebylo by lepší než odcházet a nebo uvažovat o nějakém PDF prokonzultovat věci, které ti chybí s bugzillou a nebo přímo s Leošem či Robertem? S čím máš konkrétně problém?

[Marek Bernát]

To by bolo asi najlepšie. Ale mám pocit, že tá politika zákazu HTML značiek tu nie je pre srandu kralykov, takže na tom asi nepôjde moc zmeniť.

Konkrétnejšie: skúšal som program tex2page, ktorý mi z TeXu vygeneroval HTML kód (vcelku použiteľný, aj keď ešte budem musieť zistiť, ako ho trochu zlepšiť) a z rovníc vyrobil obrázky, ktoré do toho HTML následne nalinkoval. Tu vznikajú naše dva problémy:

1. Ten HTML kód abíčko nezožerie (konkrétne v tom, čo som skúšal, mu vadil parameter width v TD a parameter noindent v P, alebo niečo na ten štýl. Tiež to miestami používalo CSS a netuším, nakoľko ho abíčko podporuje/neblokuje; a nedá sa vylúčiť, že tomu neskôr budú vadiť aj ďalšie veci, ak začnem používať pokročilejšie možnosti TeXu a tex2page).

2. Tie vygenerované obrázky musím nejako dostať na server a zmeniť linky v tom HTML na správnu abíčkovskú cestu. Tých obrázkov bude pomerne dosť, takže nahrávať ich po jednom sa mi pochopiteľne nechce. Ale práve mi došlo, že ich stačí nahrať hocikam do sveta a linkovať sa externe. Tak fajn, jeden problém vyriešený

Btw, Latex2html som ešte neskúšal, možno by výsledky boli lepšie. Keď tak dám vedieť. Ale najprv sa budem musieť naučiť LaTeX

[Václav HFechs Švirga]

Latex je v pohodě, ale prostě s těma značkama co abclinuxu umí nemáš šanci vytvořit nějakou lepší rovnici v HTML než to co děláš pomocí UTF8. Ty skripty to řeší pomocí pozicování (třeba zlomek vytvoří tak, že čitatel nasunou nad jmenovatel a pomocí okraje nebo obrázku mezi to nacpou zlomkovou čáru, atd...). A to jde jen pomocí stylů, které je tu zakázané (aby si někdo nevytvářel ružovoučké blogísky).

MathMl by bylo lepší, ale musel by ho Leoš povolit. To na to jde systémově.

Uložit obrázky jinam, abys je nemusel nahrávat je možné a asi jediné schůdné řešení. Bohužel pokud ten server padne dřív než abíčko, bude tu zápisek bez hodnoty. Ideální by bylo zavést nějakou podporu pro lepší nahrávání obrázků. Třeba nahrát na server archív a abclinuxu.cz by ho rozbalilo a všechny obrázkové soubory by automaticky vložilo do blogu. Pokud to ještě někomu příjde jako dobrý nápad, ať to dá do bugzilly, já nevím (ale asi abíčko nebude zavádět nějaké java nebo flash uploadery).

Ale možná mám nápad, vysázej si dokument kde budou jenom vzorce (třeba v openoffice, latexu, whateever) v takovémto formátu (nahraď si UTF8 zápis skutečnými vzorci):

1) (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

2) (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

3) x12 = (-b +/- d) / 2a

udělej z něj screenshot, a vlož ho jako JEDEN obrázek. Takže budeš mít v galerii jeden obrázek s perfektně vysázenými všemi vzorci (výrazy, větami, whateever). No a pak v článku udělej něco typu:

A pro sečtení dvou grup použijeme definici [VZ1], která se odvodila z [VZ2], a navazuje na [VZ3].

No a čtenář si v druhém panelu otevře ten obrázek a občas tam koukne. Podle mě v pohodě.

[Marek Bernát]

Teda, díky za snahu, ale pripadá mi to ako škrabanie sa za pravým uchom ľavou nohou

Je úplne jasné, že jediné systémové riešenie je MathML. Prípadne ešte ako tak ujde server-side konvertor TeX -> HTML + CSS. Ale obávam sa, že kvôli jednému človeku sa redakcii nebude chcieť takéto veci povoľovať (a už vôbec nepočítam s tým, že ich budú programovať; to by asi zostalo na mňa). Lebo ruku na srdce, koľko bláznov, ktorí potrebujú do blogu sádzať matematiku, tu vidíš? Takže tieto možnosti môžeme asi rovno vylúčiť ako nereálne.

Menej systémový, ale stále funkčný, by bol ten batch-upload. To by asi nemal byť problém ani z hľadiska naprogramovania, ani z hľadiska povolenia redakciou. Navyše by to zrejme ocenilo viac ľudí (sem tam sa tu vyskytnú blogy s celou galériou).

No a napokon, vždy nám zostáva možnosť dať obrázky na externý server. Zhodou okolností mám k jednému relatívne stabilnému prístup (občas mám pocit, že dostupnejšiemu ako samotné abíčko...), takže toto by nemal byť problém. Pre začiatok asi zvolím túto možnosť. Plus, samozrejme môžem priložiť aj link na vygenerované PDF, to nie je žiadna robota navyše a zopár ľudí to asi uprednostní pred zmršeným HTML.

[victor8]

btw obrazky:

ja som si zvykol pouzivat tuto srandu na svojej wikine: mathtran plugin

ten plugin len transformuje latexovy zapis do query pre server MathTran, co by sa imho dalo pouzit aj tuto na obicku. akurat by si si zrejme musel vykuchat, ako presne ta query vyzera.

[deda.jabko]

prosimte, pro koho ma byt urceny tento serial? (i.e., pro jaky typ ctenaru?)

[JS]

Spravna poznamka. To je otazka, kterou by si mel polozit kazdy, kdo neco pise.

[Marek Bernát]

Konštruktívnu kritiku vítam, ale toto je výkrik do tmy. Uvedomte si, že stále je to len blog a môžem si písať, čo sa mi zachce, pretože mám proste chuť. Či to niekto bude čítať je vedľajšie. Ja mám samozrejme radosť, že pár ľudí sa našlo, dáva to tej práci zmysel a mne motiváciu pokračovať. A tiež mám v pláne sa zlepšovať, ak mi niekto dá odozvu a zaujímavé podnety. To je tak všetko, čo k tomu môžem povedať.

[JS]

Neni to vykrik do tmy. Definovat si publikum je klicove, protoze to rika, jakym stylem to budete psat.

Nicmene, ja zatim z tech clanku uz temer vsechno vedel. Co bych se ja osobne rad dozvedel o symetriich, nicmene, je spojeni teorie grup s pocitanim (treba jak resit Rubikovu kostku). Napriklad jak najit bazi generatoru grupy, jak najit nejaky prvek a tak dale. Pripadne tutorial, jak tyhle veci resit v GAPu (tomu nerozumim).

[Marek Bernát]

Hovorí to len, akým štylom sa budem _snažiť_ to písať. Čo je bohužiaľ niečo úplne iné Za druhé, toto nie je ako voliť si cieľové publikujem pre čítateľov knihy (kde je z čoho vyberať). Tu je pár ľudí, ktorých by to mohlo zaujímať a akokoľvek sa rozhodnem, vždy sa to niekomu bude páčiť viac a niekomu menej. Preto na tom až tak nezáleží.

Generátory grupy si skúsime spočítať nabudúce (a ak zostane čas, tak aj vygenerovať nejaké prvky). Inak vďaka za tipy, určite skúsim niečo rozumné vymyslieť. Ono, s tou Rubikovou kockou to nie je úplne jednoduché. Musel by som vysvetliť pomerne veľa teórie diskrétnych grúp (ktorými sa sám príliš nezaoberám). Ale pokúsim sa premyslieť, či by to nešlo vyložiť aj v jednoduchších pojmoch.

[Marek Bernát]

Mno, tak akokoľvek to bude znieť pokrytecky, tak predovšetkým pre mňa samotného, lebo mám chuť o tom písať. V druhom rade pre všetkých, ktorí majú záujem dozvedieť sa niečo o symetriách a kde všade ich možno nájsť. S tým, že u cieľového publika sa budem snažiť predpokladať nanajvýš stredoškolské znalosti.

Pochopiteľne, vzhľadom k tomu, že som fyzik, tak sa budem orientovať predovšetkým na fyziku a v menšej miere aj na matematiku. Tomu niet pomoci, lebo aplikácie napr. v informatike holt nepoznám (aj keď je ich určite dosť). Skúsim ale pridať na geometrii (hoci tú majú niektorí ešte menej radi ako fyziku...).

[deda.jabko]

Mno, tak akokoľvek to bude znieť pokrytecky, tak predovšetkým pre mňa samotného, lebo mám chuť o tom písať. V druhom rade pre všetkých, ktorí majú záujem dozvedieť sa niečo o symetriách a kde všade ich možno nájsť. S tým, že u cieľového publika sa budem snažiť predpokladať nanajvýš stredoškolské znalosti.

to muze byt trochu v rozporu... zkus si vzit ten clanek a vysvetlit jej treba (inteligentnimu) clovekovi, co prave odmaturoval. vezmi si treba tento kousek...

Vďaka tomu v danej grupe existujú prvky ľubovoľne blízke identite. (a co je to ta identita?) Ako uvidíme neskôr, tieto korešpondujú s Lieovou algebrou (co je to ta algebra?) danej grupy. Dôležité je to preto, že na rozdiel od grupy samotnej, čo môže byť zložitý matematický objekt (co to znamena slozity? to jako, ze se to slozite pocita? , má algebra pomerne jednoduchú lineárnu štruktúru (co je to algebra s linearni strukturou?) . Ale stále je to dosť štruktúry na to, aby sa z nej dala vygenerovať (jak vygenerovat? z ceho?) skoro celá pôvodná grupa. Preto sa aj jej prvkom hovorí generátory grupy.

tim nechci shazovat tve snahy popularizovat symetrie... ale nejak to stale neni ono...

[Václav HFechs Švirga]

No jako absolvent elektro prumky jsem tenhle díl už nějak nedával (oproti prvnímu), ale zas, fyziku jsme brali okrajově a první mi jako úvod asi stačil, na výšce se k tomu třeba vrátím (tím neříkám, že si ze zajímavosti další díly nepřečtu). Kdybych moc chtěl, asi bych se ty věci dokázal dostudovat (třeba co je to lieova algebra a podobné, na wiki jsou články), ale musel bych do toho dát velké usilí, někdy to možná zkusím ;).

[Václav HFechs Švirga]

Tím jsem jako chtěl říct, že souhlasím s tím, že je to pro neznalého problematiky obtížněji stravitelné. Ale vzhledem k tématu je to logické .

[Marek Bernát]

Ak ti niečo (alebo všetko) nie je jasné, tak rozhodne daj vedieť. Snažím sa, aby to jasné bolo (akokoľvek neúspešne) a ak to nie je jasné ani niekomu, kto o to má záujem, tak je ten článok na hovno a musím zasa voliť iný prístup.

[Marek Bernát]

Húm hom, musím uznať, že máš pravdu. Dík za postreh. Tak jak je to napísané sú to všetko forward-references do budúceho dielu a nie je to asi moc užitočné. Na obrázku som sa tie pojmy síce trochu snažil ilustrovať, ale asi to pre laika bolo moc rýchlo. Tak fajn, nabudúce zasa od nuly

[Josef Kufner]

Obrázky! Hurá!

[raztos]

Kludne pis, nedaj sa odradit. Sice tomu vobec nerozumiem, ale aspon zistujem o com vsetko nemam sajn.

[Marek Bernát]

Vďaka! Ak nerozumieš len detailom a máš chuť ich pochopiť, tak sa kľudne pýtaj v diskusii, rád pomôžem. Ak nie, tak nič. Aspoň si získal prehľad o neznámych pojmoch

[Dr. Eddy]

Ahoj. Mohl bys trochu vice definovat? Tento clanek byl na me docela svizny, hodne rychle jsi prechazel mezi tematy a kvuli neznalosti definic (asi) si moc neuvedomuji souvislosti.

Jinak, premyslel jsem nad ulohami, a napriklad mi tady chybi ta definice dimenze :)

1) rekl bych, ze n-rozmerny prostor ma dimenzi n; anebo, kdyz ma grupa linearni strukturu, tak by melo zaviset na poctu linearne nezavislych generatoru... (terminologie?)

2) otoceni zachovava pocatek, posunuti ne; posunuti tedy neni linearni zobrazeni. Souvisi to se spravnou odpovedi?

3) co to znamena, ze se vektor zachovava? :)

4) nejsem fyzik...

[Marek Bernát]

Mno, dnešný diel mali byť príklady bez definícií, s tým, že si teóriu vysvetlíme nabudúce. Ale ako už povedal deda.jabko, zas to tak úplne nevyšlo a podarilo sa mi sem vniesť nezadefinované pojmy, takže z toho asi bol guláš

1. Dobrá poznámka, dimenzia môže niekoho zmiasť. Ale zober si napr. v článku spominánú grupu ISO(3). Tá má 6 nezávislých parametrov (3 otočenia a 3 posunutia). Toto je dimenzia grupy. Ale priestor, na ktorom pôsobí, je starý známy trojrozmerný. V úlohe 1 sa podobne chce vedieť, koľko parametrov potrebuješ na charakterizáciu otočení v n-rozmernom priestore (a nie, nie je to n. V 2D mas len jeden parameter, v 3D tri, ...).

2. Zaujímavá odpoveď, ale za prvé to nie je úplne presné (môžeš mať aj otočenia okolo iného bodu ako počiatku, záleží, ako konkrétne je grupa realizovaná. O tom si povieme viac nabudúce) a za druhé som chcel vedieť niečo iné. Uznávam, že tá otázka je trochu vágna, ale hint by ťa mohol naviesť na správnu stopu.

3. Uf, čakal som, že toto vedia všetci. Ale dobre vedieť, nabudúce budem kľúčové pojmy vysvetľovať poriadnejšie. Že sa zachováva, znamená, jednoducho povedané, že sa nemení počas pohybu telesa. Zober si teleso vo vákuu. To sa pohybuje rovnomerne priamočiaro a jeho vektor hybnosti stále ukazuje rovnakým smerom (v smere pohybu) a má rovnakú veľkosť. V prípade rovnomerného kruhového pohybu v rovine sa už hybnosť zachovávať nebude (teleso mení smer rýchlosti v každom bode), ale stále sa bude zachovávať vektorový súčin polohy a hybnosti (lebo sú na seba kolmé a sú rovnako veľké). Je to aspoň trochu jasné? Ak áno, tak si znova prejdi celý článok, lebo je na tom pojme zachovania vybudovaný

4. Good for you.

[zimous]

Ad 2: Dobrej hint by byl taky, ze odpoved funguje az pro n > 2. Preju hodne stesti, urcite nebude trvat dlouho a zadnej lev salonu se neobejde bez znalosti Lieovych grup :)

[Marek Bernát]

Hehe, good point. Osobne inak nemám rád takéto úlohy, lebo spočívajú v nazeraní do hlavy ich zadávateľovi. Už ani neviem, načo som to tam dal

Tak, tak. Douglas Adams by dnes namiesto uteráku určite volil nejakú milú kompaktnú grupu

[Dr. Eddy]

1. dimenze SO(n) = (n^2 - n)/2

2. ze by lisily velikosti dimenze? :)

[Marek Bernát]

1. Máš bod

2. Uznávam, že táto úloha je úplne debilná a vágna, takže správna odpoveď je už to, že jedna grupa sa volá inak ako druhá Ak sa chceš ale dostať k dôležitej vlastnosti, ktorú som mal na mysli, tak sa sústreď na hint.

[Michal Kubeček]

Pro začátek je třeba grupa posunutí komutativní a nejsou tam netriviální "odmocniny z jedničky". Asi by se toho našlo víc.

[Michal Kubeček]

To první samozřejmě jen pro n>2.

[hajoucha]

jakou hrají roli ty "netriviální odmocniny jedničky" ? Tj. proč je tahle vlastnost zajímavá? Předpokládám, že v nějakých dalších strukturách užitečná, což?

[Michal Kubeček]

Určitě nejsem ten pravý na vysvětlování z pohledu algebry. Pro mne je to zajímavé hlavně z hlediska řešení rovnic a třeba v komplexní analýze to vede k docela zajímavé teorii víceznačných funkcí.

[hajoucha]

nejsem vybíravý, klidně si přečtu i o tom použítí v řešení rovnic :)

[Marek Bernát]

Z hľadiska algebry sú významné preto, lebo každá táto odmocnina O ti vygeneruje nejakú konečnú podgrupu (grupu, ktorá je obsiahnutá vo väčšej grupe), ak budeš brať mocniny O, OxO, OxOxO, ..., kde x je grupové násobenie. V teórii konečných grúp hrajú takéto podgrupy veľmi dôležitú úlohu a napr. všetky konečné komutatívne grupy sa rozpadajú len na súčin takýchto jednoduchých grúp generovaných jedným prvkom.

[hajoucha]

Díky, kdo by to byl řekl. Vyvstává otázka, jak takovou větičku dokázat :) Tj. zjistit, za jakých podmínek se grupa rozpadne na jednotlivé podgrupy a "nic dalšího nezbyde". Nebo obrácený proces - lze grupu jen tak rozšiřovat a rozšiřovat a rozšiřovat..... ? (až to bude největší grupa na celém světě :)) )

[Marek Bernát]

Tých otázok je samozrejme veľa a teória grúp sa dá študovať aj sama pre seba (bez ohľadu na nejaké aplikácie). Ak bude záujem, môžeme sa na takéto veci pozrieť. Sem už toho viac písať nebudem, lebo sú to skôr problémy vhodné na celý zápisok (alebo aj niekoľko zápiskov).

Čo sa týka rozširovania, tak samozrejme to robiť môžeš, ale to už sa dostávaš tak trochu mimo grúp smerom do teórie množín, ktorá skúma otázky typu "čo znamená veľkosť množiny", kedy je jedna množina väčšia ako druhá, či existuje nejaká množina väčšia (v istom dobre definovanom zmysle) než celé čísla a menšia než čísla reálne a pod.

Ľubovoľný obor matematiky má náväznosti na iné obory, takže dokonale ovládnuť napr. čisto len teóriu grúp nie je možné bez ovládnutia celej matematiky. Ergo je to nemožné

[Michal Kubeček]

Díky, kdo by to byl řekl. Vyvstává otázka, jak takovou větičku dokázat :)

No, on je to spíš příklad takového toho triviálního pozorování, o kterých jsem tu před pár dny mluvil. Prostě vezmu nějaký nejednotkový prvek a všechny jeho mocniny (mám mlhavý pocit, že se tomu říká orbita). Pokud dostanu celou grupu, jsem hotov. Pokud ne, rozložím ji na součin té "orbity" a faktorgrupy a na tu aplikuji stejnou úvahu. Protože původní grupa byla konečná, musím po konečném počtu kroků skončit.

[Marek Bernát]

Podľa mňa to nie je triviálne pozorovanie. Pre Vás to jednoduché určite je a rovnako tak pre mňa, ale za prvé, tu vetu Vás niekto naučil (predpokladám) a za druhé máte vďaka matfyzu slušné schopnosti takéto veci analyzovať. Inak by to asi vnímal človek, ktorý vidí grupy (alebo vôbec pokročilejšiu matematiku) prvý raz v živote. A dôvod nie je v terminológiu (tú ste aj tak zmrvili, orbita je niečo iné...).

[Michal Kubeček]

tu vetu Vás niekto naučil (predpokladám)

Jak se to vezme. Na přednášce z algebry nejspíš byla, ale tu jsem absolvoval ve školním roce 1993-94, od té doby uplynulo 16 let, během kterých jsem se algebře věnoval jen v míře nezbytně nutné a z toho posledních deset se nevěnuji ani matematice. Takže si ani nejsem jistý tím, jestli jsem tu větu někdy viděl, natož abych si pamatoval cokoli z důkazu. Idea důkazu mne napadla okamžitě, jakmile jsem tu větu uviděl, nejtěžší bylo si (po těch letech) rozmyslet, jestli je faktorgrupa opravdu grupa a jak by se vlastně definoval součin grup. Tohle opravdu nejde vydávat za netriviální větu.

[Marek Bernát]

Mno vida, takže ste pri dôkaze použili nie úplne zrejmú vetu o tom, že nie každá faktormnožina je grupa, ale len faktorizácia podľa normálnej podgrupy. Ale predpokladám, že aj to sú triviality Celkom by ma zaujímalo, ktorá veta podľa Vás nie je triviálna. Veľká Fermatova?

[Michal Kubeček]

Určitě ne vědomě, protože jsem si teď musel vygooglit, co je normální podgrupa. Ale je dost možné, že by se můj postup dal na tu vaši větu (resp. jeden její směr, je-li to ekvivalence) zobecnit.

Já si opravdu moc vět z algebry nepamatuju. Ale těžko mohu za zajímavou a netriviální považovat větu, na kterou se coby náhodný kolemjdoucí podívám a okamžitě vidím kostru důkazu.

[Marek Bernát]

Mno, tak ono to zas tak zložité nie je Idea dôkazu (oboma smermi) spočíva samozrejme v tom, že násobenie tried ekvivalencie bude dávať zmysel, len ak sa cez tie triedy násobením prekomutujeme. Čo je pre abelovské grupy samozrejme splnené triviálne. Pre neabelovské z toho vzniká požiadavok na tú podgrupu a zrejme tu ten pojem normálnej podgrupy aj vznikol (aspoň taká je moja domnienka).

Ok, s touto definíciou triviálnosti by sa asi dalo súhlasiť. Aj keď ten náhodný okoloidúci je očividne dosť šikovný (ex)matfyzák Ale môžeme to otestovať na nasledujúcich vetičkách (terminológiu vysvetlím, aj keď ju možno poznáte. Netuším, či sa tieto veci na matematike berú, lebo je to skôr smerom ku aplikáciám vo fyzike). Za sadzbu sa ospravedlňujem, ale nechce sa mi patlať s UTF a HTML, takže snáď postačí TeX.

1. Počet tried konjugácie je rovnaký sa rovná počtu ireducibilných reprezentácií grupy.

2. \sum_{\alpha} d_{\alpha}^2 = |G|, kde suma je cez ireducibilné reprezentácie a d_{\alpha} je dimenzia reprezentácie \alpha a |G| je počet prvkov grupy.

Reprezentácia je homomorfizmus \rho: G -> Aut(V), kde V je nejaký vektorový priestor. Ireducibilná je vtedy, ak vo V neexistuje netriviálny invariantný podpriestor (voči pôsobeniu grupy). Triedy konjugácie sú asi jasné, ale pre istotu: je to rozklad grupy na orbity pod pôsobením konjugácie AD_g : h -> ghg^{-1}.

[Michal Kubeček]

Asi mám problém s pochopením těch pojmů, protože mi to nějak nesedí. V komutativní grupě by měl být každý prvek konjugovaný pouze sám se sebou, protože g{-1}hg = g^{-1}gh = h. Tím pádem je počet tříd konjugace |G| a podle prvního tvrzení i |G| různých ireducibilních reprezentací. Pak je ale podle druhého tvrzení dimenze každé z nich nutně rovna jedné. Ale když si jako triviální příklad vezmu Z_3, tak ta má ireducibilní reprezentaci v R^2 (pomocí otočení).

[Marek Bernát]

Ospravedlňujem sa, zabudol som spomenúť dôležité slovíčko komplexný pri vektorovom priestore. V reálnom prípade (prípadne s inými poliami, napr. konečnej charakteristiky) by sme dostali úplne iné výsledky, ako ilustruje aj Váš kontrapríklad.

[hajoucha]

no, asi netřeba rozvíjet debatu o tom, co je triviální a co není. Jeden má rád holky a druhý zase vdolky. Co na tom? Popř. co z toho?

Osobně rozumím tomu, že by jakési vlastnosti měly být zřejmé každému už z náhledu a jde pak už jenom o to je pořádně zapsat v matematickém jazyce. Tj. někdo, kdo rozumí alespoň trochu tomu, co je to grupa, by měl umět formulovat podobné větičky zcela sám. Tj. "vymyslet" je.

Co se týče faktormnožiny, faktorgrupy, faktorizace, normální podgrupa - copak to tu máme za zvířátka? Bude to v dalším díle? Zdá se, že to jsou užitečná zvířátka, když už teď by se hodila pro drobné domácí práce. Já se na ně vyloženě těším :) Anó, anó!

Potažmo je tu jakási kacířská myšlenka - když už se tu s tím pachtíš, nestálo by za to dotáhnout to do formy skript? Můj názor na skripta je ten, že právě ony mohou vznikat postupně, z poznámek a sebraných materiálů a navíc by člověk u takových skript (povídání o symetriích pro fyziky a další zájemce) nemusel tolik dbát na rigorózní postup.

[Marek Bernát]

Ja neviem čo z toho, ale kolega sa tú snaží naznačovať, že na algebre (alebo aspoň jej základoch) nie je nič zaujímavé, lebo všetko je tam triviálne. Čo sa mi teda úplne nepozdáva, lebo algebra je môj najobľúbenejší matematický obor

To je v podstate pravda. Ale rovnaké tvrdenie podľa mňa platí aj o iných oboroch. Keď sa v nich človek trochu orientuje, tak vymyslí aspoň kostru dôkazu aj sám. Algebra v tomto nie je nijak špecifická.

Určite sa tieto pojmy v ďalších dieloch vyskytnú, to sa neboj. Ale hovorím, nerád by som prebral celú teóriu grúp v diskusii pod druhým dielom. Takže sa nechaj prekvapiť Zaujímavých úloh z tejto oblasti sa pochopiteľne bude dať vyrobiť dosť, až bude za nami trocha teórie.

Haha, to je myšlienka pekná, ale najprv si musím ujasniť, o čom vlastne písať. Kvalitných skrípt z teórie grúp a symetrií je dosť a dosť. Ja tento blog zatiaľ beriem skôr tak, že sa chcem o svoje znalosti podeliť a zároveň si vďaka tomu sám tie veci ujasňovať. Časom sa to možno vyvinie v niečo viac, ale nebudeme predbiehať.

[hajoucha]

slovo "faktor-" se vyskytuje podezřele často. Co to tedy znamená česky? Já bych se s dovolením přimlouval za jakési "uvedení do pojmu". Má něco společného "faktorgrupa" a "faktoriál" ?

[Michal Kubeček]

Slovo "faktor" samo o sobě nejspíš znamená něco jako činitel (ve významu něčeho, čím se násobí). O etymologii slova faktoriál se můžu jen dohadovat, tipoval bych, že pochází prostě z toho, že je to součin čísel 1…n. U faktorizace bych odhadoval na logickou podobnost rozkladu množiny na třídy ekvivalence s dělením čísel; koneckonců, o rozkladu na prvočísla se také mluví o faktorizaci.

[Marek Bernát]

Yup, mal som na mysli komutatívnosť (čo je asi najdôležitejšia vlastnosť z hľadiska štruktúry príslušných Lieových algebier).

Existencia odmocnín z jedničky je dôsledok ďalšieho zaujímavého rozdielu a to viacnásobného nakrytia grupy exponenciálou kvôli kompaktnosti SO(n). Dobrý postreh, pri zadávaní úlohy som na kompaktnosť úplne zabudol

[12345]

Asi nejsem normální, ale mnohem lépe se mi chápe pořádně vyložená abstraktní teorie, než takový lapidární průlet konkrétními aplikacemi (bez znalosti té teorie). Myslím, že nemá cenu brát ohledy na ty, kteří a priori považují teorii za sprosté slovo…

[Dr. Eddy]

+1

[Václav HFechs Švirga]

Tak příští část ma být zas teoretická, tak si třeba na své přijdou obě skupiny ;).

[x]

os

[Marek Bernát]

Vďaka.

[vencour]

Dík za zajímavé počtení. Letmo se snad orientuju. Těšim se na další díly.

[Marek Bernát]

Musím teda povedať, že toto je momentálne trochu rana pod pás. Osobne som totiž sám seba presvedčil, že tento zápisok bol guláš a za moc nestál. Takže chcem smerovanie seriálu a štýl rozprávania od budúcna dosť zmeniť. Uvidíme, či to nebude náhodou zhoršenie. Ale za pokus nič nedám

[vencour]

K tomu chaosu a mezerám, co mám, i takovéhle psaní může pomoct.