Společnost JetBrains uvolnila Mellum, tj. svůj velký jazykový model (LLM) pro vývojáře, jako open source. Mellum podporuje programovací jazyky Java, Kotlin, Python, Go, PHP, C, C++, C#, JavaScript, TypeScript, CSS, HTML, Rust a Ruby.
Vývojáři Kali Linuxu upozorňují na nový klíč pro podepisování balíčků. K původnímu klíči ztratili přístup.
V březnu loňského roku přestal být Redis svobodný. Společnost Redis Labs jej přelicencovala z licence BSD na nesvobodné licence Redis Source Available License (RSALv2) a Server Side Public License (SSPLv1). Hned o pár dní později vznikly svobodné forky Redisu s názvy Valkey a Redict. Dnes bylo oznámeno, že Redis je opět svobodný. S nejnovější verzí 8 je k dispozici také pod licencí AGPLv3.
Oficiální ceny Raspberry Pi Compute Modulů 4 klesly o 5 dolarů (4 GB varianty), respektive o 10 dolarů (8 GB varianty).
Byla vydána beta verze openSUSE Leap 16. Ve výchozím nastavení s novým instalátorem Agama.
Devadesátková hra Brány Skeldalu prošla portací a je dostupná na platformě Steam. Vyšel i parádní blog autora o portaci na moderní systémy a platformy včetně Linuxu.
Lidi dělají divné věci. Například spouští Linux v Excelu. Využít je emulátor RISC-V mini-rv32ima sestavený jako knihovna DLL, která je volaná z makra VBA (Visual Basic for Applications).
Revolut nabídne neomezený mobilní tarif za 12,50 eur (312 Kč). Aktuálně startuje ve Velké Británii a Německu.
Společnost Amazon miliardáře Jeffa Bezose vypustila na oběžnou dráhu první várku družic svého projektu Kuiper, který má z vesmíru poskytovat vysokorychlostní internetové připojení po celém světě a snažit se konkurovat nyní dominantnímu Starlinku nejbohatšího muže planety Elona Muska.
Poslední aktualizací začal model GPT-4o uživatelům příliš podlézat. OpenAI jej tak vrátila k předchozí verzi.
Hneď zo začiatku musím poďakovať všetkým, ktorí komentovali predchádzajúci diel, jednak za podporu a jednak za kritiku. Pokúsim sa zmeniť štýl výkladu tak, aby sa najprv ilustrovali problémy a aplikácie a prípadne až neskôr ukážeme abstraktnú teóriu. Týmto sa aj vopred ospravedlňujem ľuďom, ktorí čakali viac matematiky, a ubezpečujem ich, že nabudúce jej bude opäť viac.
Dnes sa teda pozrieme na nejaké základné príklady symetrií v prírode a ako nám to pomôže pri riešení problémov. Ukážeme si, že symetrie sú naozaj všade a intuitívne ste ich používali aj doteraz a zrejme ste o tom ani nevedeli. Cynikov nepochybne napadne, či je vôbec celá tá abstraktná teória potrebná, ale neskôr si ukážeme pokročilejšie aplikácie, kde sa hlbšej analýze grupovej štruktúry už nevyhneme.
Zamerajme sa najprv na euklidovskú rovinu. Vďaka jej symetriám (otočenia a posunutia -- grupa ISO(2)), máte veľkú voľnosť v tom, ako kresliť obrázky. Nie všetky možné natočenia sú však rovnako dobré. Viď obrázok 1 -- počíta sa Vám ľahšie obsah zeleného, alebo červeného štvorca?
Úplne rovnako sa chovajú aj fyzici, keď hovoria "zvolíme si počiatok tam a tam a tretiu osu v smere tom a tom". V tomto prípade sa jedná o grupu symetrií nášho trojrozmerného priestoru ISO(3).
Toľko k triviálnym poznámkam a prejdime k niečomu trošku zložitejšiemu. Každý, kto absolvoval strednú školu, vie, že vo fyzike hrajú významnú úlohu zachovávajúce sa veličiny. Zatiaľ necháme bokom energiu a pozrieme sa na hybnosť tuhého telesa v trojrozmernom priestore. Prečo sa hybnosť zachováva? No, samozrejme preto, lebo na daný systém nepôsobí sila.
Matematička Emmy Noether však pred sto rokmi ukázala, že sa na problém dá pozerať aj inak. Tým, že nám na systém nepôsobí sila, v ňom neexistuje preferované miesto ani smer. To znamená, že sa nám tu objavila znova nejaká symetria a kto dával pozor už vie, že sa jedná opäť o grupu ISO(3) (v skutočnosti je to celé trochu komplikovanejšie a tá grupa je väčšia a závisí od toho, či sme v klasickej, alebo relativistickej fyzike, ale nateraz to nie je podstatné, takže presný výklad si necháme na neskôr).
Malá odbočka -- ako všetky grupy v dnešnom diele, aj táto je Lieovská, čo zjednodušene znamená, že je spojitá a to zas približne znamená, že ľubovoľne blízko každého bodu sa nájde nejaký iný bod -- predstavujte si rozdiel medzi celými a reálnymi číslami. Vďaka tomu v danej grupe existujú prvky ľubovoľne blízke identite. Ako uvidíme neskôr, tieto korešpondujú s Lieovou algebrou danej grupy. Dôležité je to preto, že na rozdiel od grupy samotnej, čo môže byť zložitý matematický objekt, má algebra pomerne jednoduchú lineárnu štruktúru. Ale stále je to dosť štruktúry na to, aby sa z nej dala vygenerovať skoro celá pôvodná grupa. Preto sa aj jej prvkom hovorí generátory grupy.
Nateraz vynecháme formálne definície (pretože by zabrali pomerne veľa miesta a vysvetľovania) a tieto pojmy si budeme len ilustrovať na obrázku 2. Grupe zodpovedá sféra. Identita na grupe je vyznačený bod. Lieova algebra je reprezentovaná nekonečnou rovinou (tu odseknutou pre nedostatok miesta). Prvkom grupy v okolí identity budú zodpovedať nejaké prvky algebry v okolí jej počiatku.
Teraz vieme dosť na to (alebo sa tak aspoň môžeme tváriť), aby sme sa (trochu netradične uprostred článku) dostali k zlatému klincu programu. Emmy Noether nám totiž hovorí, že každej symetrii systému zodpovedá zachovávajúci sa generátor tejto symetrie. A tým nie je v našom prípade grupy ISO(3) nič iné, než hybnosť (ktorá zodpovedá posunutiam) a moment hybnosti (ktorý zodpovedá natočeniam). Pochopiteľne sa jedná o trojrozmerné vektory, takže celkovo sa nám zachováva 6 veličín. Tuhé teleso, na ktoré nepôsobí sila, teda už žiadny zaujímavý pohyb nevykonáva. Vďaka zachovaniu hybnosti sa môžeme pretransformovať do sústavy spojenej s ťažiskom. V tejto sústave bude ťažisko celý čas v počiatku a teleso bude rotovať okolo osy určenej momentom hybnosti, ktorú si môžeme vybrať v smere osy z.
Čo sa stane, ak dáme tuhé teleso do homogénneho gravitačného poľa? Predovšetkým, keďže sme už v symetriách vzdelaný, zvolíme osu z práve v smere poľa. Je vidieť, že grupa symetrií sa nám zmenšila -- otočenie by nám mohlo smer poľa odniesť mimo osu z a posunutie v smere z pochopiteľne symetriou byť nemôže (skúste si rozmyslieť pri najbližšom výstupe po schodoch). Zhodou okolností nám tu zostala stará známa ISO(2) (posunutia v rovine xy kolmej na osu z a otočenia okolo osy z). To znamená, že sa nám zachováva priemet hybnosti do roviny xy a priemet momentu hybnosti do smeru z.
V skutočnosti sme ale, dámy a páni, ešte neskončili. Ak ste dávali dobrý pozor, tak Vám neušlo, že sme zabudli na energiu. V slušnom fyzikálnom systéme (inak nazývanom konzervatívny) sa predsa zachováva. Mala by teda existovať ďalšia symetria, ktorá jej zodpovedá. A pochopiteľne aj existuje. Jedná sa o posunutia v čase. Je úplne jedno, či experiment robíte dnes, alebo zajtra, vždy vyjde rovnako (modulo technické problémy). Ak ste dobre počítali, tak z pôvodných šiestich stupňov voľnosti tuhého telesa nám zostali dva. Tento problém už nie je ďalej riešiteľný pomocou symetrií, ale jedná o tzv. ťažké zotrvačníky, kde treba analyzovať diferenciálne rovnice. Je to veľmi zaujímavé, ale bohužiaľ úplne mimo predmet tohoto článku. Na tomto mieste spomeňme už len toľko, že keby sa nejednalo o tuhé teleso, ale hmotný bod, tak máme zachovávajúcich sa veličín dosť -- energiu a hybnosť v rovine xy (pretože hmotný bod nemá stupne voľnosti týkajúce sa natočenia) -- a pohyb je opäť kompletne vyriešený.
Najjednoduchšie aplikácie Noetherovej teorému máme za sebou, prejdime k niečomu zložitejšiemu. Vyšetríme pohyb hmotného bodu vo sféricky symetrickom poli. V tomto prípade fyzika nemôže závisieť na tom, ako si natočíme súradnú sústavu. Systém teda má symetriu natočenia okolo počiatku a všetky takéto rotácie tvoria trojrozmernú grupu SO(3) (trojrozmerná je preto, lebo si môžete vybrať smer a uhol natočenia, viď obrázok 3). Grupa SO(3) je vo fyzike aj matematike nesmierne významná, preto sa k nej neskôr určite vrátime a odvodíme si jej vlastnosti poriadne. Nateraz sa uspokojme s tým, že vďaka pani Emmy Noether sa nám zachováva moment hybnosti L = r × p, čo je teda generátor grupy natočení.
Chvíľu strávime tým, čo sme to vlastne odvodili. Tak za prvé -- to, že sa zachováva smer momentu hybnosti, znamená, že pohyb je rovinný. Za druhé, nezachováva sa nám len smer, ale aj veľkosť momentu hybnosti. Ako vidíme zo vzťahu pre moment hybnosti, je úmerný ploche trojuholníka určenej polohou a rýchlosťou hmotného bodu. Čo nie je nič iné ako diferenciálna forma druhého Keplerovho zákona o konštantnej veľkosti plôch opísaných sprievodičom za nejaký pevný čas (obrázok 4).
Tento diel by nebol úplný, keby sme nespomenuli najdôležitejšie fyzikálne pole, a to pole Coulombické (jedná sa o pole klasickej gravitácie a elektrostatiky). Toto pole nie je významné len fyzikálne, ale aj čisto matematicky. Podľa Gaussovej vety totiž tok poľa ľubovoľnou plochou obopínajúcej zdroj, nezávisí na tvare samotnej plochy, ale len na zdroji v ňom uzavretom.
Tu trochu odbočíme od symetrií, ale tok nejakou plochou je fyzikálne tak zaujímavý, že určite stojí za to si ho vysvetliť. A za druhé som si takmer istý, že nikto, kto nie je poriadne podkutý vo vektorovej analýze, prechádzajucej vete nerozumel. Čo je to tok si najľahšie predstavíte na plynutí vody v rieke. Ak si ešte k tomu predstavíte nejakú uzavretú plochu (napr. sféru), tak tok ňou je proste daný rozdielom toho, čo do nej za nejaký čas vtečie a toho, čo z nej vytečie. V prípade nestlačiteľnej kvapaliny bude tok ľubovoľnou plochou nulový (voda sa nám nemá kde stratiť; samozrejme zanedbávame vyparovanie a pod.). Gaussova veta pre Coulombické pole hovorí prakticky rovnakú vec pre pole vo vákuu (nie sú tam zdroje a teda tok ľubovoľnou plochou bude nulový). Ak nejaký zdroj máme, tak ten nám už bude nejaký tok generovať (napr. si predstavujte siločiary "tečúce" z kladného náboja na záporný), ale znova tento tok nezávisí na tvare plochy.
Takéto pole existuje pre každú dimenziu d len jedno a jeho potenciál má pre d ≥ 3 tvar V = k r2-d, kde k určuje silu interakcie. V našich troch dimenziách dostaneme teda staré známe V = k r-1. Je to samozrejme pole sféricky symetrické, takže sa nám zachováva moment hybnosti. Ale prekvapujúco má toto pole ešte ďalšiu symetriu, vďaka čomu je pohyb častice v Coulombickom poli riešiteľný kompletne (bez riešenia diferenciálnych rovníc).
Ukazuje sa, že kompletná grupa symetrií častice v Coulombickom poli je SO(4) (natočenia v štvorrozmernom priestore). Táto grupa je šesťrozmerná (viď úloha 1). Tri generátory už poznáme (moment hybnosti). Zvyšnými tromi generátormi sú zložky vektora A = p × L - mkr. Takže opäť máme kompletne vyriešený problém vďaka symetriám. Opäť by sa s týmto problémom dalo stráviť ešte veľa času, ale článok je už tak príliš dlhý, takže je najvyšší čas skončiť. Ak by niekoho zaujímalo viac, môže sa pozrieť na úlohy 3 a 4.
Tak, to by bolo pre dnešok všetko. Určite ste nespokojní s nedostatkom matematiky a prebytkom fyziky, takže nabudúce si to vynahradíme a zavedieme teóriu, ktorou podchytíme dnešné príklady a skúsime sa konečne pozrieť na zúbok niektorým konkrétnym grupám a odvodiť príslušné generátory.
P.S.: Mám jeden technický problém, s ktorým by mi abíčkovské publikom malo byť schopné pomôcť. Z rôznych dôvodov by som pre písanie týchto článkov preferoval TeX. Viete o nejakom spôsobe, akým by sa z neho dal vyrobiť rozumný HTML kód, do ktorého by som ešte prípadne mohol zakomponovať obrázky a linky? A čo MathML?
Tiskni
Sdílej:
Ok, tiež som z toho mal ten pocit. Najbližší blog bude o dva týždne a bude dvakrát kratší
Viem, že nejaké veci existujú. Zrovna latex2html som kedysi skúšal a výsledky boli povedzme... neuspokojivé.
Človek si nevyberie. Niekto chce teóriu, niekto príklady. A príklady, tie ja poznám ako fyzik prevážne len z fyziky Btw, aké príklady by si chcel (ak vôbec nejaké)? Geometria?
A B ----X------- (řeka)Dědeček (A) si chce vychladit lahváče do řeky a pak dojít k babičce (B), a hledá místo X, aby se co nejmíň nachodil. Řešení je promítnout bod B na druhou stranu pomocí osové souměrnosti a spojit s bodem A (kde se to protne s osou - řekou, tam je X) :). Pro všechny tady absolutní trivialita, ale nějak jsem si při čtení těhle zápisku na to vzpomněl ;).
Mno, možno som nenašiel správny spôsob, ale vkladanie obrázkov do blogu mi pripadá extrémne nepohodlné. Tie štyri v tomto článku som ešte zvládol. V prípade väčšieho počtu by som sa na to vykašlal.
Najlepšie riešenie je asi HTML + UTF. Nebude to síce typografická kvalita, ale aspoň sa to bude generovať automaticky, takže mi to uľahčí kopu práce.
Ugh, ja v tom samozrejme písať nechcem. Ale snáď existujú nejaké exporty TeX -> MathML.
To vieš, fyzik sa nezaprie. Pre budúcnosť ale teda budem hľadať aplikácie z iných končín.
Vo firefoxe by mala byť a do webkitu sa dostane čo nevidieť. Nič iné tu snáď nikto nepoužíva. Ale aj tak asi budem preferovať HTML. Je tu totiž ešte aj dôvod, že abíčko asi odchytáva nepovolené tagy, medzi inými aj MathML (?).
Dík za tip, pozriem na to.
Ono tie konvertory HTML nie sú zlé, ale bohužiaľ je to absolútne nekompatibilné s abíčkom (zakázané HTML značky a blbé vkladanie obrázkov).
PDF je dobrý nápad, ale to by asi nikto nečítal. Skôr uvažujem nad tým, že si založím blog niekde, kde budem mať nad takýmito vecami väčšiu kontrolu (príklad blogu s funkčnou sadzbou). A sem by som zo začiatku len linkoval a uviedol stručný obsah.
Lebo kníh v .pdf je na nete dostupných hafo. Myslíš, že by stačilo, keby som na ne linkoval a odkázal, ktoré kapitoly si treba prečítať? Inak jasné, že nikto bolo zveličenie. A možno by to čítala dokonca väčšina. Keď tak urobíme anketu a budeme to vedieť presne
Díky. Úlohy budú v budúcnosti rozhodne lepšejšie, až bude trochu na čom stavať. V tomto diele som tam proste chcel niečo hodiť (tá fyzika bola úplne zbytočná).
Taxonómia a klasifikácia grúp je obor sám o sebe a časom sa na tieto veci určite pozrieme. Nateraz asi toľko, že O je od slova ortogonal. Ortogonálny znamená pravoúhly a je to pre to, že rotácie práve zachovávajú pravoúhle súradnicové systémy. S je od slova special. Chce sa tým vyjadriť, že v príslušnej grupe nie sú zrkadlenia (ktoré tiež zachovávajú pravoúhlosť, ale už nie orientáciu). Pôvod I v ISO(n) nepoznám, ale chce sa ním povedať, že je to spoločná grupa všetkých transformácii euklidovského n-rozmerného priestoru. Inak sa to značí aj E(n). Existujú ešte aj iné označenia, vychádzajúce zo skúmania grupovej štruktúry a isté, tzv. prosté Lieove grupy (medzi ktoré patrí aj SO(n)), sú dokonca klasifikované úplne. V tejto klasifikácii by sa SO(2k + 1) volala B_k a SO(2k) zasa D_k (čiže medzi rotáciami existujú významný rozdiel v závislosti na tom, akú paritu má priestor, na ktorom pôsoboia).
Kompletne vyriešiť pohyb znamená, že ak sa ťa spýtam, čo bude daný systém robiť zajtra o takomto čase, tak mi v princípe dáš presnú odpoveď V prípade väčšiny reálnych systémov bez symetrie vieme pohyb riešiť len približne a treba iterovať diferenciálne rovnice (ktoré určujú časový vývoj za krátke okamihy), prípadne použiť nejaké aproximačné metódy.
Mno, jak to tak sledujem, ty si dosť špecifický prípad (neštuduješ náhodou matfyz? ) a toto by takmer určite veľa ľudí neocenilo. Ale vidím, že sa začínajú množiť zaujímavé nápady, takže nabudúce dáme niekoľko ankiet, nech vidíme, čo ľudia chcú.
Rozdiel je práve v tom, že ak máš dosť symetrií, žiadnu diferenciálnu rovnicu (čo môže byť dosť ťažký problém) riešiť nemusíš, ale rovno napíšeš výsledok v termínoch zachovávajúcich sa veličín. Btw, ono aj na riešenie samotných difiek sa dajú použiť symetrie (ak tie rovnice nejaké majú). Ale táto aplikácia vyžaduje dosť analýzy, a preto sa jej asi vyhneme. Ale nejaké drobnosti, napr. generovanie riešení z nejakého triviálneho pomocou symetrie, sa spomenúť môžu. Jednoduchá aplikácia: vo vákuu máš riešenie, kde ti teleso stojí na mieste. Rovnice (Newtonove) sú invariantné voči transformáciám medzi inerciálnymi sústavami (ktoré sa navzájom pohybujú konštantnou rýchlosťou), takže existuje aj riešenie, kde sa teleso bude pohybovať rovnomerne priamočiaro (toto je v podstate obsah 1. Newtonovho zákona, ktorý nám hovorí, aké symetrie jeho rovnice majú). Netriviálne toto môže byť, ak máš zložitejšie rovnice, so zložitejšími symetriami. Vtedy z nejakého triviálneho riešenia (teleso stojí v počiatku) môžeš vygenerovať nejakú zaujímavú trajektóriu.
Presne tak, obvykle sa pod úplným riešením myslí riešenie pre všetky počiatočné podmienky naraz. Nie vždy to ide, takže sa napr. môžeš obmedziť na nejakú špeciálnu podtriedu počiatočných podmienok (ak máš axiálnu symetriu, tak na ekvatoriálnu rovinu), vďaka ktorým sa zjednodušia rovnice (to obvykle zodpovedá nejakej ďalšej symetrii, ktorú má táto špeciálna trieda navyše oproti triede všetkých počiatočných podmienok).
To by bolo asi najlepšie. Ale mám pocit, že tá politika zákazu HTML značiek tu nie je pre srandu kralykov, takže na tom asi nepôjde moc zmeniť.
Konkrétnejšie: skúšal som program tex2page, ktorý mi z TeXu vygeneroval HTML kód (vcelku použiteľný, aj keď ešte budem musieť zistiť, ako ho trochu zlepšiť) a z rovníc vyrobil obrázky, ktoré do toho HTML následne nalinkoval. Tu vznikajú naše dva problémy:
1. Ten HTML kód abíčko nezožerie (konkrétne v tom, čo som skúšal, mu vadil parameter width v TD a parameter noindent v P, alebo niečo na ten štýl. Tiež to miestami používalo CSS a netuším, nakoľko ho abíčko podporuje/neblokuje; a nedá sa vylúčiť, že tomu neskôr budú vadiť aj ďalšie veci, ak začnem používať pokročilejšie možnosti TeXu a tex2page).
2. Tie vygenerované obrázky musím nejako dostať na server a zmeniť linky v tom HTML na správnu abíčkovskú cestu. Tých obrázkov bude pomerne dosť, takže nahrávať ich po jednom sa mi pochopiteľne nechce. Ale práve mi došlo, že ich stačí nahrať hocikam do sveta a linkovať sa externe. Tak fajn, jeden problém vyriešený
Btw, Latex2html som ešte neskúšal, možno by výsledky boli lepšie. Keď tak dám vedieť. Ale najprv sa budem musieť naučiť LaTeX
1) (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 2) (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 3) x12 = (-b +/- d) / 2audělej z něj screenshot, a vlož ho jako JEDEN obrázek. Takže budeš mít v galerii jeden obrázek s perfektně vysázenými všemi vzorci (výrazy, větami, whateever). No a pak v článku udělej něco typu: A pro sečtení dvou grup použijeme definici [VZ1], která se odvodila z [VZ2], a navazuje na [VZ3]. No a čtenář si v druhém panelu otevře ten obrázek a občas tam koukne. Podle mě v pohodě.
Teda, díky za snahu, ale pripadá mi to ako škrabanie sa za pravým uchom ľavou nohou
Je úplne jasné, že jediné systémové riešenie je MathML. Prípadne ešte ako tak ujde server-side konvertor TeX -> HTML + CSS. Ale obávam sa, že kvôli jednému človeku sa redakcii nebude chcieť takéto veci povoľovať (a už vôbec nepočítam s tým, že ich budú programovať; to by asi zostalo na mňa). Lebo ruku na srdce, koľko bláznov, ktorí potrebujú do blogu sádzať matematiku, tu vidíš? Takže tieto možnosti môžeme asi rovno vylúčiť ako nereálne.
Menej systémový, ale stále funkčný, by bol ten batch-upload. To by asi nemal byť problém ani z hľadiska naprogramovania, ani z hľadiska povolenia redakciou. Navyše by to zrejme ocenilo viac ľudí (sem tam sa tu vyskytnú blogy s celou galériou).
No a napokon, vždy nám zostáva možnosť dať obrázky na externý server. Zhodou okolností mám k jednému relatívne stabilnému prístup (občas mám pocit, že dostupnejšiemu ako samotné abíčko...), takže toto by nemal byť problém. Pre začiatok asi zvolím túto možnosť. Plus, samozrejme môžem priložiť aj link na vygenerované PDF, to nie je žiadna robota navyše a zopár ľudí to asi uprednostní pred zmršeným HTML.
Konštruktívnu kritiku vítam, ale toto je výkrik do tmy. Uvedomte si, že stále je to len blog a môžem si písať, čo sa mi zachce, pretože mám proste chuť. Či to niekto bude čítať je vedľajšie. Ja mám samozrejme radosť, že pár ľudí sa našlo, dáva to tej práci zmysel a mne motiváciu pokračovať. A tiež mám v pláne sa zlepšovať, ak mi niekto dá odozvu a zaujímavé podnety. To je tak všetko, čo k tomu môžem povedať.
Hovorí to len, akým štylom sa budem _snažiť_ to písať. Čo je bohužiaľ niečo úplne iné Za druhé, toto nie je ako voliť si cieľové publikujem pre čítateľov knihy (kde je z čoho vyberať). Tu je pár ľudí, ktorých by to mohlo zaujímať a akokoľvek sa rozhodnem, vždy sa to niekomu bude páčiť viac a niekomu menej. Preto na tom až tak nezáleží.
Generátory grupy si skúsime spočítať nabudúce (a ak zostane čas, tak aj vygenerovať nejaké prvky). Inak vďaka za tipy, určite skúsim niečo rozumné vymyslieť. Ono, s tou Rubikovou kockou to nie je úplne jednoduché. Musel by som vysvetliť pomerne veľa teórie diskrétnych grúp (ktorými sa sám príliš nezaoberám). Ale pokúsim sa premyslieť, či by to nešlo vyložiť aj v jednoduchších pojmoch.
Mno, tak akokoľvek to bude znieť pokrytecky, tak predovšetkým pre mňa samotného, lebo mám chuť o tom písať. V druhom rade pre všetkých, ktorí majú záujem dozvedieť sa niečo o symetriách a kde všade ich možno nájsť. S tým, že u cieľového publika sa budem snažiť predpokladať nanajvýš stredoškolské znalosti.
Pochopiteľne, vzhľadom k tomu, že som fyzik, tak sa budem orientovať predovšetkým na fyziku a v menšej miere aj na matematiku. Tomu niet pomoci, lebo aplikácie napr. v informatike holt nepoznám (aj keď je ich určite dosť). Skúsim ale pridať na geometrii (hoci tú majú niektorí ešte menej radi ako fyziku...).
Mno, tak akokoľvek to bude znieť pokrytecky, tak predovšetkým pre mňa samotného, lebo mám chuť o tom písať. V druhom rade pre všetkých, ktorí majú záujem dozvedieť sa niečo o symetriách a kde všade ich možno nájsť. S tým, že u cieľového publika sa budem snažiť predpokladať nanajvýš stredoškolské znalosti.to muze byt trochu v rozporu... zkus si vzit ten clanek a vysvetlit jej treba (inteligentnimu) clovekovi, co prave odmaturoval. vezmi si treba tento kousek...
Vďaka tomu v danej grupe existujú prvky ľubovoľne blízke identite. (a co je to ta identita?) Ako uvidíme neskôr, tieto korešpondujú s Lieovou algebrou (co je to ta algebra?) danej grupy. Dôležité je to preto, že na rozdiel od grupy samotnej, čo môže byť zložitý matematický objekt (co to znamena slozity? to jako, ze se to slozite pocita?tim nechci shazovat tve snahy popularizovat symetrie... ale nejak to stale neni ono..., má algebra pomerne jednoduchú lineárnu štruktúru (co je to algebra s linearni strukturou?) . Ale stále je to dosť štruktúry na to, aby sa z nej dala vygenerovať (jak vygenerovat? z ceho?) skoro celá pôvodná grupa. Preto sa aj jej prvkom hovorí generátory grupy.
Ak ti niečo (alebo všetko) nie je jasné, tak rozhodne daj vedieť. Snažím sa, aby to jasné bolo (akokoľvek neúspešne) a ak to nie je jasné ani niekomu, kto o to má záujem, tak je ten článok na hovno a musím zasa voliť iný prístup.
Húm hom, musím uznať, že máš pravdu. Dík za postreh. Tak jak je to napísané sú to všetko forward-references do budúceho dielu a nie je to asi moc užitočné. Na obrázku som sa tie pojmy síce trochu snažil ilustrovať, ale asi to pre laika bolo moc rýchlo. Tak fajn, nabudúce zasa od nuly
Vďaka! Ak nerozumieš len detailom a máš chuť ich pochopiť, tak sa kľudne pýtaj v diskusii, rád pomôžem. Ak nie, tak nič. Aspoň si získal prehľad o neznámych pojmoch
Jinak, premyslel jsem nad ulohami, a napriklad mi tady chybi ta definice dimenze :)
1) rekl bych, ze n-rozmerny prostor ma dimenzi n; anebo, kdyz ma grupa linearni strukturu, tak by melo zaviset na poctu linearne nezavislych generatoru... (terminologie?)
2) otoceni zachovava pocatek, posunuti ne; posunuti tedy neni linearni zobrazeni. Souvisi to se spravnou odpovedi?
3) co to znamena, ze se vektor zachovava? :)
4) nejsem fyzik...
Mno, dnešný diel mali byť príklady bez definícií, s tým, že si teóriu vysvetlíme nabudúce. Ale ako už povedal deda.jabko, zas to tak úplne nevyšlo a podarilo sa mi sem vniesť nezadefinované pojmy, takže z toho asi bol guláš
1. Dobrá poznámka, dimenzia môže niekoho zmiasť. Ale zober si napr. v článku spominánú grupu ISO(3). Tá má 6 nezávislých parametrov (3 otočenia a 3 posunutia). Toto je dimenzia grupy. Ale priestor, na ktorom pôsobí, je starý známy trojrozmerný. V úlohe 1 sa podobne chce vedieť, koľko parametrov potrebuješ na charakterizáciu otočení v n-rozmernom priestore (a nie, nie je to n. V 2D mas len jeden parameter, v 3D tri, ...).
2. Zaujímavá odpoveď, ale za prvé to nie je úplne presné (môžeš mať aj otočenia okolo iného bodu ako počiatku, záleží, ako konkrétne je grupa realizovaná. O tom si povieme viac nabudúce) a za druhé som chcel vedieť niečo iné. Uznávam, že tá otázka je trochu vágna, ale hint by ťa mohol naviesť na správnu stopu.
3. Uf, čakal som, že toto vedia všetci. Ale dobre vedieť, nabudúce budem kľúčové pojmy vysvetľovať poriadnejšie. Že sa zachováva, znamená, jednoducho povedané, že sa nemení počas pohybu telesa. Zober si teleso vo vákuu. To sa pohybuje rovnomerne priamočiaro a jeho vektor hybnosti stále ukazuje rovnakým smerom (v smere pohybu) a má rovnakú veľkosť. V prípade rovnomerného kruhového pohybu v rovine sa už hybnosť zachovávať nebude (teleso mení smer rýchlosti v každom bode), ale stále sa bude zachovávať vektorový súčin polohy a hybnosti (lebo sú na seba kolmé a sú rovnako veľké). Je to aspoň trochu jasné? Ak áno, tak si znova prejdi celý článok, lebo je na tom pojme zachovania vybudovaný
4. Good for you.
Hehe, good point. Osobne inak nemám rád takéto úlohy, lebo spočívajú v nazeraní do hlavy ich zadávateľovi. Už ani neviem, načo som to tam dal
Tak, tak. Douglas Adams by dnes namiesto uteráku určite volil nejakú milú kompaktnú grupu
1. dimenze SO(n) = (n^2 - n)/2
2. ze by lisily velikosti dimenze? :)
1. Máš bod
2. Uznávam, že táto úloha je úplne debilná a vágna, takže správna odpoveď je už to, že jedna grupa sa volá inak ako druhá Ak sa chceš ale dostať k dôležitej vlastnosti, ktorú som mal na mysli, tak sa sústreď na hint.
Z hľadiska algebry sú významné preto, lebo každá táto odmocnina O ti vygeneruje nejakú konečnú podgrupu (grupu, ktorá je obsiahnutá vo väčšej grupe), ak budeš brať mocniny O, OxO, OxOxO, ..., kde x je grupové násobenie. V teórii konečných grúp hrajú takéto podgrupy veľmi dôležitú úlohu a napr. všetky konečné komutatívne grupy sa rozpadajú len na súčin takýchto jednoduchých grúp generovaných jedným prvkom.
Tých otázok je samozrejme veľa a teória grúp sa dá študovať aj sama pre seba (bez ohľadu na nejaké aplikácie). Ak bude záujem, môžeme sa na takéto veci pozrieť. Sem už toho viac písať nebudem, lebo sú to skôr problémy vhodné na celý zápisok (alebo aj niekoľko zápiskov).
Čo sa týka rozširovania, tak samozrejme to robiť môžeš, ale to už sa dostávaš tak trochu mimo grúp smerom do teórie množín, ktorá skúma otázky typu "čo znamená veľkosť množiny", kedy je jedna množina väčšia ako druhá, či existuje nejaká množina väčšia (v istom dobre definovanom zmysle) než celé čísla a menšia než čísla reálne a pod.
Ľubovoľný obor matematiky má náväznosti na iné obory, takže dokonale ovládnuť napr. čisto len teóriu grúp nie je možné bez ovládnutia celej matematiky. Ergo je to nemožné
Díky, kdo by to byl řekl. Vyvstává otázka, jak takovou větičku dokázat :)
No, on je to spíš příklad takového toho triviálního pozorování, o kterých jsem tu před pár dny mluvil. Prostě vezmu nějaký nejednotkový prvek a všechny jeho mocniny (mám mlhavý pocit, že se tomu říká orbita). Pokud dostanu celou grupu, jsem hotov. Pokud ne, rozložím ji na součin té "orbity" a faktorgrupy a na tu aplikuji stejnou úvahu. Protože původní grupa byla konečná, musím po konečném počtu kroků skončit.
Podľa mňa to nie je triviálne pozorovanie. Pre Vás to jednoduché určite je a rovnako tak pre mňa, ale za prvé, tu vetu Vás niekto naučil (predpokladám) a za druhé máte vďaka matfyzu slušné schopnosti takéto veci analyzovať. Inak by to asi vnímal človek, ktorý vidí grupy (alebo vôbec pokročilejšiu matematiku) prvý raz v živote. A dôvod nie je v terminológiu (tú ste aj tak zmrvili, orbita je niečo iné...).
tu vetu Vás niekto naučil (predpokladám)
Jak se to vezme. Na přednášce z algebry nejspíš byla, ale tu jsem absolvoval ve školním roce 1993-94, od té doby uplynulo 16 let, během kterých jsem se algebře věnoval jen v míře nezbytně nutné a z toho posledních deset se nevěnuji ani matematice. Takže si ani nejsem jistý tím, jestli jsem tu větu někdy viděl, natož abych si pamatoval cokoli z důkazu. Idea důkazu mne napadla okamžitě, jakmile jsem tu větu uviděl, nejtěžší bylo si (po těch letech) rozmyslet, jestli je faktorgrupa opravdu grupa a jak by se vlastně definoval součin grup. Tohle opravdu nejde vydávat za netriviální větu.
Mno vida, takže ste pri dôkaze použili nie úplne zrejmú vetu o tom, že nie každá faktormnožina je grupa, ale len faktorizácia podľa normálnej podgrupy. Ale predpokladám, že aj to sú triviality Celkom by ma zaujímalo, ktorá veta podľa Vás nie je triviálna. Veľká Fermatova?
Určitě ne vědomě, protože jsem si teď musel vygooglit, co je normální podgrupa. Ale je dost možné, že by se můj postup dal na tu vaši větu (resp. jeden její směr, je-li to ekvivalence) zobecnit.
Já si opravdu moc vět z algebry nepamatuju. Ale těžko mohu za zajímavou a netriviální považovat větu, na kterou se coby náhodný kolemjdoucí podívám a okamžitě vidím kostru důkazu.
Mno, tak ono to zas tak zložité nie je Idea dôkazu (oboma smermi) spočíva samozrejme v tom, že násobenie tried ekvivalencie bude dávať zmysel, len ak sa cez tie triedy násobením prekomutujeme. Čo je pre abelovské grupy samozrejme splnené triviálne. Pre neabelovské z toho vzniká požiadavok na tú podgrupu a zrejme tu ten pojem normálnej podgrupy aj vznikol (aspoň taká je moja domnienka).
Ok, s touto definíciou triviálnosti by sa asi dalo súhlasiť. Aj keď ten náhodný okoloidúci je očividne dosť šikovný (ex)matfyzák Ale môžeme to otestovať na nasledujúcich vetičkách (terminológiu vysvetlím, aj keď ju možno poznáte. Netuším, či sa tieto veci na matematike berú, lebo je to skôr smerom ku aplikáciám vo fyzike). Za sadzbu sa ospravedlňujem, ale nechce sa mi patlať s UTF a HTML, takže snáď postačí TeX.
1. Počet tried konjugácie je rovnaký sa rovná počtu ireducibilných reprezentácií grupy.
2. \sum_{\alpha} d_{\alpha}^2 = |G|, kde suma je cez ireducibilné reprezentácie a d_{\alpha} je dimenzia reprezentácie \alpha a |G| je počet prvkov grupy.
Reprezentácia je homomorfizmus \rho: G -> Aut(V), kde V je nejaký vektorový priestor. Ireducibilná je vtedy, ak vo V neexistuje netriviálny invariantný podpriestor (voči pôsobeniu grupy). Triedy konjugácie sú asi jasné, ale pre istotu: je to rozklad grupy na orbity pod pôsobením konjugácie AD_g : h -> ghg^{-1}.
Ospravedlňujem sa, zabudol som spomenúť dôležité slovíčko komplexný pri vektorovom priestore. V reálnom prípade (prípadne s inými poliami, napr. konečnej charakteristiky) by sme dostali úplne iné výsledky, ako ilustruje aj Váš kontrapríklad.
Ja neviem čo z toho, ale kolega sa tú snaží naznačovať, že na algebre (alebo aspoň jej základoch) nie je nič zaujímavé, lebo všetko je tam triviálne. Čo sa mi teda úplne nepozdáva, lebo algebra je môj najobľúbenejší matematický obor
To je v podstate pravda. Ale rovnaké tvrdenie podľa mňa platí aj o iných oboroch. Keď sa v nich človek trochu orientuje, tak vymyslí aspoň kostru dôkazu aj sám. Algebra v tomto nie je nijak špecifická.
Určite sa tieto pojmy v ďalších dieloch vyskytnú, to sa neboj. Ale hovorím, nerád by som prebral celú teóriu grúp v diskusii pod druhým dielom. Takže sa nechaj prekvapiť Zaujímavých úloh z tejto oblasti sa pochopiteľne bude dať vyrobiť dosť, až bude za nami trocha teórie.
Haha, to je myšlienka pekná, ale najprv si musím ujasniť, o čom vlastne písať. Kvalitných skrípt z teórie grúp a symetrií je dosť a dosť. Ja tento blog zatiaľ beriem skôr tak, že sa chcem o svoje znalosti podeliť a zároveň si vďaka tomu sám tie veci ujasňovať. Časom sa to možno vyvinie v niečo viac, ale nebudeme predbiehať.
Yup, mal som na mysli komutatívnosť (čo je asi najdôležitejšia vlastnosť z hľadiska štruktúry príslušných Lieových algebier).
Existencia odmocnín z jedničky je dôsledok ďalšieho zaujímavého rozdielu a to viacnásobného nakrytia grupy exponenciálou kvôli kompaktnosti SO(n). Dobrý postreh, pri zadávaní úlohy som na kompaktnosť úplne zabudol
Dík za zajímavé počtení. Letmo se snad orientuju. Těšim se na další díly.
Musím teda povedať, že toto je momentálne trochu rana pod pás. Osobne som totiž sám seba presvedčil, že tento zápisok bol guláš a za moc nestál. Takže chcem smerovanie seriálu a štýl rozprávania od budúcna dosť zmeniť. Uvidíme, či to nebude náhodou zhoršenie. Ale za pokus nič nedám
K tomu chaosu a mezerám, co mám, i takovéhle psaní může pomoct.