Quo vadis symetria?

18.6.2010 09:28 | Přečteno: 1436× | symmetry | poslední úprava: 18.6.2010 09:28

Ako napovedá nadpis, rozhodol som sa trochu porozmýšľať nad zmyslom nášho seriálu o symetriách.

1. Prológ

Dôvodov pre tento zápisok je poviacero.

1. nebolo jasné, kam sa chce seriál uberať.
2. štýl výkladu sa príliš menil diel od dielu (to silne súvisí s prvým dôvodom).
3. pokúsim sa zužitkovať všetky rady v diskusii pod prvými dvoma zápiskami a k výkladu pristupovať rigorózne, ale zároveň ilustratívne. Žiadne extrémy v podobe prvých dvoch dielov (kde sa vyskytovala buď len prvá, resp. len druhá možnosť) by sa konať nemali.
4. nič moc sme zatiaľ neprebrali a aj to málo veľmi neporiadne, takže reštartom veľa nestratíme.

Preto som sa rozhodol na tvorbu seriálu vynaložiť viac námahy a zostrojil som si malú osnovu, ktorá mi pomáha ujasniť si, že o čom, chcem vlastne hovoriť. Musím povedať, že až napísanie osnovy mi ukázalo, aký obrovský záber symetrie majú a že by sa dalo vybrať minimálne desiatimi prakticky nezávislými smermi (dva z nich už som demonštroval v minulom, resp. predminulom diele).

Je to vskutku netriviálny problém, preto časť z neho prenesiem na Vaše plecia a nechám Vás vybrať si v ankete, že čo vlastne preberať.

2. Diskrétne, či spojito?

Zrejme najdôležitejšie rozdelenie je na diskrétnu a spojitú verziu symetrií. Sú to dva obrovské svety, ktoré nemajú v zaujímaveších aplikáciách veľa spoločného, preto by bolo vhodné zamerať sa len na jeden z nich, aby sme sa čo najrýchlejšie dostali k pokročilejším témam. Na druhej strane, stále sa v oboch prípadoch jedná o grupy, a preto sú základná teória a pojmy rovnaké. Čiže existuje ešte aj tretia možnosť a to najprv prebrať kus obecnej teórie a konkrétne sa zamerať až neskôr.

V ďalšom Vám ponúkam náčrt toho, čo by sa v jednotlivých prípadoch bralo. Nie je to zďaleka vyčerpávajúci zoznam, ale snáď Vám to dá jasnejšiu predstavu a uľahčí voľbu.

2.1 Obecný prístup

Sústredili by sme sa viac na abstraktnú teóriu a príklady by boli hlavne matematickej povahy. V tomto smere môžete čakať kopu abstraktných výsledkov o grupách a zobrazeniach medzi nimi. Toto je voľba vhodná pre tých, ktorí by chceli do symetrií preniknúť viac do hĺbky a/alebo ich láka samotná matematika, ktorá je za nymi ukrytá.

2.2 Diskrétna verzia

Jedná sa hlavne o konečné grupy. Sú to napr. symetrie rôznych známych geometrických útvarov typu štvorec, kocka, či štvorsten. Ďalej kryštalografické grupy materiálov s rôznymi mriežkami. Významnú úlohu hrá grupa permutácií a to má zasa súvislosti s kombinatorikou a teóriou grafov.

Určite by sme vyšetrovali tieto grupy aj samé o sebe, aby sme sa s nimi naučili trochu pracovať. Tu stojí za zmienku, že konečné grupy boli kompletne klasifikované, takže odborníka na diskrétne symetrie (ktorým budete po absolvovaní seriálu ) len tak niečo neprekvapí. Z teórie grúp by sa prebralo len to najnutnejšie, čo budeme potrebovať pre diskrétne grupy.

Z fyzikálnych aplikácií stojí za zmienku skúmanie vyžarovacieho spektra molekúl s nejakou symetriou. Pozreli by sme sa tiež na konečnú verziu Fourierovej transformácie.

Z menej zrejmých aplikácií by sme mohli ilustrovať riešenie Rubikovej kocky (vďaka JS za tip).

2.3 Spojitá verzia

Tieto grupy sú nekonečné. Čo v istom zmysle znamená, že sú oveľa zložitejšie. Konkrétne stoja na matematickom obore zvanom diferenciálna geometria, ktorý so sebou prináša zasa kopu iných závislostí. Pochopiteľne z nich nebudeme potrebovať všetko a obmedzíme sa len na to najnutnejšie, ale prázdnych miest a nezodpovedaných otázok bude určite plno. Tieto grupy sa opäť dajú vyšetrovať čisto z matematického hľadiska (do istej miery to budeme musieť urobiť tak či tak, aby sme sa dostali k zaujímavejším aplikáciám). A tiež sa môžeme pozrieť na ich klasifikáciu.

Ako sme naznačili minule, jedná sa napr. o grupy posunutí a otáčaní, a teda s veľkým významom pre fyziku. Ak boli symetrie dôležité pre klasickú fyziku, ešte oveľa významnejšie sú vo fyzike kvantovej a ich výhoda sa dá ilustrovať na riešení mnohých problémov (napr. spektrum a orbitaly atómu vodíku a harmonického oscilátoru). Ukázali by sme si tiež fundamentálnu súvislosť symetrií a elementárnych častíc. Tak isto by sme mohli spomenúť kalibračné teórie, ktoré popisujú najdôležitejšie interakcie medzi časticami (elektromagnetizmus, gravitácia, atď.).

Ďalšia zaujímavá aplikácia sú systémy invariantné voči škálovaniu, čo je vec, ktorá hrá dôležitú roľu napr. v teórii fázových prechodov.

Z ostatných príkladov stojí určite za zmienku spojitá Fourierova transformácia a jej zobecnenie na nekomutatívne grupy, harmonická analýza, ktoré majú mnohé aplikácie nielen vo fyzike a matematike, ale napr. aj v teórii spracovania signálu a ďalších.

3. Epilóg

Osobne by som doporučoval buď obecnú teóriu, alebo diskrétne grupy. Oboje je totiž pomerne nezávislé na ďalšej pokročilej matematike a zároveň sa v nich nájde viac zaujímavých nefyzikálnych aplikácií.

Takže pre dnešok toľko. Prosím, vyjadrite sa v ankete, kam ísť so seriálom ďalej. Ďakujem za pozornosť.

P.S.: abíčkovský systém vkladania príspevkov je pre tento typ seriálu (veľa matematických výrazov, obrázky) dosť nevhodný. Hoci existujú vcelku rozumné nástroje na export matematickej notácie do HTML, abíčko so svojou politikou zakazovania niektorých HTML značiek a parametrov a nemožnosťou rozumne importovať obrázky tieto nástroje efektívne zabíja. Je niekoľko možností, čo s tým, tak sa prosím vyjadrite aj v druhej ankete, čo by Vám vyhovovalo najviac.

       

Anketa

Anketa

Komentáře

[victor8]

ups, az teraz som si vsimol, ze si stihol napisat novy zapisok. takze uz len linkujem: klik

[victor8]

vyzera to asi takto:

mame kod, ktory chceme vysadzat: \displaystyle { a^2 + b^2 = c^2 }

spravime urlencode (napr. tato online service): %5cdisplaystyle+%7b+a%5e2+%2b+b%5e2+%3d+c%5e2+%7d

zlepime dokopy s url skriptu, ktora je: http://www.mathtran.org/cgi-bin/mathtran?tex=

vysledok: http://www.mathtran.org/cgi-bin/mathtran?tex=%5cdisplaystyle+%7b+a%5e2+%2b+b%5e2+%3d+c%5e2+%7d

a vyzera to takto:

[Marek Bernát]

Dík za tip. Skúsim sa s tým pohrať a ak to bude rozumne fungovať a bude sa to dať zautomatizovať, tak to bude fajn.

[victor8]

co sa automatizacie tyka, pokial by sa ti podarilo zriesit embeddnutie jedneho skriptu (tuto aj s prikladom), tak by si bol za vodou...

[Marek Bernát]

To je síce fajn, ale má to tú nevýhodu, že treba presviedčať redakciu o začlenení. Podobný skriptík si napíšem sám a kompletné HTML (s linkami na mathtrans) si vygenerujem dopredu.

[Václav HFechs Švirga]

Určitě by to ale zároveň chtělo pdf verzi, mathtran přestane mít finance na provoz, autor se o něj přestane starat, koupí ho google, whateever a jsme bez vzorečků (mluvím o studování symetrií třeba za rok). Ano považuju abíčko momentálně za věčné ;).

[Marek Bernát]

To je dobrá pripomienka. Tak čo s tým? Písať primárne v TeXu a napísať skript na konverziu do HTML + mathtrans? V princípe pri používaní len základných vlastností TeXu a teda hlavne matematiky by sa jednalo len o nahradenie $...$ a $$...$$ za odkazy na mathtrans a uzavretia paragrafov do <P>, zoznamov do <UL>/<OL> a názvy kapitol do <H3>/<H4>. Taký skriptík by som ešte zvládol napísať snáď aj ja

[victor8]

+1, je to zrejme najmenej narocna cesta...

btw konverzia na mathtran... zrejme by bolo urlencodnut tu matiku predtym, ako sa zabali do <img>...

[victor8]

co sa mathtranu tyka, je plne opensourcovy, takze rozbehnutie ineho serveru by nemal byt problem. ale chapem, je to robota navyse, pri pripadnom pade tejto sluzby prepisovat vo vsetkych zapiskoch www.mathtran.org za www.mojvlastnymathtran.org...

[zimous]

Měl bych pro Vás drobný tip ohledně dělení na diskrétní (resp. přímo konečné) a spojité grupy. Kompaktní (byť nekonečné) grupy (jako např. SO(n)) se v mnohém velice podobají konečným a je možné tyto případy probírat společně. Díky existenci Haarovy míry totiž můžete v hromadě vzorců pro konečné grupy jednoduše nahradit sumu integrálem a dostat tak výsledek pro kompaktní Lieovy grupy, aniž byste probíral Lieovy algebry apod. Naopak nekonečné diskrétní grupy se mohou od konečných dost lišit.
Samozřejmě v mnoha jiných aspektech výše uvedené neplatí. Záleží na tom, jaká témata chcete probírat.

[Marek Bernát]

Problém je, že to vyžaduje znalosť teórie miery a topológie (aspoň okrajovo). Ďalší problém je, že to automaticky vylučuje štúdium dôležitých nekompaktných grúp. Tretí dôvod je, že nespomenúť pojem Lieovej algebry pri Lieových grupách, by bol vyslovene zločin. No a napokon, v diskrétnom prípade existuje kopa metód, ktoré, v spojitom nefungujú. A sústredili by sme sa hlavne na konečné grupy (aspoň zo začiatku), kde je tých metód oproti spojitému prípadu ešte viac (permutácie napr.).

Ale inak samozrejme nepopieram, že súvislosti tam sú. Žiadny kus matematiky neexistuje oddelene sám o sebe.

[bazyx]

Co takhle pouzit ASCIIMathML? Myslim, ze embednout jeden script by bylo nejjednodussi; pokud by neslo povolit ani to, tak by se to dalo resit individualne pres userscript.

[Marek Bernát]

No, toto nevyzerá zle. Problém je, že momentálne mi tá stránka nefunguje v ničom inom ako Firefoxe (skúšal som Operu a veci založené na webkite -- chromium, midori, arora). Myslel som, že podpora MathML je už trocha väčšia

[Václav HFechs Švirga]

Podle wikiny opera od verze 9.5 a firefox nativně, IE s pluginem, webkit nic.

Více tady

[Marek Bernát]

To som si našiel tiež. Opera vie zobrazovať len nejakú podmnožinu MathML pomocou CSS. Zopár vecí funguje, pokročilejšie veci nie (aspoň čo som tak skúšal rôzne MathML testy). A konkrétne ASCIIMathML nefunguje v Opere vôbec.

Ad webkit: práveže už aspoň pol roka počúvam z rôznych zdrojov reči, že sa na tom pracuje, robia sa veľké pokroky a MathML je hneď za dverami. A ono nič. Ale aby som im nekrivdil, možno je to už v trunku a experimental buildy midori a spol. ho podporujú. Neskúšal som.

[Dadam]

Ten seriál po očku sleduju, a chtěl bych se optat na jednu věc: Jsem programátor, bude mi to k něčemu dobrý?

[Marek Bernát]

Môže a nemusí; záleží od toho, v akom obore sa presne pohybuješ. Istý súvis s informatikou, ako som už spomínal, tam je -- permutácie, teória grafov; prípadne aplikácie v diskrétnej fourierovej transformácii. JS minule spomínal systém GAP, čo je nástroj na riešenie rôznych úloh zo symetrie. A tých aplikácií je určite omnoho viac (napr. Radek Míček odkazoval na informatický blog, kde sa podobnými vecami zaoberajú). Ak bude záujem o nejakú konkrétnu aplikáciu v informatike, určite sa na to môžeme pozrieť. Ale pre začiatok to má byť skôr všeobecný pohľad na symetrie, s ilustráciami asi hlavne v matematike a geometrii.

Druhá vec je, že ti to môže pomôcť rozvinúť abstraktné uvažovanie a matematické schopnosti. Čo sa asi hodí vždy, bez ohľadu na priame aplikácie.

[hajoucha]

Ahojda, mohlo by to být dobré, jestliže se zabýváš tzv. kódováním. Hledej výrazy jako "Leech lattice", "Binary Golay code" či "Error correcting code". Podle wikipedie byly tyhle matematické objevy využity např. při komunikaci s družicemi Voyager. Do jaké míry považuješ tuhle větev za "informatickou"...to je na Tobě.