Ľahký úvod do symetrií

14.6.2010 13:08 | Přečteno: 2101× | symmetry | poslední úprava: 14.6.2010 16:30

Malé upozornenie hneď vopred: tento zápisok bude obsahovať nenulové množstvo matematiky a fyziky. Preto máte jedinečnú možnosť prestať čítať a znechutene odísť práve teraz a ušetriť si nervy a čas!

Fajn, takže to máme z krku a môžem sa venovať zostávajúcemu dvojčlennému obecenstvu, ktoré by o tento zápisok mohlo mať záujem. Pohodlne sa usaďte, pustíme sa do toho.

Už dlhšiu dobu uvažujem o tom, že niečo napíšem o symetriách v prírode a všelikde inde. Symetrie nie sú len užitočným nástrojom na poriadnejšie uchopenie vedeckých disciplín, ale je v nich aj niečo prirodzene lákajúce človeka s matematickým cítením. Pusťme sa teda do malého úvodu o tom, čo to tá symetria vlastne je a načo je dobrá.

Základným stavebným kameňom bude pojem transformácia. Transformácia systému môže byť napríklad jeho posunutie, alebo otočenie, ale môže sa jednať aj o oveľa komplikovanejšie modifikovanie systému. Niektoré takéto transformácie sú užitočnejšie ako iné (v závislosti na konkrétnom systéme). Význačné sú tie, ktoré systém zachovávajú -- napr. otočením štvorca o 90 stupňov dostaneme štvorec na nerozoznanie od toho pôvodného.

Takže máme nejakú množinu transformácií. Zaujímavé na nej je to, že z matematického pohľadu to nie je len množina, ale má podstatne viac štruktúry. Jedná sa totiž o grupu -- základný matematický objekt na popis symetrií. Nie je v žiadnom prípade možné v tomto článku podať o grupách dostatok informácií, ale pokúsim sa aspoň naznačiť, čo je na nich zaujímavé. Najprv si však musíme povedať, čo to vlastne je. Na tomto mieste si neodpustím formálnu definíciu, hoci riskujem ďalšiu redukciu svojho obecenstva.

Def Grupa (G, ∘) je množina G, spolu s binárnou operáciou ∘:GxG → G, ktorá má nasledujúce vlastnosti

1. ∀a,b ∈ G (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) (asociativita)
2. ∃e ∈ G ∀a ∈ G a ∘ e = e ∘ a = a (jednotkový prvok)
3. ∀a ∈ G ∃ a^-1 ∈ G a ∘ a^-1 = a^-1 ∘ a = e (inverzný prvok)

Formálna definícia môže pôsobiť odstrašujúco, ale v skutočnosti je to všetko jednoduché, keď si zoberieme horeuvedený príklad transformácií zachovávajúcich nejaký systém. Grupová operácia ∘ je v tomto prípade skladanie transformácií -- najprv otočím systém o 90 stupňov, potom ho posuniem, atď. Skladanie transformácií je prirodzene asociatívne (nezáleží na uzátvorkovaní). Rovnako jednoducho máme splnený bod 2. -- má existovať transformácia, ktorá po zložení s hocijakou inou znova dá tú istú transformáciu. Pochopiteľne sa jedná o transformáciu, pri ktorej sa systému ani nedotkneme. Takáto transformácia sa zvykne volať identita. Napokon podľa bodu 3. má pre každú transformáciu existovať iná, po ktorých zložení dostaneme identitu. Ak si transformáciu predstavíme ako proces v čase, tak inverznú transformáciu dostaneme prostým otočením toku času. Takže inverzná transformácia k otočeniu o 90 stupňov je otočenie o -90 stupňov a pod.

Poznámka na okraj: ako uvidíme, grupová operácia, jednotkový prvok a inverzia sa značí rôzne (čo je dané hlavne historickými dôvodmi). Ak nás konkrétny znak pre operáciu nebude zaujímať, tak budeme namiesto a ∘ b písať proste a b (úplne rovnako ako pri násobení čísel).

Takže máme formálne zadefinovaný pojem grupa. Ešte pred tým, než sa pustíme do analýzy jej štruktúry a aplikácií, si uveďme zopár ďalších príkladov grúp, aby sa pojem lepšie vsiakol. Grupové axiómy v jednotlivých prípadoch si láskavý čitateľ overí sám.

• Celé čísla (Z, +) s operáciou sčítania. Jednotkový prvok 0, inverzný prvok -a.
• Reálne čísla (R, +) s operáciou sčítania. Jednotkový prvok 0, inverzný prvok -a.
• Reálne čísla bez nuly (R\{0}, x) s operáciou násobenia. Jednotkový prvok 1, inverzný prvok 1/a
• Množina otočení okolo danej osy SO(2) s operáciou skladania zobrazení
• Transformácie euklidovskej roviny (otočenia a posunutia) ISO(2) s operáciou skladania zobrazení

 

Neprehliadnite, že vo všetkých prípadoch sa jedná buď o transformácie zachovájúce nejaký systém, alebo o fundamentálne matematické štruktúry. V skutočnosti však nejde o dve rôzne triedy, lebo každá grupa sa dá interpretovať ako množina zachovávajúcich transformácií. Tak napr. grupa (Z, +) zachováva jednorozmernú kryštalickú mriežku, ak prvok n chápeme ako posunutie o n buniek v mriežke. Toto interpretovanie grupy ako niekoľko rôznych objektov môže byť spočiatku mätúce, ale práve v ňom je ich najväčšia užitočnosť.

Sme teda vyzbrojený pojmom grupa. Na analýzu symetrií v prírode nám však stále chýba kľúčový pojem homomorfizmu grúp. Jedná sa o zobrazenie medzi grupami, ktoré zachováva ich štruktúru. Formálne

Def Nech G, H sú grupy. Zobrazenie f: G → H sa nazýva homomorfizmus, ak ∀g,h ∈ G f(gh) = f(g)f(h).

Táto definícia chce povedať toľko, že homomorfizmus musí zachovávať grupovú operáciu (je to na grupe to najdôležitejšie). Dá sa dokázať, že homomorfizmus už musí nutne zobrazovať jednotkový prvok v G na jednotkový prvok v H a inverzné prvky v G na inverzné prvky v H. Nič však neilustruje pojem lepšie ako zopár príkladov, takže tu sú

• Násobenie dvomi d : (Z, +) → (Z, +); d (n) := 2 n
• Exponenciála exp : (R, +) → (R\{0}, x); exp (a) := e^a

Existujú oveľa užitočnejšie homomorfizmy, ktorým sa budeme venovať neskôr, ale na pochopenie ich dôležitosti ešte budeme potrebovať trochu času.

Dnešný diel bol preplnený matematikou, takže nabudúce trochu zmiernime tempo a pozrieme sa na nejaké aplikácie. Samozrejme, len ilustratívne, lebo nemáme ešte vybudovaný potrebný aparát teórie grúp. Ale aspoň už poznáme základné pojmy.

       

Anketa

Komentáře

[Václav HFechs Švirga]

Uf, zajímavé, ale třeba nerozumím tomuto

Násobenie dvomi d : (Z, +) → (Z, +); d (n) := 2 n

bohužel matematický zápis jsem nikdy nepoužíval. Navíc netuším, co je to 'd' ;).

Hádám jenom, že je to něco ve smyslu, že se grupa Z zobrazí tak, že se každé n vynásobí dvěma...

Jinak mi trošku pomohlo přečíst si článek o grupách na české wikipedii.

[Tomáš]

Zrovna tady je 'd' obyčejné jméno pro tu funkci (pro programátory: název proměnné); d(n) je funkce z celých čísel do celých čísel definovaná tak, že prvku n přiřadí jeho dvojnásobek.

[krab1k]

Jo, zrovna tohle jsem využil minulý týden u zkoušky, kdy se ptali, zdali existuje injektivní homomorfismus (Z,+) -> (Z,+), který není surjektivní .

Škoda jen, že ostatní příklady už tak jednoduché nebyly.

[Marek Bernát]

Hehe, pekné.

Tak sa pochváľ aj ostatnými. Príklady tohoto typu už som dávno nevidel a diskrétnymi grupami sa veľmi nezaoberám, tak som zvedavý, či tomu ešte budem rozumieť

[Marek Bernát]

Hádaš správne. 'd' znamená double. Nevedel som ako to označiť inak. Nehľadaj v tom nič viac, než názov funkcie. Inak f: A -> B znamená, že funkcia f zobrazuje z množiny A do množiny B. Tu som chcel okrem množín naznačiť aj grupovú štruktúru.

Inak dobrá poznámka, nevedel som, či vysvetľovať matematickú notáciu. Nakoniec som sa rozhodol, že nie, lebo by som s tým zabil polovicu článku. Radšej to povysvetľujem takto v diskusii.

Určite pomáha čítať aj iné zdroje. Linkovať na wiki ale asi nebudem, lebo tie zápisky som nečítal a nepoznám ich kvalitu (čím nechcem povedať, že bude zlá, ale často to tak býva). Mohol by som dať odkazy na odbornú literatúru, ale pochybujem, že by to niekto čítal

[Fëannatar]

nevedel som, či vysvetľovať matematickú notáciu

No, původně jsem chtěl založit samostatnej thread, ale tahle část věty mi jde celkem po ruce. Není to špatně napsané (docela jsi mě pozitivně překvapil), matematiku kontrolovat nebudu, v podstatě to vypadá (aspoň co se mých znalostí týče) poměrně správně (možná u tý isometrický grupy bych zdůraznil, že se jedná o transformace eukleidovksý roviny sama na sebe a u asociativity jsi zapomněl přidat c ∈ G ), ale vybral sis asi to nejhorší medium, co pro sazbu matematiky existuje, proto ti lecos promíjím, ale pár poznámek bych přece jen měl. Udělej si jasno v tom, kde děláš mezery a kde ne, jsi trochu nekonsistetní. Není zlé používat pro definice, tvrzení a věty kurzivní font, matematickou kurzívu pro matematiku jako takovou asi z html nevyždímeš . Čárky a dvojtečky a pod. ve vlastnostech binární grupové operace by se taky občas hodily, takhle je to silně nepřehledné.

A ještě pár rad, místo TeXovského -- můžeš v html/xml používat "& ndash ;" (bez mezer a uvozovek), spojovník (-) není totéž co mínus (−), to můžeš psát "& minus ;" (…) no a 'x' není totéž, co '×', kteréžto lze psát "& times ;". Množinové odčítání už by asi bylo dost nitpicking, unicode ale rozdíl mezi '\' a '∖' zná (a můj font zjevně taky), ale netuším, jestli to lze nějak rozumně napsat, xml kód je "& #8726 ;".

[Grunt]

Pěkné, ale hned pro začátek první chyba:

0 obrázků, 0 ilustrací, 0 přirovnání, 0 příkladů, 0 ukázek z praxe,…

[deda.jabko]

souhlas. je to fakt hodne suche. chybi motivace, co a proc se resi a k cemu to je dobre. obzvlast pokud je to clanek pro ,,obycejne lidi'', tak to spis ctenare odradi.

[tester]

chybi motivace, co a proc se resi a k cemu to je dobre.

Ano, přesně ve stylu našeho školství

[Marek Bernát]

Vďaka za pripomienky! Rád by som ten článok spravil čo najprístupnejší, ale matematika by tam asi nejaká mala byť. Na začiatok som chcel vybudovať pojmový aparát, preto je to trochu ťažšie stráviteľné.

Podľa mňa tam príklady aj ilustrácie sú (0 viet, 0 dôkazov, 2 definície. Zbytok textu sú teda len ilustrácie, komentáre a príklady) Čo iné by si tam chcel mať?

Obrázky sú jednoznačne plus, pokúsim sa nabudúce niečo vyrobiť. Ale vopred upozorňujem, že nie som na grafiku žiadny expert, takže uvidíme, jak to dopadne. Cudzie obrázky každopádne používať nechcem.

Prax by mala byť nejaká nabudúce. Každopádne, nečakaj hneď nekomutatívnu harmonickú analýzu. Je potrebné najprv mať na čom stavať.

[deda.jabko]

doporucoval bych mrknout se na prezentaci. neodpovida to primo formatu tveho clanku, ale jsou tam zajimave postrehy... treba nejdriv se pokusit problem popsat slovy, jak kdybys byl u tabule a az pak dany problem popsat presne.

[Marek Bernát]

Vďaka, vyzerá to moc dobre. Síce to asi bude skôr aplikovateľné na vedecký článok (čo sa mi tiež hodí) než na blog, ale niektoré podnety skúsim nabudúce využiť.

[pht]

Na začiatok som chcel vybudovať pojmový aparát, preto je to trochu ťažšie stráviteľné.

To je špatně. Zbytečně se zanořujete do nepodstatných detailů a odvádíte pozornost od toho, co chcete říct. Poukazuje to na nedostatečnou schopnost abstrakce z Vaší strany (nic ve zlém).

Začněte raději pojmem z praxe, něco jednoduchého co všichni znají, a to zobecněte a ukažte k čemu je to dobré.

Možná se Vám tenhle postup bude zdát málo vědecký ale opak je pravdou. Podívejte se, jak vysvětluje Feynman fyziku ve své knize (nebo Knuth programování, atd.).

Chtěl jste vysvětlit symetrie. Skončil jste u toho, co je to homomorfizmus, a dodal jste, že z toho, co jste napsal, to stejně nepochopíme.

Pokud si dobře pamatuju, tak symetrii jsem viděl vysvětlenou asi takto (nevím, jestli to bylo v tom Feynmanovi, nebo jinde, ale je to trefné):

Když je něco symetrické tak nepoznám odkud se na to koukám. Jestli zleva nebo zprava, protože z obou stran se mi to jeví stejné.

Když se nad tím zamyslíte, tak tyto dvě věty vystihují symetrii v celé její záři a jako bonus je v nich obsažena i vědecká definice tohoto jevu. Můžete to pak rozvinout do dalších dimenzí (např. symetrické v čase - nevíme jestli je film puštěn popředu nebo pozpátku), a dále, ale zkuste se od toho odpíchout.

[Marek Bernát]

Máte samozrejme pravdu. Je vidieť, že pri písaní tohoto článku som málo rozmýšľal a len písal, čo ma napadlo. Feynmanov prístup vyžaduje veľa premýšľania, aby sa ťažké veci vysvetlili tak jednoducho, že to pochopí aj idiot. Ale Feynman bol za prvé génius, za druhé vynikajúci pedagóg, takže ťažko sa mu môžem rovnať.

Ale vidím, že sa jedná o konštruktívnu kritiku, takže si to beriem k srdcu a nabudúce na tom skúsim zapracovať.

[Michal Kubeček]

Feynmanov prístup vyžaduje veľa premýšľania, aby sa ťažké veci vysvetlili tak jednoducho, že to pochopí aj idiot.

Ale rozhodně se to vyplatí. Ze zkušenosti můžu říct, že spoustu věcí jsem opravdu pořádně pochopil ne při čtení knihy, na přednášce nebo při učení na zkoušku, ale až ve chvíli, kdy jsem se je snažil někomu vysvětlit. A čím méně znalý problematiky je ten, komu to vysvětlujete, tím hlubší to pochopení musí být.

[Marek Bernát]

To je pravda. Niekde som počul, že prednášky nie sú určené na vychovávanie študentov, ale na vychovávanie profesorov

[pht]

Feynmanov prístup vyžaduje veľa premýšľania, aby sa ťažké veci vysvetlili tak jednoducho, že to pochopí aj idiot. Ale Feynman bol za prvé génius, za druhé vynikajúci pedagóg, takže ťažko sa mu môžem rovnať.

Není to zas tak zlé jak to líčíte. Je důležitější ta pedagogická stránka, nežli býti génius. A ta se dá vypilovat poměrně jednoduše mechanickým aplikováním pár jednoduchých pravidel.

[Marek Bernát]

Vyzeráte, že sa vyznáte, takže Vám budem veriť. Ostatne, sám by som bol rád, keby to bolo tak jednoduché

[Grunt]

Rád by som ten článok spravil čo najprístupnejší, ale matematika by tam asi nejaká mala byť.

Nikdo netvrdí, že ne. Tři axiomy ještě nikdy nikoho nezabily (snad).

Na začiatok som chcel vybudovať pojmový aparát, preto je to trochu ťažšie stráviteľné.

No a v tom bude asi ten problém. Nikdo neříká, že je to chyba. Jenže v minulosti jsem zažil ohledně jednoho tématu (už ani nevím co to bylo…snad něco kolem integrálů) tři typy literatury:

• Definice, věta, důkaz, definice, věta, důkaz,… &ndash celé ještě poprokládáné nějakými znaky a symboly co neměly daleko od klínového písma. I když se to člověk snažil pochopit sebevíc, tak to bylo opravdu jako číst klínové písmo bez slovníku nebo snažit se dekódovat obecná data bez codebooků.
• Skripta, kde daná věc byla vysvětlena normálně. Dokonce i ilustracemi. Je pravda, že pro celou kategorii bylo těch skript potřeba víc ve srovnání s předešlým případem (to bylo snad jen nějaké PDFko), ale abych pravdu řekl, tak vůbec mi nevadilo přečíst si toho X-krát víc a porozumět tomu než hodiny čumět na nějaké symboly a přemýšlet nad tím co by to asi tak mohlo znamenat. Když už jsem to všechno přečetl, nebyl problém do toho PDFka mrknout, ale už to stejně bylo zbytečné.
• U předmětů krom povinné literatury bývá napsaná i vedlejší doporučená literatura (, ale tomu stejně většinou nikdo nevěnuje pozornost). Jednou jsem měl tu čest a do ruk se mi tato vedlejší doporučená literatura dostala (ale bylo to kvůli něčemu jinému). Bylo to jen pár stran, pár vybledlých papírů z doby snad ještě někdy za totáče nebo tak. Hned na prvním místě motivace, tedy proč se danou látku učit, nákres mostové konstrukce (jako příklad z fyziky, stavby nebo čeho) a do toho promítnutý graf. A výklad se nesl ve stejném duchu. Jen jsem litoval toho, že se mi těchto pár stran nedostalo do ruky jako první.

Prvnímu druhu výkladu/výuky/druhu literatury říkám Hození do vody a plav!. Ne jakože by to snad nešlo a také bude existovat asi pár jedinců co okamžitě nezajede pod vodní hladinu (a přitom je to tak jednoduché, protože člověk se ani nemusí snažit plavat a má jistotu že ke dnu neklesne), ale IMHO je lepší začínat pěkně od břehu a budovat na něčem co už malé dítě umí (třeba chodit – tak má každé malé dítě jistotu, že když nepůjde moc daleko od břehu, tak bude kdykoliv schopné se postavit a nebude se muset utopit a přitom bude mít motivaci se dostat dál od břehu). A ze všeho nejradši mám plácnutí o vodní hladinu s konstatováním No vidiš jak ti to jde, tak hurá na závody.

Obrázky sú jednoznačne plus, pokúsim sa nabudúce niečo vyrobiť. Ale vopred upozorňujem, že nie som na grafiku žiadny expert, takže uvidíme, jak to dopadne. Cudzie obrázky každopádne používať nechcem.

Když už se ti žádné grafy nebo ilustrace nechtějí kreslit/generovat tak je třeba můžeš poctivě ukradnout. Třeba co jsem tak pochopil, tak se dá symetrie krásně demonstrovat na grafu výsledku Fourierovy transformace:  

Mám poct, že si mluvil něco o částicové fyzice nebo kvantové teorii. Předpokládám, že ti jde o pravděpodobnostní hustotu (Probability densities) atomu vodíku při různých kvantových úrovních. Proč to neokořenit animačkou kde je ještě ta osa (nebo plocha) symetrie zvýrazněná? I když by to mělo fungovat čistě jen jako ilustrační rušítko. A nebo co jsem pochopil, tak symetrie je jedním ze základních stavebních kamenů fraktálů. Proč tam neplácnout nějaký se zvýrazněnými osami symetrie? A nebo co třeba spektrogram amplitudové modulace reálných dat?:

príklady

Jo, sorry. Jsem to nějak přehlédl a nebo mi to musel prohlížeč nějak zamaskovat.

Prax

Nemyslel jsem přímo praxy. Tu až na závěr jako třešničku na dortu, ale jak jsem výše uvedl, tak třeba připodobnit s nějakou věcí z praxe (kde praxí myslím třeba fyziku).

Každopádne, nečakaj hneď nekomutatívnu harmonickú analýzu.

Jasně, to ani nečekám. Jsem jenom rád, že jsem se do toho nepustil sám, protože to bych si z ostudy kabát ušil.

Je potrebné najprv mať na čom stavať.

Jasně, to plně beru. Sám jsem chtěl začít nějaké povídání o audio a video formátech a kodecích a sám bych nezačal jinak než základy vlnění (nebo jak říkával náš fyzikář kyvadlem). Ale když už, tak si mohl vyhodit to upozornění na začátku (dost pochybuju, že se na tomto portále zdržuje moc lidí co by se bály matematiky) a mohl si ho nahradit jiným. Třeba něco ve smyslu:Tímto zápiskem bych rád započal vysvětlování čehosi většího a tak v případě, že nebudete úplně rozumět, nedělejte si vrásky. Existuje malá šance, že tyto věci budete potřebovat jako závislosti a tak se k nim můžete časem vrátit. (a nebo aspoň něco v tom smyslu)

[Marek Bernát]

Uf, tak to je komentár s toľkými nápadmi a komentármi, že neviem, kde začať. Radšej si to mohol hodiť do blogu. Každopádne, obrovské dík

Ak tomu dobre rozumiem, chceš viac príkladov a ilustrácií. V tomto duchu som začal písať druhý diel. Nie je tam dokopy žiadna teória, len aplikácie v mechanike. Možno je to opačný extrém a tiež to nebude moc dobré. Časom sa to pokúsim vyvážiť, tak aby to bolo pol na pol. Hovorím, nie je to jednoduché, nemám s prednášaním žiadne skúsenosti. A je príliš ľahké nechať sa niečim uniesť a začať dopodrobna vysvetľovať niečo, čo vlastne ani nie je treba. Ideálne by som si mal spraviť nejaký hrubý obsah viacerých dielov, aby som videl, kam sa chcem dostať a ako potrebujem diely logicky viazať. Spraviť skutočne kvalitný seriál bude nesmierne náročné, ale s komentármi ako je ten tvoj, by sa kvalita mohla časom zlepšovať.

Obrázky som sa nakoniec rozhodol ukradnúť, presne ako hovoríš . Výroba by mi trvala strašne dlho a aj tak by kvalita nestála za nič. Takže to nemá zmysel.

Nom, v tej kvantovke hrajú grupy veľa úloh. Hladiny vodíku sú len jedna z nich (hoci pomerne dôležitá a určite ju spomeniem). Ďalej sa dajú riešiť vyžarovacie spektrá molekúl s nejakou symetriou (napr. molekula metánu má tvar tetrahedru, ktorý má pomerne veľa symetrií). V kvantovej teórii poľa hrajú grupy ešte väčšiu úlohu, ale nebudem dopredu prezrádzať akú, lebo by to mal byť jeden z vrcholov seriálu No a pochopiteľne tiež v kvantovke hrá obrovskú rolu Fourierova analýza. Určite je o čom písať.

O fraktáloch a spektrálnej modulácii moc neviem (teda skôr nič), takže prípadne by som si z toho časom niečo doštudoval a konzultoval s tebou, ak budeš mať o niečo konkrétne záujem.

S tým posledným odstavcom sa nedá než súhlasiť, ale bohužiaľ už sa na tom nedá nič zmeniť. Ak som stratil nejakých záujemcov, tak je to určite škoda, ale možno si ešte pozrú druhý diel a vrátia sa

[Grunt]

Ak tomu dobre rozumiem, chceš viac príkladov a ilustrácií.

Tak, tak. I když si to asi neuvědomuješ, tak při výkladu ti v hlavě probíhá doslova tyjátr a každou větu, kterou popisuješ se ti v hlavě odehrává jako animace (na něčem). A musíš si uvědomit, že do hlavy ti opravdu nikdo nevidí. Př.:

Grupová operácia ∘ je v tomto prípade skladanie transformácií -- najprv otočím systém o 90 stupňov, potom ho posuniem, atď.,

To je parádní námět na nějakou animaci. Např graf reálných dat (ale klidně to může být i nějaká funkce) jak se zduplikuje, zvedne, otočí posune, teď přiletí nějaké pěkné šipky s vysvětlivkama,… Bohužel mě nenapadá v čem to dělat. Blender by byl asi pořádný overkill a Macromedia Flash MX a podobní by tady zase nemuselo být až tak košer.

Hovorím, nie je to jednoduché, nemám s prednášaním žiadne skúsenosti

Vždyť ani nikdo netvrdí, že to jednoduché je. Já bych to spíš připodobnil k umění. A umění rozhodně není udělat výklad tak aby obsahoval co nejvíc divných symbolů a aby vypadal co nejprofesionálněji, ale aby to pochopil i Amigapower, když přijde večer z hospody domů ožralý. To už umění je.

A je príliš ľahké nechať sa niečim uniesť a začať dopodrobna vysvetľovať niečo, čo vlastne ani nie je treba

Myslím si, že zde to nevadí. Přecijen nepíšeš žádnou odbornou literaturu a IMHO na takové testování jsou blogy na ABCLinuxu výborná testovací platforma.

Ideálne by som si mal spraviť nejaký hrubý obsah viacerých dielov, aby som videl, kam sa chcem dostať a ako potrebujem diely logicky viazať.

Sakra, jak se ten slohový prvek jen jmenuje? Stať?

O fraktáloch a spektrálnej modulácii moc neviem

No tak to jsme dva. Myslel jsem to čistě jako ilustraci.

[Marek Bernát]

Tá animácia by bola fajn, ale za prvé netuším, komu by sa do toho chcelo a či by to skutočne malo nejaký význam. Zreťazenie posunutia a otočenia si snáď vie predstaviť každý (očividne aj ty, takže netuším, prečo si vybral zrovna tento príklad), aj keď mi do hlavy nevidí.

To je pravda. Teš sa na ďalší diel. Už som ho išiel publikovať, ale uvedomil som si, že jednej časti, čo som napísal, sám vôbec nerozumiem. Takže ešte to bude musieť počkať, kým si to trochu premyslím

Stať? To slovo som už počul, ale v úplne inom význame. Čo to má byť?

Aha. Ako ilustrácia je to fajn a určite existuje milión iných aplikácií. Nie je problém dať neskôr ľuďom otázku, že kde by chcelo vidieť aplikované grupy a najkvalitnejší návrh si naštudujem

[Ladicek]

Stať? To slovo som už počul, ale v úplne inom význame. Čo to má byť?

Myslel osnovu

Jinak já bych si s tím nedělal takovou hlavu. Dovednost vysvětlování je potřeba trénovat, nikdo snad neočekává, že to bude od začátku perfektní jako třeba ten Feynman. Bez obrázků (natožpak animací) se dá docela dobře obejít a příklady nemusí jít hned do kvantové fyziky

[Grunt]

Myslel osnovu

Kristepane osnova! Je to vůbec možné? Já to dokonce Googlil a hledal po starých sešitech jak se ten slohový útvar jmenuje.

[Marek Bernát]

Tak to je iné. Aj keď ja to volám radšej po našom TOC

Asi máš pravdu. Ale aj tak sa budem snažiť, aby to bolo, čo najlepšie (či úspešne, to nám povedia až generácie, ktoré prídu po nás ).

[Ladicek]

Není možný, že už máš zkouškový za sebou, tomu prostě nevěřím

Ne, díky, tohle je moc pěkný téma a sem tam nějaký formální zápis ničemu neškodí. Takže se těším na pokračování!

[Marek Bernát]

Hehe, skúškové je čas neučenia sa na skúšky

Vďaka! Ale ako hovoria kolegovia vyššie, je to asi moc suché a formálne. Takže sa pokúsim trochu zmeniť štýl a pridať viac motivácie a praxe.

[Fëannatar]

No… já bych naopak řekl, že je tam až moc "brblání" okolo Ale já pravděpodobně nejsem cílová skupina tohohle článku… I když možná, nacpat hned do první "kapitoly" homomorfismus…

Ale abych se vyjádřil k něčemu hloubž z threadu – problém českého školství je spíš tom, že jde na všechno moc zeširoka. My se třeba sice na fyzice v bakalářském studiu učíme matiku, ale na takové úrovni, že pro studium teoretické fyziky je nedostatečná a pro studenty některých více praktičtěji založených magisterských oborů je jí naopak příliš. Osobně mám u matematiky rád postup typu, krátká motivace, a pak hlavně definice, věty a lemata. A pěkně rigorózně a s důkazy, u podstatných pojmů pak není od věci pár konkrétních příkladů na snazší pochopení, konstrukce protipříkladů je pak taky obyčejně zajímavá a student si snáze uvědomí, že ty předpoklady tam nejsou pro srandu králíkům. A není nad to, když po celosemestrálním snažení (případně 300 stranách odborné literatury) se najednou všechno poskládá dohromady, dává smysl a říká něco konkrétního a řekněme i praktického.

[Josef Kufner]

Teda ještě jsem to nečetl celé, ale chybí mi tam obrázky a nějaká aspoň trošku praktická pointa/cíl v úvodu – obvyklá otázka „A k čemu to bude dobré?“.

[Marek Bernát]

Asi máš pravdu. Momentálne je to tak, že sám neviem, preto som to tam ani nerozvádzal; len som chcel napísať pre začiatok niečo o symetriách. S tým, že sa časom uvidí, čo ďalej.

Ale aby som to napravil: bude sa jednať hlavne o aplikácie v mechanike (riešenie pohybu častice v poli s nejakou symetriou), roľa symetrií v časticovej fyzike. Možno aplikácie v kvantovej mechanike. Tiež som chcel ukázať súvis s fourierovskou a harmonickou analýzou. Možno tiež niečo z klasifikácie grúp (čo je čisto matematická téma bez nejakých hlbších aplikácií). Uvidíme. Ale nabudúce rozhodne bude praktický diel, takže dovtedy si to rozmyslím a prípadne dám anketu, že kam pokračovať.

[dementni.lojzik]

sam uvadis nekolik aplikaci. IMHO by to stacilo zminit v uvodu - vyjmenovani par temat, kde grupy a symetrie hraji klicovou roli (aneb, kde vsude se s grupami potkate a proc je dobre vedet, co to je) nebo zminit pro mnohe asi prekvapive veci jako "vite, co jak spolu souvisi symetie v prirode a zakony zachovani? Ne? Na konci tohoto serialu to budete vedet a budete rozumet teoremu Noetherove" (OK, mozna to neni nejlepsip priklad, ale nechce se mi ted nic extra vymyslet)

[Marek Bernát]

Máš pravdu. Ale moje pedagogické schopnosti sú zatiaľ veľmi slabé. Tento seriál by mi okrem iného mohol pomôcť ich trochu zlepšiť

[Josef Kufner]

A ještě ty obrázky

[dementni.lojzik]

moje pedagogické schopnosti sú zatiaľ veľmi slabé.

ja myslim, ze to neni tak hrozne, kazdopadne jsem videl mnohem horsi pripady

Tento seriál by mi okrem iného mohol pomôcť ich trochu zlepšiť

jj... to urcite pomuze. Jinak je to celkove dobry napad, procvicit si tyhle schopnosti na nekom jinem nez na studentech (navic to bude mit jeste pekny vedlejsi efekt, ze se treba par lidi dozvi nejake zajimave veci z matiky/fyziky, ktere by normalne necetli a urcite zvysi prumernou kvalitu mistnich blogu, takze jednoznacne chvalim

[Marek Bernát]

Dík za podporu, ale je to bieda. Ja to beriem ale pozitívne, aspoň je čo zlepšovať

Tak to ja na študentoch zatiaľ nič necvičím, pretože sám som študent Ale cítil som potrebu sa podeliť o krásy matematiky. Okrem iného z dôvodov, ktoré sám spomínaš. Uvidíme, či sa to podarí.

[Radek Miček]

Hezké. Lidem, co mají navíc zájem o funkcionální programování doporučuji blog Haskell for Maths, kde se autor zabývá podobnými tématy.

[Michal Kubeček]

Na algebře mne vždycky fascinovala ta nespokojenost se zavedenými termíny. Všem stačí říct, že zobrazení zachovává operace, ale algebraici si pro to just musí vymyslet vlastní vznešeně znějící termín. Jeden náš přednášející se na adresu algebry vyjádřil ve smyslu, že nikdy neměl důvěru k oborům, kde je víc definic než vět, a musím konstatovat, že jakýkoli úvod do algebry tuto charakterizaci naplňuje měrou vrchovatou. :-)

[Marek Bernát]

Hm, ale zobrazenie zachovávajúce operácie, to môže byť kadečo. Morfizmus v ľubovoľnej kategórií. A keď človek povie zobrazenie zachovávajúce grupové operácie, tak už tá dĺžka začína byť na pováženie. Nehovoriac o tom, že sme ešte nedefinovali, čo je to zobrazenie, grupa a operácia

Odborná terminológia výrazne uľahčuje komunikáciu s odborníkmi. Pri komunikácii s laikmi si človek musí vybrať, či donekonečna hovoriť v termínoch simple.wikipedia, alebo stráviť 5 minút s definíciami a je pokoj raz a navždy

Inak nechápem, prečo sa vyjadroval len k algebre. Topológia so svojou kompaktnosťou, homeomorfizmom, homológiou, homotópiou, Hausdorffovskosťou a separabilnosťou je na tom lepšie? IMO odborná terminológia funguje v absolútne každom obore a to zďaleka nie len matematickom, ale aj vo vede a dokonca aj v remeslách.

[Michal Kubeček]

Jistě, všude se zavádějí termíny. Problém je, že algebra se se v tomto ohledu poněkud vymkla kontrole, takže se vlastní termíny zavádějí i pro věci, pro které vůbec nejsou potřeba. Takže se nakonec v prvním semestru nedělá žádný zajímavý důkaz, protože všechny věty jsou vlastně jen triviální pozorování - poté, co se přeloží do lidské řeči.

Hm, ale zobrazenie zachovávajúce operácie, to môže byť kadečo. Morfizmus v ľubovoľnej kategórií. A keď človek povie zobrazenie zachovávajúce grupové operácie, tak už tá dĺžka začína byť na pováženie.

Takže termín homomorfismus v sobě nese informaci, že se jedná o zobrazení mezi grupami zachovávají grupovou operaci? A jakpak se říká zobrazení mezi vektorovými prostory, které zachovává základní operace? :-)

[Marek Bernát]

A príklad takého termínu? Čo sa tých viet týka, asi ste absolvovali zlú prednášku. Je síce pravda, že grupy tým, jak sú abstraktné a relatívne bez podložia (oproti napr. analýze, ktorá stojí už na algebre a topológii), tak sú vzdialenejšie nielen praxi, ale aj zložitejším vetám, ale ja v tom žiadny problém nevidím. A oveľa horšie je na tom teória kategórií (ako z hľadiska abstraktnosti, tak nedostatku viet)

No, tak ja im hovorím lineárne zobrazenia a už dlho som sa s iným pojmom nestretol. Ešte existuje okruhový homomorfizmus, ale tam sa to vždy explicitne povie. Čisto homorfizmus je pre mňa grupový. Ale uznávam, že tá terminológia by mohla byť čistejšia. Stačí povedať morfizmus v kategórii Grp/Ring/K-Vect/...

[Michal Kubeček]

Čo sa tých viet týka, asi ste absolvovali zlú prednášku.

Nepřišlo mi, že by to jinde bylo výrazně jiné.

A oveľa horšie je na tom teória kategórií (ako z hľadiska abstraktnosti, tak nedostatku viet)

Tomu bych i věřil. O teorii kategorií si pamatuji jen jednu veselou historku ze cvičení a to, jak jsem byl šťastný, že se přednášející tehdy vrátil z Itálie včas, takže jsem se to nemusel učit ke zkoušce. :-)

Je síce pravda, že grupy tým, jak sú abstraktné a relatívne bez podložia (oproti napr. analýze, ktorá stojí už na algebre a topológii), tak sú vzdialenejšie nielen praxi, ale aj zložitejším vetám, ale ja v tom žiadny problém nevidím.

Temno má toho "podloží" ještě výrazně méně a přesto jsme se tam podstatně rychleji dostali k zajímavým důkazům.

No, tak ja im hovorím lineárne zobrazenia a už dlho som sa s iným pojmom nestretol.

Já třeba hned v prvním semestru, vlastně ještě dříve než u grup, protože obecná algebra byla až ve třetím. A nemyslím si, že by to byla Bečvářova specialita, s pojmem homomorfismus pro zobrazení mezi vektorovými prostory zachovávající operace jsem se setkal i v literatuře (nejen české).

Ale nezastírám, že v tomto ohledu nejsem objektivní, v podstatě spíš vysvětluji důvody, proč mi algebra (kromě lineární) moc k srdci nepřirostla.

[Marek Bernát]

Asi bolo, keď tam bolo málo viet. Prednáška z grúp sa určite dá koncipovať tak, aby tam bola jedna pokročilá veta za druhou. Otázka je, či je to pre prvé ročníky cieľom. Ak je skôr cieľom naučiť abstraktne myslieť, tak tie vety až tak netreba.

Holt, každého baví niečo iné. Ja zas v živote nepochopím ľudí študujúcich logiku

Tak to je zas opačný prípad. Človek dostane n axióm a nejakú logiku a môže odvodzovať vety do aleluja (v štýle computer-assisted proof) Otázka je, jak moc sú tam tie vety zaujímavé. Mňa teória množín a logika nikdy extra nebrala. Obidve tie veci môže človek na úrovni vyššieho "podložia" veselo ignorovať a postupovať čisto intuitívne a obvykle nič nestratí. Akurát sa sem-tam vygeneruje nejaký paradox

Ale to áno -- viem, že ten pojem existuje a asi sa aj používa. Len sa s tým nestretávam. A to ani v literatúre. V tej menej náročnej sú to lineárne zobrazenia, v tej náročnejšej už sa obvykle používa teória kategórií a sú to Vect-morfizmy.

Jasné, v pohode. Keby algebra končila na definícii grupy, tak by ma asi tiež moc neohúrila. Ale keď človek zistí, že Besselove funkcie sú len maticové elementy nejakej grupy a všetky ich vlastnosti sa dajú odvodiť za 5 minút grupovými metódami (namiesto pol hodiny násobenia radov, čo sme robili na analýze a aj tak to nevyšlo), tak začne tú abstraktnú teóriu oceňovať

[Marek Bernát]

s/"podložia"/"poschodia"/

[Michal Kubeček]

Asi bolo, keď tam bolo málo viet.

Ale ne, vět nebylo málo. Jen všechny byly v podstatě triviální, jakmile se člověk prokousal matoucí terminologií.

Ale keď človek zistí, že Besselove funkcie sú len maticové elementy nejakej grupy a všetky ich vlastnosti sa dajú odvodiť za 5 minút grupovými metódami (namiesto pol hodiny násobenia radov, čo sme robili na analýze a aj tak to nevyšlo), tak začne tú abstraktnú teóriu oceňovať

Mne by na takovém přístupu asi odrazovalo, že by z něj vůbec nebylo patrné, kde se ty funkce vlastně vzaly a proč je užitečné je studovat. Vzít si nějaký abstraktní systém a studovat jeho vlastnosti možná někoho uspokojuje, ale pro mne byla důležitější právě ta vazba na diferenciální rovnice a matematické modely reálných fyzikálních úloh, které na tyto rovnice vedou. A právě o to v té analýze jde, ne o nějaké násobení řad; ty koneckonců mohou násobit i algebraici, stejně jako studují těleso reálných čísel, aniž by to mělo algebraické opodstatnění.

[Marek Bernát]

V analýze je tiež polovica viet triviálnych a druhá polovica trikových. Či je to výhoda neviem

Ale to samozrejme, že neštudujeme maticové elementy grupy samé o sebe. Pointa je, že s teóriou grúp za opaskom, človek pozrie na Besselovu rovnicu, uhádne jej symetrie (toto je silne netriviálna časť) a hneď dostane všetky výsledky, ktoré sa v analýze drevorubačsky odvodzovali. Netvrdím, že násobenie radov patrí do analýzy (už som ho videl aj v algebre a kombinatorike), len som chcel ilustrovať ten prístup hrubou silou (ktorá sa v analýze používala dosť často) vs. aplikáciu abstraktnej teórie.

[Michal Kubeček]

V analýze je tiež polovica viet triviálnych a druhá polovica trikových. Či je to výhoda neviem

Kdepak, v tomhle je mezi úvodním semestrem analýzy a algebry propastný rozdíl. V analýze je pár pěkných důkazů, které nejsou ani triviální ani trikové, namátkou třeba l'Hospitalovo pravidlo. V prvním semestru algebry šlo v podstatě jen o to, proniknout hradbou nepřátelské terminologie; té bylo neuvěřitelné množství, to jsem jinde nezažil, snad jen v úvodu do pravděpodobnosti, ale v menší míře a jen na samotném začátku.

Pointa je, že s teóriou grúp za opaskom, človek pozrie na Besselovu rovnicu, uhádne jej symetrie (toto je silne netriviálna časť) a hneď dostane všetky výsledky, ktoré sa v analýze drevorubačsky odvodzovali.

Otázka je, jestli by algebraik byl opravdu schopen "uhodnout" symetrie a pak machrovat, kdyby nevěděl předem, co mu má vyjít, protože to už před ním spočítal analýzník přirozenou cestou (to, čemu vy říkáte "dřevorubecky"). :-) Připadá mi to trochu jako dělat ramena, jak nepotřebuju klasické "dřevorubecké" postupy pro řešení rovnic, protože stačí "uhodnout" řešení (tím, že se podívám, jak to vyšlo tomu "dřevorubci"), ověřit a dokázat, že víc jich není.

Ona ta formální jednoduchost důkazu nemusí být vždycky výhra. Vzpomínám si třeba na dva důkazy věty o substituci (té obecnější v ℝⁿ). První jsem viděl na přednášce z míry. Sice byl formálně jednodušší, byl jsem ho schopen verifikovat a kdybych musel, naučil bych se ho i ke zkoušce, ale nikdy jsem nedospěl do toho stupně pochopení, abych si řekl "ano, je mi to jasné, takhle se to musí dělat, to bych si byl schopen odvodit sám". Druhý byl sice delší a formálně složitější, ale postup byl přirozený, celou dobu mi bylo jasné, co se dělá a proč, a v případě potřeby bych ho byl schopen i vymyslet sám (tehdy, dneska už asi ne).

[Marek Bernát]

Hehe, tak priznám sa, že dôkaz l'Hospitala som už dávno zabudol. Asi za to môže aj fakt, že som ho nikdy nepoužil (možno v pár cvičeniach v prvom semestri). Keď človek získa trochu praxe s asymptotickým chovaním funkcií a tiež pokročilejší aparát na jeho vyšetrovanie, tak je holt l'Hospital úplne zbytočný. Alebo sa nájde nejaká aplikácia?

Ešte k tej algebre: ono to podľa mňa skutočne je tou mierou abstrakcie a nie množstvom terminológie (ktorej nie je určite viac než napr. v analýze). V analýze môžete hneď zo začiatku (limity, derivácie, integrály, sumy) rovno počítať veci z reálneho sveta. V tej algebre sa ide skôr abstraktnou cestou. Ničmenej, aj algebra sa dá prednášať aplikovane (napr. u nás Teorie grup pro fyziky) a za semester sa dajú ukázať veľmi pekné veci a netriviálne vety. IMHO by sa tieto dve cesty, abstraktná (ktorá sa učí na matematike a informatike) a aplikovaná (ktorá sa učí na fyzike) mali skĺbiť a vznikol by veľmi pekný predmet. O niečo podobné by som sa rád snažil v tom seriále.

S tým súhlasím. Ale to je podľa mňa dané len časom stráveným s teóriou. Tie jednoduchšie má človek vžité v podstate od detsva. V tých zložitejších sa musí naučíť rozmýšľať a riešiť v nich problémy, kým sa dostane na rovnakú úroveň akú mal s tými jednoduchšími.

Btw, k tým Besselovkám: ono to nie je len o jednoduchosti dôkazov. V tej analýze človek nevidí, čo sa deje, len nakoniec zistí, že to vyšlo (keď hovorím to, tak myslím rôzne súčtové a diferenciálne vzťahy medzi Besselovkami). A IMHO by to tiež človek neodvodil sám (napadlo by Vás samého od seba násobiť rady pre dve Besselovky s tým, že nakoniec vyjde rad pre inú Besselovku?), ale len sme reprodukovali staré výsledky. Vďaka algebre, ale zistí, _prečo_ to tak vyšlo (lebo grupová štruktúra, ktorá je za tým schovaná) a navyše zadarmo získa tých súčtových vzorcov podstatne viac (celé kontinuum namiesto jedného alebo dvoch, ktoré sa objavili náhodou v analýze). Ale inak by som asi súhlasil, že si najprv treba zašpiniť ruky tou analýzou, aby človek získal nejaký základný prehľad. O to viac aj ocení potom tie algebraické závery, ktoré do zmeti výsledkov o špeciálnych funkciách vniesli konečne poriadok

[Michal Kubeček]

Keď človek získa trochu praxe s asymptotickým chovaním funkcií a tiež pokročilejší aparát na jeho vyšetrovanie, tak je holt l'Hospital úplne zbytočný. Alebo sa nájde nejaká aplikácia?

Záleží, jak se na to díváte. V okamžiku, kdy je asymptotika prvního řádu, tak vlastně stejně děláte toho l'Hospitala, i když tomu říkáte jinak. Ale tady jde spíš o ten důkaz. Ostatně důkaz odhadu zbytků u Taylorových polynomů je také pěkný, jen jsem si nebyl jistý, jestli je to ještě první semestr.

Ešte k tej algebre: ono to podľa mňa skutočne je tou mierou abstrakcie a nie množstvom terminológie

Nepodsouvejte mi, prosím, že bych neměl abstraktní myšlení. Nechci se tu pouštět do žádných přestřelek typu "kdo vejš", ale v tomhle problém opravdu není. Naopak, kdybych abstraktní myšlení neměl, nemohl bych prohlédnout tu hradbu formalismu a zjistit, jak je to vlastně o ničem. Znovu ovšem podotýkám, že se tu bavím o úvodu do algebry, ne o algebře jako takové, v té je samozřejmě těžkých vět a zajímavých důkazů spousta.

On je asi problém hlavně v přístupu. Chápu, že člověk, který se algebrou zabývá celý život, má často pocit, že je algebra ospravedlnitelná sama o sobě pro svou vnitřní krásu a že ty aplikace v jiných oborech jsou jen jakýsi bonus. Podobný pohled mají bohužel i někteří analýzníci, kteří okázale pohrdají praktickými aplikacemi. Ale v úvodním kursu by se tenhle pohled projevovat neměl; právě to vede k tomu ohromování strašidelně znějícími pojmy, za nimiž se skrývá nafouklé nic, o němž jsem mluvil. Přitom i úvod do algebry by se dal přednášet úplně jinak než algebra pro algebru, chce to jen sestoupit z oblak čisté teorie, vyjít právě od té motivace a aplikací, a na nich ukázat, proč je dobré dát tomu nějaký abstraktní rámec. Bohužel se to není zvykem a ani vy jste se bohužel ve svém blogpostu od vyšlapané cestičky neodchýlil.

Bohužel to pak často vede k tomu, že se studenti zaměří právě jen na ten formalismus a podstata jim unikne. Vzpomínám si třeba na hrůzostrašný zážitek z cvičení k úvodu do funkcionálky, kde student nebyl schopen říct, jak vypadají spojité lineární funkcionály na ℝⁿ a vlastně ani na ℝ, ale na požádání přesně odrecitoval větu o charakterizaci spojitých lineárních funkcionálů na Hilbertově prostoru.

V tej analýze človek nevidí, čo sa deje, len nakoniec zistí, že to vyšlo (keď hovorím to, tak myslím rôzne súčtové a diferenciálne vzťahy medzi Besselovkami). A IMHO by to tiež človek neodvodil sám (napadlo by Vás samého od seba násobiť rady pre dve Besselovky s tým, že nakoniec vyjde rad pre inú Besselovku?)

Samozřejmě že napadlo. Kdyby mne zajímalo, co tím součinem vyjde, tak by násobení řad byla jedna z prvních věcí, které bych zkusil. Tím spíš, že by nic jiného v podstatě ani dělat nešlo.

[Marek Bernát]

Je to samozrejme o uhle pohľadu. Ale keď vyšetrujem chovanie funkcie, tak si hovorím "aha, tu som použil Taylora, tu som zanedbal členy rádu o(x^3)" a pod. Ale ešte nikdy som si nepovedal "tu som použil l'Hospitala"

Ja som len tvrdil, že algebra je abstraktnejšia (tým, jak zhŕňa kopu matematických štruktúr pod jednu strechu, s malým dôrazom na aplikácie). Rozhodne by som si nedovolil povedať, že nemáte abstraktné myslenie, to ste si niečo zle vyložili. Btw, znovu neviem, čo má byť ten úvod do algebry. Ak ho definujete ako oblasť, kde ešte nie sú zaujímavé vety, tak pochopiteľne máte pravdu. Tautologicky...

S týmto súhlasím a sám si to uvedomujem. Ale bol to prvý diel a písal som len čo ma napadlo a zároveň som sa nechal uniesť štýlom, na ktorý som zvyknutý zo skrípt. Ale po pravde som rád, že som vôbec začal, akokoľvek nekvalitne. Druhý diel sa zatiaľ rysuje viac podľa Vašich predstáv a dávam si na ňom viac záležať. Ale nerobím si ilúzie -- ešte potrvá dlho, kým tie články budú mať poriadnu hodnotu a zároveň budú prístupné hocikomu bez toho abstraktného podkladu.

To je samozrejme pravda. Ale na druhej strane, čistá prax bez teórie tiež nie je to pravé. Ideálne by sa to malo kombinovať. Ale nájsť ten správny pomer, to je práve známkou kvalitného pedagóga.

Ok, určite ste v matematike obecne a v analýze konkrétne viac podkutý ako ja, takže Vám to asi pripadá celkom prirodzené. Btw, jeden súčtový vzorec vyzerá (modulo nejaké chybky) ako J_n(x + y) = \sum_{k \in Z} J_k (x) J_{n-k} (y). Nie som si istý, či by ma napadlo násobiť zrovna takúto kombináciu radov. Samozrejme, historicky sa zrejme postupovalo z opačnej strany, niekto chcel zistiť J_n(x + y) a vyšla mu tá suma. Bohužiaľ, nie u nás na analýze. To je ale asi len pedagogický problém. Tak či onak, bez tej algebry človek nevidí, prečo by to malo platiť. S ňou to nie je nič iné než rovnosť homorfizmu \rho(x + y) = \rho(x)\rho(y) v harmonickej báze na kružnici. A tie symetrie tam človek vidí, lebo aj historicky sa Besselky vyšetrovali ako nejaké riešenia na valci a pod., ak ma pamäť neklame.

[kkaarreell]

Algebra by se mozna dala vykladat jinak, ale obavam se, ze v navazujicim studiu se clovek bez tech "formalizmu" neobejde. A na druhou stranu, je to prakticky prvni (aspon pro me byl) predmet, kde se pojmy opravdu formalne presne definovaly a vety dokazovaly (coz bylo zrejme mozna prave pro "jednoduchost" uciva), zkusenost k nezaplaceni.

[Michal Kubeček]

To jste mne možná špatně pochopil, já jsem vůbec nechtěl říct, že by výklad neměl být formálně přesný. Tedy výklad na VŠ, povídání v blogu je něco úplně jiného. Šlo mi o to, že by měl být kladen mnohem větší důraz na motivační stránku, tj. např. nezačít definicí grupy, jako by ta definice byla sama o sobě důvodem, proč zkoumat zrovna takové struktury, ale tím, že na praktických příkladech ukážu podobnost různých struktur a z toho sama vyplyne užitečnost sjednocujícího pohledu. Přednášejícímu, který se sám algebrou zabývá celý život, to nepřipadá důležité, ale pro studenty to může mít zásadní význam. Ne že by to samozřejmě byl prinicipiální problém algebry jako takové, ale podle mých zkušeností tím přednášky z algebry trpívají nejvíce (možná ještě temno a logika).

[Václav HFechs Švirga]

Tam jsou dvě mo?! Ja ten pojem [homorfismus] právě googlil a nic sem nenašel ;). U homomorfismu je to jiná, díky.

[Marek Bernát]

Ježiš, sorry, pekne blbý preklep. Idem to opraviť

[JS]

Na Wikipedii se pise, ze homomorfismus je zobrazeni zachovavaji algebraicke vlastnosti prislusne algebry. Takze to zalezi na tom, o ktere algebre mluvime (pokud o grupe, zachovava grupovou operaci, pokud o vektorovem prostoru, zachovava operace scitani a nasobeni prvkem z telesa na vektorovem prostoru).

[krotitelODS]

jsou dve veci, ktere nikd nepochopim:

- algebru

- jak muze tolik lidi volit ty pravicove sycaky

[default]

Děkuji za perfektní článek! Konečně něco, co se tu dá číst (zdravím pana Jílka )! Přečetl jsem to jedním dechem a ani jsem nepostřehnul, že to je Slovensky a bez obrázků. Asi mám dobrou představivost.

[Marek Bernát]

Super. Mám radosť, že nebola úplná strata času to napísať

[Grunt]

zdravím pana Jílka

Zrovna jsem chtěl jako komentář k anketě doplnit: Rozhodně víc, Jílek už mě přestal bavit.

[podlesh]

Toto byl lehký úvod, obrázky IMHO netřeba. Předpokládám ale že časem přituhne

[default]

Já doufám, že přituhne! Když jsem tohle pochopil i já, tak to musí být na úrovni základní školy.

[Marek Bernát]

Hm, tuším sa tu začínajú objavovať dva protichodné názory. Ja s dovolením ten budúci diel skúsim urobiť menej formálne a budem dúfať, že to prežiješ

[kkaarreell]

Kdyz uz zavedes nejake znaceni, tak je vhodne se jej drzet. Napriklad ta operace "kolecko" by mela byt i v te definici homomorfismu, takhle to muze byt dosti matouci. To jen rada pro priste. Jsem zvedavej, v co se to vyvine...

[dolik.rce]

Kdyz uz zavedes nejake znaceni, tak je vhodne se jej drzet.

Nám na algebře prof. Souček říkal: "Notace v různých knihách je různá, proto i já ji budu často a bez varování měnit, aby jste si zvykli..."

[Martin]

Jen jsem si to tak proletěl, zrovna se trápím s organikou, tak nemám moc času na blbosti ( :-P ) ale masaker! Dík! Přesně tohle teď potřebuju, takže jen houšť. Jsem si sice dal na rok od matfyzu pokoj a zjišťuju, že jsem trochu co se týče matiky zrezivěl a musím to začít napravovat, ideálně dřív než těsně před podzimníma státnicema. Takže pevně doufám, že se z tohohle vyvine pěkný seriál, který vyváží všechny ty Jílkoviny tady... Fakt díky.

Zrovna algebra mě docela bavila, ale nemám na ni bohužel dost abstraktní myšlení, takže jsem byl vždycky rád, že jsem uměl tak zhruba na tu dvojku (někdy s velkým štěstím za jedna, případně s trochou smůly za tři). Bylo mi to vždycky dost líto.

[Marek Bernát]

Díky! Uvidíme, čo sa z toho vyvinie. Počítaj s tým, že moje znalosti tiež nie sú neobmedzené a až trochu pokročíme, tak sa sám budem na tom dosť učiť, takže matematická kvalita bude asi časom klesať (ak má ešte kam ). Ale pokúsim sa všetkých, ktorí mi tu prejavili podporu, nesklamať.

Ja tiež nemám dosť abstraktné myslenie, aby som mohol byť matematikom, ktorý ten obor niekam ďalej posunie. A tiež je mi to ľúto. You can't always get what you want. Tak som sa uspokojil s aplikáciami v teoretickej fyzike

P.S.: Takže nakoniec z teba bude biológ? IMHO oveľa lepšie povolanie ako programátor. Darwin rulezzz

[dementni.lojzik]

Takže nakoniec z teba bude biológ?

pokud se nemylim, i v biologii se daji potkat grupy, napr. ve virologii

[Martin]

No zrovna co se týče algebry bych ani nic moc extra pokročilého nevyžadoval. Naše informatická Algebra I se ještě dala, Matematické struktury už mě naprosto zabily. Pultr mě na zkoušce zaříznul jak podsvinče. Tam někdy jsem si loni uvědomil, že i kdybych strašně chtěl, tak ze mě žádný teoretik ani matematik nebude a měl bych se poohlédnout po kariéře v jiných vědách. Co už nadělám.

Jj, byla doba, kdy jsem hodně litoval, že jsem od původního plánu studovat fyziku sklouznul k informatice. To by mě bavilo mnohem víc a asi by mi to i víc šlo (programování samo až tak moc nežeru a tu abstraktní matiku taky už moc nemusím). Doteď toho trochu lituju, ale tak nakonec jsem si našel jinačí "loophole" v trochu jiném oboru.

No, doufám, že doklepu i ten matfyz i tu molekulární biologii, ale svou budoucnost bych raději viděl v tom druhém. Tam bude snazší to dotáhnout k té nobelovce.

[Marek Bernát]

Matematické štruktúry vypadajú fakt dosť drsne. S tými pojmami som sa už niekde stretol, ale vôbec netuším, čo znamenajú a načo sú dobré. Možno by som si to budúci rok mal zapísať

Presne tak. Ja som to našťastie po roku informatiky napravil. A bolo to dobré rozhodnutie. Nič proti informatikom, ale postupom času som si uvedomil, že sa programovanie nelíši od hocijakej inej reálnej konštruktérskej a inžinierskej práce (snáď len v tom, že kvalita programov je obvykle výrazne nižšia než kvalita mostov, budov, strojov...), takže nič pre mňa. Ja nie som budovateľ, ale objaviteľ. Niečo z toho objavovania sa asi na poli teoretickej informatiky, UI, návrhu jazykov a kompilátorov dá nájsť a sú to aj jediné obory, ktoré by ma ako tak bavili, ale furt je tam tá konštruktérska činnosť, ktorá mi už dávno informatiku poriadne znechutila.

Keď ti ide len o nobelovku, tak napíš brakovú literatúru, alebo sa staň americkým (vice)prezidentom

[Tomáš Heger (geckon)]

Jen přidám svou připomínku... Formální výklad imho není na škodu (klidně i formálnější než v tomto díle), ale je fakt, že by se na začátek hodila nějaká ta motivace. Takhle možná spousta lidí zavře článek s pocitem, že autor „začal u symetrie a pak popsal nějaké grupy a homomorfismus a já vůbec nevím, jak to souvisí“. Jinak mě zajímá, co se z toho vyvine

[Michal Kubeček]

Formální výklad imho není na škodu (klidně i formálnější než v tomto díle)

S tím bych si dovolil nesouhlasit. Formálně přesných textů je dost a kdo o ně stojí, půjčí si nějakou učebnici nebo skripta. Nemyslím si, že má smysl snažit se jim v blogu konkurovat, to ocení jen pár nadšenců, kteří už to stejně znají. Sice po přečtení budou mít dobrý pocit, že to tak opravdu je, ale k čemu to bude dobré? Tady by se podle mne daleko spíš hodil přístup, který sice nebude formálně přesný, ale zato vysvětlí podstatu i těm, kdo problematice nerozumějí a třeba se ani matematice nevěnují.

[hajoucha]

A co domácí úkoly? Nebudou? Já bych se prosím přimlouval za nějaké ty úložky či příkládky. To si mohou zkusit i nadšenci i začátečníci, příklady s hvězdičkou pro znalce.... no řekněte, není to výzva? Navíc by zde byla možnost závodit, kdo danou úložku vyřeší jako první a tak podobně.

[Marek Bernát]

To je veľmi dobrý nápad. Uvedomte si ale, že vymyslieť úlohu, ktorá je zároveň relatívne jednoduchá aj zaujímavá, nie je úplne triviálne. Ale budem nad tým rozmýšľať a ak ma niečo rozumné napadne, tak to tam nabudúce hodím.

[hajoucha]

jen do toho, ono to půjde, žádný strach. Máte moji důvěru :) Rozhodně to nebude horší, než psaní článku. Navíc netřeba vymýšlet nové úlohy. Stačí se podělit o ty zajímavé, které už znáte.

[Marek Bernát]

No, to je práve problém, zas tak moc zaujímavých úloh nepoznám. To samozrejme nie je problém danej teórie a nedostatku aplikácií, ale len a len môjho ignorantstva. Začínam mať z toho totiž pocit, že som si zobral príliš veľké sústo, hodné skôr profesora matematiky. Na druhej strane, každý musí nejak začať. Snáď to nejak pôjde.

[hajoucha]

A co domácí úkoly? Nebudou? Já bych se prosím přimlouval za nějaké ty úložky či příkládky. To si mohou zkusit i nadšenci i začátečníci, příklady s hvězdičkou pro znalce.... no řekněte, není to výzva?

Pro ty opravdu otrlé by zde mohla být i soutěž o to, kdo vyřeší danou úlohu jako první.