Problém rotace plochy XY

5.3.2006 12:48 | Ostatní

Pro účely své diplomové práce potřebuji vyřešit následující problém, a už si s tím lámu hlavu celé dopoledne:

Mám zadánu plochu v prostoru, označím ji a. Tato plocha vznikla rotací plochy XY, která byla rotována postupně kolem os x, y, z. Stojím před úkolem zjistit úhly, o které byla rotována, abych ji mohl zpětně rotací kolem os z, y, x vrátit do původního stavu XY.

Plochou XY míním plochu v prostoru označenou analyticky vyjádřenou jako:

x = u
y = v
z = 0

Díky za každou dobrou radu.

       

Komentáře

[#Tom]

Analytické vyjádření jsem nějak nepochopil, ale pokud máte zadány dvě plochy a znáte k nim normálové vektory, můžete pomocí těchto dvou vektorů najít lineární zobrazení (matici), které tyto vektory i ony plochy otočí na sebe. V oné matici pak budou hledané (Eulerovy) úhly.

[Lukáš Zapletal]

Dost dobře tomu nerozumím. Nejdříve jsem to chtěl řešit pomocí odchylek těch ploch (a tedy i normálových vektorů), jenže jsem nebyl schopen to dotáhnout do konce. Nevím, jakou matici myslíte a jak ji z těch dvou normálových vektorů vytvořím

[#Tom]

Nevím, jestli by to šlo v tomto případě použít. Pokud jsou ale známy dva vektory, tak je lze normovat a oba doplnit na dvě různé ortonormální báze. (Stačí si vymyslet nějaké lineárně nezávislé vektory, provést Gram-Schmidtův ortogonalizační proces, normování a kontrolu pravotočivosti (determinant), nebo místo toho udělat dva po sobě jdoucí vektorové součiny). Tím vzniknou dvě báze, jejich matice se už dají snadno ponásobit mezi sebou tak, aby vyšla matice přechodu z jedné do druhé. V té matici přechodu pak vystupují Eulerovy úhly, lépe řečeno jejich kosiny.

Matice otočení s Eulerovými úhly je třeba v těchto skriptech na straně 187.

[Kyosuke]

A jak byla zadána ta rotovaná plocha? Parametricky, nebo implicitně?

[Lukáš Zapletal]

Parametricky.

[Kyosuke]

Takže ta rotovaná rovina je zadaná dvěma věktory, respektive vztahem X = A x T, kde X = [x ; y ; z], A = [ a11 a12 ; a21 a22 ; a31 a32], T = [u ; v] (kde ";" je "přechod na další řádek"), a pro u=0, v=0 je X = [0 0 0]?

[Lukáš Zapletal]

Přesně. Snažil jsem se v tom najít nějakou lineární závislost, ale bezúspěšně

[Kníže Ignor]

Jestli dobře chápu tvé "analytické vyjádřejí", tak ta plocha žije v nějaké rovině. Takže stačí vzít dva body té plochy, tak aby jim odpovídající vektory - (bod - počátek) byly lineárně nezávislé. Najít otočení jimi určené roviny podle dvou os je triviální. Pak musíš ještě najít otočení podle té třetí osy, ale to už závisí na tom, jak je ta plocha zadaná.

[Kníže Ignor]

Jestliže parametricky, pak je to trivka, né?

[Lukáš Zapletal]

Kdyby to byla "trivka", tak tady neotravuji Ne, trivka to určitě není.

[Lukáš Zapletal]

Ne, plocha nežije v žádné rovině. Je to prostě rovina, která leží v osách X a Y (z = 0).

V zápise mám chybu - správně bych měl mluvit o rovinách, nikoli o plochách. To je zobecnění.

[wamba]

Dobrý d.

Jestli jsem tak řešení není jednoznačné a jedno z možných je, že budete otáčet podle dvou os x,y a k tomu vám stačí vědět úhly přímek které vzniknou průnikem roviny a s rovinou x=0, y=0.

[wamba]

Dobrý d.

Jestli jsem to dobře pochopil, tak řešení není jednoznačné a jedno z možných je, že budete otáčet podle dvou os x,y a k tomu vám stačí vědět úhly přímek s osou z, které vzniknou průnikem roviny a s rovinou y=0, resp. x=0.

[matematik]

Rotace postupně kolem x, y a z nikdo nepoužívá (normálně se používají Eulerovy úhly) a nechce se mi to řešit, ale pokud nutně nepotřebuješ ty úhly, jen zpětnou transformaci, tak když zapíšeš tu rotovanou bázi e'_x, e'_y, e'_z (máš-li jen e'_x, e'_y, tak e'_z = e'_x × e'_y) pomocí staré (na to stačí obyčejná projekce tj. pár skalárních součinů)

e'_x = a_xx e_x + a_xy e_y + a_xz e_z
e'_y = ...
e'_z = ...

tak tou maticí A z a_ij můžeš rovnou transformovat rotované souřadnice zpět do původních: r = A r' (r = (x, y, z)^T, analogicky r').

P.S.: Kdyby někoho napadlo povolit tagy SUP a SUB, tak jsem to mohl napsat čitelněji.