Deleni nulou (diskuse)

[Jiří (BoodOk) Kadeřávek]

try { ano, lze; } catch { nikoliv; )

[Josef Kufner]

Chvilema mam pocit, ze matematika si zije ve svem vlastnim svete...

[ble]

Matematika si žije ve vlastním světě. Přinejmenším v jiném, než ve kterém žije autor blogu.

[Michal Vyskočil]

Zrejme si uz ale neprecetla, ze delime-li cislo, napriklad jedna primo nulou, vyjde nam cislo, jehoz hodnota je PRIMO nekonecna

Důkaz je tak triviální, že ti na něj stačí matematika pro základní školy:

x = a/b => xb = a
Pro b=0:
x = a/0 => x*0 = 1 (??)

Nemluvě o tom, že to málo co vím třeba o mohutnosti množin mi zabraňuje chovat se k nekonečnu jako k jinému číslu. Jednoduchý příklad. Kolik je celých čísel? Nekonečně mnoho. Kolik je reálných čísel? Taky nekonečně mnoho. Kterých je více? Matematik by se spíše zeptal, má množina reálných čísel větší mohutnost, než množina celých čísel?

[Jiří (BoodOk) Kadeřávek]

Co to je mohutnost mnoziny? Ja mel mnoziny na ZS kdyz ta teorie zacinala.

[xxxxxxxx]

čím větší nekonečno, tím větší mohutnost

např čísla 1,2,3,... dou do mohutnějšího nekonečna než čísla 1,3,5,..

[Jan Zahornadsky]

To není pravda. Všech celých čísel je stejně jako všech sudých čísel, dokonce stejně jako všech racionálních čísel. Dokonce i prvočísel je stejně mnoho :-P

[azurIt]

blbost :) mnozina celych cisel je vlastnou podmnozinou mnoziny racionalnych cisel, tak ako ich moze byt rovnako vela ?

[sofr]

Protože každému racionálnímu číslu můžeš přiradit jedno celé a naopak. Mezi těmito množinami existuje vzájemně jednoznačné zobrazení alias bijekce. Můžeš je stavit do dvojic, ke každému racionálnímu celé, ani jedna množina ti nedojde a na všechny čísla z obou množin se jednou dostane.

Zapiš si nějakou přednášku z teorie množin.

[ble]

Každé kladné racionální číslo p/q (p, q kladná, nesoudělná) očísluj přirozeným číslem 2^p . 3^q, každé záporné -p/q číslem 5 . 2^p . 3^q. Zbývající nule můžeš přiřadit třeba 1. Evidentně je každé racionální číslo očíslováno svým vlastním přirozeným číslem, nejsou tam žádné konflikty.

Takže tímto způsobem jsi nejen očísloval všechna racionální čísla přirozenými, ale dokonce ti nekonečně mnoho přirozených čísel zbylo k dalšímu použití. Jak může být racionálních čísel více?

P.S.: To by mě fakt zajímalo, proč není povolena HTML značka SUP, když jsou povoleny takové kraviny jako U.

[sofr]

Nemohu se zbavit pocitu, že Vámi zmíněné řady čísel budou mít mohutnost stejnou, totiž spočetnou. Vysvětlete mi, prosím, co je na tom druhém nekonečnu mohutnější.

[zde]

Máte v tom hokej. Přirozených čísel je stejně jako sudých čísel, stejně jako prvočísel, stejně jako druhých mocnin, a kupodivu i jako racionálních čísel, protože vždy lze nalézt homomorfismus, který je na sebe zobrazí. Naproti tomu mezi přirozenými čísly a reálnými čísly žádné takové zobrazení neexistuje (prvních je spočetně mnoho, druhých nespočetně mnoho).

http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument

[Radek Šlesinger]

Vy myslim trosku taky. Co hledate, bude asi bijekce, i kdyz nevylucuji, ze by mohl jit sestrojit homomorfismus mezi nejakymi strukturami s nosici Q a {druhe mocniny prirozenych cisel}.

[©]

Zalozme klub fanousku Vopenkova cisla!

[azurIt]

zjednodusene (a nie uplne spravne) sa to da povedat ako 'pocet prvkov mnoziny'

[Nejsemtu]

Více je reálných - nespočetně nekonečno, zatímco celých je pouze spočetně nekonečno.

[jk]

kecas, nespocetne mnoho se tomu rika

[Nejsemtu]

Jasně, trochu jsem to splácnul . Množiny máme konečné a nekonečné a mohutnost nekonečných se dělí na spočetně mnoho a nespočetně mnoho.

Jinak ještě doplním, že nulou se dělit dá skrze limitní počet - pak je potřeba rozdělit jde-li limita zprava nebo zleva a každou řešit zvlášť.

Tak jsem se vykecal a jdu spát. :)

[jk]

aaah, nejak me to to zaujalo, coz takhle jeste kombinace 0 a nekonecna a vsech moznych operatoru ;)

[gld17]

Budes li delit limitou, cislem, ktere se neustale blizi nule, dostanes cislo, ktere se neustale blizi k nekonecnu a jeho velikost je spocetne velka :)... zatimco kdyz delis nulou, dostas cislo, jehoz hodnota je nekonecna, tutis nespocetne velka, prakticky neznazornitelna. A trochu mimo misu: z toho vyplyva, ze vesmir nemuze byt nekonecny, jeho velikost se jen blizi nekonecnosti, tudis je spocetne velky.

[Radek Šlesinger]

Ja to radsi nekomentuju ...

[ble]

Když budeš kromovat plítem, sutou, které se kmošuje tydlitáku, dostnaeš sutu, která se neustále kmošuje k lumostromu a jeho planiscita je trabounově planivá.

Zhruba stejný smysl dává i to, co píšeš ty. Zkus si někde zjistit významy slov, které používáš...

[diverman]

lim k/x=oo, kde k nalezi R
x->0

[puco]

To co ste napisali nie je pravda. Funkcia k/x nema v bode 0 limitu, ma ale pravu a lavu limitu (oo a -oo alebo opacne , zalezi od znamienka toho k). Ta veta plati, ak dole mate absolutnu hodnotu.

[diverman]

Jasne, mate pravdu, je tam limita zprava a zleva.

[Bubak]

Pokud obe mnoziny obsahuji nekonecne mnozstvi prvku, nebude jejich mohutnost stejna?

[diverman]

Prirozenych cisel je take nekonecno. Ale jejich mnozina je spocetna.

[puco]

Dve mnoziny maju rovnaku mohutnost, ak medzi nimi existuje bijektivne zobrazenie. Mohutnost mnoziny A zvycajne oznacujeme |A|, |A|<=|B| je oznacenie pre to, ze existuje injektivne zobrazenie z A -> B. Mnozinu vsetkych podmnozin oznacujeme P(A). Plati, ze |A| < |P(a)| (Cantorova veta). Z toho vypliva, ze ked si vezmete mnozinu prirodzenych cisiel a mnozinu vsetkych jej podmnozin, nemaju rovnaku mohutnost ale obe su nekonecne. Tiez z tej vety vypliva, ze neexistuje mnozina vsetkych mnozin.

[jiri]

Jinak http://en.wikipedia.org/wiki/Division_by_zero

[Petr "Glubo" Sýkora]

A co kdyz se k te nule blizis zleva? Nevychazi ti pak nahodou zaporne nekonecno? Nemuzes preci z toho, ze kdyz se priblizujes z jedne strany a blizis se nekam usoudit to, ze se tamtez dostanes ze strany druhe.

[Jiří (BoodOk) Kadeřávek]

Teorie stran je v tomto pojeti jiz davno prekonana

[Petr "Glubo" Sýkora]

To sice ano, ale mám pocit, že je to natolik sugestivní příklad, který i matematického skoroanalfabeta (jak se tváří autor blogpostu) přesvědčí o tom, že na dělení nulou je něco v nepořádku.

[jk]

a naopak...

co kdyz se blizis k zapornemu nekonecnu zleva?

[gld17]

Tot otazka... vezmeme to takhle:

den - noc slunce - mesic ----------------- nekonecno - nic

nic := 0 ----------------- 0 - (+) nekonecno, (-) nekonecno ????

[gld17]

Tot otazka... vezmeme to takhle:

den - noc
slunce - mesic 
----------------- 
nekonecno - nic 

nic := 0 
----------------- 
0 - (+) nekonecno, (-) nekonecno ???? 

[sofr]

Uff. Den-noc, slunce-měsíc? Zdá se to jenom mně, že se zde matematika volně přetváří na jakési primitivní přírodní naboženství?

Není to nakonec tak, že obětuje-li se panna za úplňku nožem z netopýřích kostí, pak je dělení nulou následující měsíc dobře definované a výsledky konkrétních operací poskytne šaman, pět sloních klů za jedno dělení?

[Jan Zahornadsky]

No, ono z principu nekonečno není číslo. Je to jen symbol, kterým matematici zapisují, že pro každou mez K existuje nějaká podmínka, při které splnění nějaká sledovaná veličina tuto mez přesáhne. A ať si zvolíš K sebevětší, tak ti sledovaná (funkce, třeba) tu mez překročí (tedy každé konečné číslo je příliš malé na to, aby funkci dokázalo omezit)... Toť nekonečno, ne prvek z Q, R, C, nebo co to ještě za množiny v zásobě máme...

[gld17]

Naprosto souhlasim

[wake]

{-oo, oo} c R*. Někteří matematici skutečně definují 1/0 jako oo a -1/0 jako -oo (a 1/oo = 0; 1/-oo jakbysmet). Ještě hezčí je to na C* - tam je oo jenom jedno.

[Jan Zahornadsky]

To je z lenosti. Když si totiž matematik vytvoří vějaké hvězdičkované R (C), tak mu v mnoha důkazech postačuje ukázat, že něco platí pro čísla z R*. Pokud by to chtěl dokázat korektněji, musel by extra dokázat případy, kdy některý z parametrů je nekonečný. Takto se použitím R* odkazuje na to, že se to chová téměř jako číslo a pokud v důkazu nepoužil zakázanou operaci (tj. tu, ve které se to jako číslo nechová -- sčítání kladného a záporného nekonečna, dělení nekonečna nekonečnem), mělo by to platit. Ovšem, jsou i důkazy, kdy ti tohle rozšíření jen komplikuje život (ale upouští se od něj snadno, tak co)...

[wake]

baba. líný matematik - dobrý matematik.

[Radek Hladik]

Nechtel bych se autora postu nejak dotknout, ale takoveto zajimave vysledky by mel trosku nejak teoreticky podporit.

Kazdopadne situace je takova, ze u matematickych struktur Z,N,Q,R (at uz jsou to telesa, grupy ci co vsechno to vlastne je ) NENI deleni nulou definovano. Je definovana pouze limita, t.j. pokud se napriklad x blizi k 1 zprava (zjednodusene x nabyva hodnot 1.1,1.01,1.001,....) tak vysledek funkce (vyrazu) 1/x tzv. roste nade vsechny meze (aka plus nekonecno). Tato formulace znamena, ze pro libovolne cislo a jsem schopen najit x takove, ze 1/x>a. A ono tzv. "nekonecno" opravdu neni soucasti mnozin R,Q,Z ani N a neni mozne s nim nijak pocitat. Cele to zacne byt zajimave u napr. prostoru R^2 (R na druhou), kde se "proces blizeni se" muze odehravat nejenom zleva a zprava, ale i po ruznych krivkach v rovine.

Samozrejme neni problem si zadefinovat matematickou strukturu, kde deleni nulou bude mozne a bude mit nejaky vysledek. Cele to ovsem bude mit dva zajimave aspekty. Zaprve takova struktura nejspis nebude nejaka hezka struktura jako jsou napr. telesa a grupy, cimz se pripravime o spoustu hezkych vlastnosti, jako je komutativita, asociativita a pod. Za druhe takova struktura nejspis nebude mit rozumne vyuziti v nasem svete.

Stejne dobre si muzeme zadefinovat treba sktrukturu, kde bude platit treba 1+3=172, ale potom je otazka (stejne jako v minulem pripade), co to bude za strukturu a k cemu nam bude.

A jeste bych rad dodal k prikladu s odporem, proudem a napetim: zde se autor dopustil caste chyby, kdyz zmenil "smer" Ohmova zakona. Ten totiz priblizne tvrdi neco ve stylu, ze pokud mame vodic s odporem R, na nem napeti U a v nem proud I, pak plati vztah R=U/I. Tzn. jedna se o implikaci, ktera vubec nic nerika o tom, ze pokud mame nejaky vztah X=Y/Z, pak to pro proud, napeti a odpor neco znamena. Tento obraceny smer je mozne pouzit maximalne pro predstavu, protoze prave v takovychto "problematickych" situacich muzeme narazit.

Tak jsem tady vypsal spoustu moudra a jdu spat :)

Radek

[wake]

ehm, lim(x->1+)1/x = 1 ;)

[gld17]

Nemyslim si ze by me vysledky byly zajimave, jsou jen logicke a spravne. Co se tyce ohmova zakona, nevim, v cem spoiva ma chyba. Uvedeni ohmova zakona jako prikladu bylo zcela spravne, nebot kazdy, kdo daval pozor pri hodinach elektrotechniky, popripade fyziky vi, ze vodicem na kterem je ubytek napeti U vetsi nez nula, MUSI prochazet prou I ktery je take vetsi nez nula. A mohl bych samozrejme uvest radu dalsich fyzikalnich vzorcu. Z toho plyne nemoznost deleni nulou v praxi, jelikoz v zadnem z fyzikalnich vzorcu nemuze v praxi nastat pripad, ze by jsme byli nuceni delit nulou. A to je to, co tady resim

[ble]

1. Ohmův zákon je aproximace. Ve skutečnosti není u ničeho proud přímo úměrný napětí přesně a u spousty věcí ani přibližně. Takže zákon je I=I(U). Prosím teď ten paradox formulovat s tímto...

2. Celá ta věc s nekonečny je výsledek neznalosti toho, jak se s nekonečny operuje v matematice a ve fyzice. V matematice množině reálných čísel dělení nulou nemá výsledek (a nekonečno ta množina neobsahuje), v jiných množinách si můžeme definovat různé věci (existují konstrukce posloupností tříd nekonečně malých a velkých čísel a operace s nimi, etc.). Ve fyzice nekonečno buď není žádný problém (funguje ve formě limity -- toto je tvůj případ), nebo ukazuje, že ses dostal mimo oblast platnosti teorie.

[diverman]

Já jsem si jednou nadefinoval strukturu, kde absloutní hodnota byla záporná. Ještě jsem definoval jednoduché operace jako +-x:

[Zdeněk Štěpánek]

Záporné i kladné nekonečno jedno jest. Představte si kružnici s nekonečným poloměrem. Výsledkem je přímka jejíž oba konce jsou spojené.

[Vskutečnosti Saýc]

ehm konce ehm primky? primky maji konce?

[gld17]

Chtelo tim byt jen receno ze neexistuje +-nekonecno, ze nekonecno je jen jedno.

[ble]

Tohle miluju. Množina reálných čísel R se na R* obvykle rozšiřuje o dvě nekonečna, kladné a záporné. Ale C na C* jen o jedno (a má proto zajímavou topologii). V každém případě je to otázka účelnosti definice nějakých množin a operací, ne pochybených geometrických analogií.

[Filip Jirsák]

Potřeboval jsem v SQL databázi dělit časy (na způsob kolik započatých 1minutových intervalů se mi vejde do 12 minut a 15 sekund dlouhého hovoru?). Databáze to neuměla, tož jsem přistoupil k implementaci dělení. Algoritmus byl jednoduchý – na počátku mám n = 0, v cyklu ho zvětšuju o jednotku a cykluju do té doby, než n * interval dá délku hovoru. Bohužel v některých případech se stalo, že interval měl délku 0 a databáze cyklovala a cyklovala a ta 0 pořád nechtěla být větší než nenulová kladná délka hovoru...

Takže moje programátorská zkušenost je, že nulou dělit lze, ale nikdy jsem neměl trpělivost čekat na výsledek

Správná poučka by asi měla znít, že nulou vydělit v konečném čase nelze. V pokusech dělit nulou totiž nic nebrání, když máte dost času (Samozřejmě záleží na definici dělení, můj algoritmus vycházel z definice kolik částí se vejde do celku a předpokládal, že tento počet je větší než všechny takové počty částí, že mi zbývá v celku místo pro ještě alespoň 1 část; a zároveň je menší než všechny takové počty částí, kdy už se alespoň jedna část do celku nevejde.)

[azurIt]

..no a takto to dopadne ked sa fyzik pokusa rozoberat nieco z matiky ;)

[azurIt]

a este k tomu cez fyziku.. hehe

[ble]

Ten příspěvek nemohl fyzik napsat ani náhodou.

Takhle to vypadá, když se někdo, který nerozumí matematice ani fyzice, pokusí vymýšlet složitosti.

[Jakub Hájek]

Mysim, ze problem deleni nulou nespociva ani tak v tom, ze by vyslo neco neprdstavitelne velikeho. Omezim-li se na obor R realnych cisel (pro jednoduchost) mohu ho na R* rozsirit o neco jako +OO a -OO a tyto "symboly" definovat jako vysledek tohoto podilu. Je to v zasade otazka dohody..

Pes je vsak (dle meho nazoru) zakopan jinde. A sice v tom ze pri "legalizaci" deleni nulou by prestaly platit pravidla, ktera jsme byli zvykli brat jako fakt.

Mnozina realnych cisel R tvori teleso, to znamena ze splnuje nekolik pravidel.

a) Operace scitani a nasobeni jsou komutativni, asociatvini a scitani je distributivni vuci nasobeni.
b) Existuje nulovy prvek vuci scitani (v nasem pripade cislo 0)
c) Exsituje jednotkovy prvek vuci nasobeni (v nasem pripade cislo 1)
d) Ke kazdemu prvku existuje opacny -x (socet da nulovy prvek)
e) Ke kazdemu prvku <> nulovy existuje inverzni x^-1 (soucin da jednotkovy prvek)
f) Nulovy prvek <> jednotkovy prvek

Odcitani pak definujeme jako pricteni opacneho, podobne deleni jako vynsasobeni inverznim. Uz ted je videt, ze s delenim nulou bude trosku problem, protoze nepredpokladame existenci inverzniho prvku. Predpokladejme na chvili, ze by existoval...

Lze dokazat ze, x*nulovy prvek = nulovy prvek
  v nasem pripade x*0=0
Predpokladejme vyraz a * x^-1 * x ;    a<>0
podle a) muzeme psat  a * x^-1 * x = (a * x^-1) * x = a * (x^-1 * x)
dosadme nyni x=0; dostavame:
1.  (a * 0^-1) * 0 = 0    (vdzyt neco nasobime nulou)
2.  a * (0^-1 * 0) = a * 1 = a

Nyni jsme dostali pro jeden vyraz dve ruzne hodnoty, jen diky preuzavorkovani, ktere by ale dle axiomu asociativity hodnotu zmenit nemelo..

Myslim, ze delni nulou je zakazano prave z tohoto "bezpecnostniho" duvodu.

[ble]

To ovšem neřeší aplikaci ve fyzice. Pokud nám nekonečno neindikuje, že použitá teorie dávno přestala platit, tak je zapotřebí se na nekonečna dívat limitně. Tedy že máme vztah, který platí pro všechny konečné hodnoty, a když provedeme limitu k nekonečnu, dostaneme něco (resp. provedeme limitu něčeho jiného a dostaneme nekonečno). Často má ten limitní výsledek natolik jasný smysl, že si -- při zachování elementární opatrnosti -- lze limitu odmyslet a počítat s ním přímo. V případě problémů se pak samozřejmě musíme vrátit k limitám. Zrovna uvedený nekonečný elektrický odpor je takový případ, lze o něm obvykle uvažovat rovnou v limitách a žádný problém nevzniká.

[puco]

Male upresnenie: R je teleso, ale neplati, ze operacia nasobenia v telese musi byt komutativna. Pole je komutativne teleso. Aj ked je pravda, ze komutativnost * ste nikde nepouzil, takze to je jedno, len ze ste zle definoval teleso. Inak tie vlastnosti sa daju skryt pod grupy: (A,+,*) je teleso, ak (A,+) je abelovska grupa a (A\{0},*) je grupa (v pripade pola je to abelovska grupa). Z tejto definicie uz vypliva vlastnost f.

[sofr]

Moc ti, milý autore blogu, nerozumím. Celkově z toho mám hlavně pocit, že bych nechtěl být tvoje matikářka. Zvídavý student je fajn, ale tohle už mi přijde spíš jako obsese než jako zvídavost.

[Jan Jílek]

Naštěstí jsem psychoterapeut, a dočet sem to až sem. A nezbláznil jsem se. Fakt to studujete? -)))

[Michal Vyskočil]

To, co tu napsal autor je imho pokus o filozofii, pouze používá stejné pojmy, které používají matematici.

[gld17]

Jiste, obsese je to nepochybne, nepopiram, mam to tak zazrane v hlave ze uz me to se*e. Nejlepsi bude, kdyz na celou zalezitost zapomenu, jinac z toho zesilim... Ale nez tak udelam: 1/0=oo a to mi nikdo nevyvrati, leda ja sam casem

[ble]

Ne, nejlepší bude, když si zjistíš, co znamenají pojmy, které používáš. Co jsou různá nekonečna, jak vypadají různé číselné množiny, co to znamená, že jde a nejde něčím dělit, ...

Do té doby si můžeš psáš 1/0 = ∞, jak se ti zlíbí, ale nebude to mít žádný obsah a můžeš úplně stejně psát a podivovat se nad ♫‡∂ = ∞

[David Watzke]

Může (mi) někdo vysvětlit, jak byste chtěli dělit nulou? Nejlépe tak, aby to pochopil i Lister.

[next]

Mne sa skor zda, ze gro autorovho "protestu" je v tom, ze matematikarka hovori "neda sa delit nulou", miesto toho aby presnejsie hovorila "delenie nulou nie je nad danou mnozinou cisiel definovane".

[Michal Vyskočil]

Mohlo by to tak být, ovšem pouze za předpokladu, že by autor těmto pojmům rozuměl. Například tohle je jednoduše blábol prošpikovaný matematickými pojmy u nichž autor nezná jejich význam. Pouze filozofické hry se slovíčky, které ale člověku v matematice nepomůžou.

Budes li delit limitou, cislem, ktere se neustale blizi nule, dostanes cislo, ktere se neustale blizi k nekonecnu a jeho velikost je spocetne velka :)... zatimco kdyz delis nulou, dostas cislo, jehoz hodnota je nekonecna, tutis nespocetne velka, prakticky neznazornitelna. A trochu mimo misu: z toho vyplyva, ze vesmir nemuze byt nekonecny, jeho velikost se jen blizi nekonecnosti, tudis je spocetne velky.

Limita je číslo? Co je to spočetně velké číslo (mluvilo se o spočetných a nespočetných mohutnostech množin)? Prakticky neznazornitelná, to je zase co? No a to začínající "trochu mimo mísu", to už je čirá filozofie.

Další příklad filozofie na téma den, noc, 0 a nekonečno.

[xvasek]

Limita je číslo?

Limita je číslo. :) Dokonce jsem Lenku, kterou doučuju matiku, naučil konečně na otázku "Co je limita?" odpovídat "Limita je číslo". Původně odpověď začínala "limita je když..." a pak už byla jenom kopec nesmyslů. Pak jsme udělali ještě další krok, když už na "Co je derivace?" odpovídáme "Derivace je číslo". Proč? Protože derivace je limita. Mazec, jsme šikovní. :)

[Michal Vyskočil]

Aha, takže taková funkce, nebo zobrazení je taky číslo?

[Michal Kubeček]

Tak vám všem pěkně děkuji, přečtení této smysluplné diskuse byla taková stylová tečka za dnešním mizerným dnem. Jak by řekl Eric Cartman: se_u na vás, jdu spát… :-)

[Thaweg]

Dnešní den teprve začíná, na tečku je ještě brzy

[Michal Kubeček]

Jak pro koho. Pro mne tou dobou končil den včerejší…

[trotl]

Tomu zapisu sice moc nerozumim, ale tvoji ``matikarku'' bych asi hned nezatracoval. Delit nulou totiz neni moc dobry napad(zatim?). zkus http://www.koschei.net/blog/archives/000695.html a mozna http://www.kosmas.cz/knihy/128298/nula/.

[ble]

Celé to tu vypadá, jako kdyby se JXP dal na matematiku.

[dominik matus]

Dělit jde, ale nejde to použít. 1:1000^-1=1000 1:nekonecno^-1(nekonecne maly bod, o jeden bod větší než nula)=nekonecno takže když ubereme jeste jeden bod tak mame nulu, takže na druhé straně rovnice vyjde číslo o jeden bod větší: 1:0=nekonečno^-1+nekonečno

:)