-

19.1.2006 23:11 | jo, blog | poslední úprava: 22.11.2006 00:54

-        

Komentáře

[Michal Kubeček]

Blbost, pokud b=0 tak nemuzu z x=a/b udelat xb=a, resp. z x=a/0 udelat x*0=a, jelikoz v tomto kroce nasobim b, tudiz nulou. A nasobeni nulou neni ekvivalentni uprava.

Blbost to není. Násobení nulou sice není ekvivalentní úprava, ale to on nepotřebuje. Jemu stačí jen ta implikace zleva doprava a ta platí. Jsou-li si dvě čísla rovna, jsou si rovna i po přenásobení nulou. Naopak to samozřejmě neplatí, ale o tom řeč nebyla…

[hoboj]

vsak jo, ale kdyz mam x = a/0 a vynasobim to cely nulou tak mi napravo nezbyde a, ale 0. takze to bude 0=0

[Michal Kubeček]

Jednou úvahou vám tam vyjde nula, druhou úvahou a. Obě úvahy jsou korektní a právě tím dostanete spor. Striktně vzato ta úvaha nedokazuje, že nulou nelze dělit, ale že nelze operaci dělení na R rozšířit tak, aby byla definována i pro nulový druhý operand, ale přitom byly zachovány všechny vlastnosti, na které jsme zvyklí; zde konkrétně platnost vztahu b(a/b) = a. Ten je ovšem poměrně klíčový - právě kvůli němu se dělení vůbec zavádí…

[Michal Vyskočil]

No, uznávám, že nazývat tohle důkaz je dost přehnané.

Ale je to jak říkáš, protože já onen zápis pochopil ve smyslu, že stačí nějak dodefinovat dělení nulou a už to bude. A kouzlo matematiky (i pro mě, jako matematického analfabeta) je v tom, že také musíme logicky rozvést všechny důsledky takové akce.

[Marek Bernát]

Hmm, logicky rozviesť všetky dôsledky? A myslíš, že tých dôsledkov bude konečne veľa? Jeden zo základných poznatkov matematickej logiky je, že ak je teória správna, tak to o sebe nevie dokázať. Takže jedine analfabetovo šťastie je, že delenie nulou v R je taká strašná blbosť, že hneď vznikne spor

[Radek Šlesinger]

Goedelova veta o neuplnosti hovori o nemoznosti dokazat bezespornost nejake dostatecne slozite teorie pomoci ji same. Ovsem na ukazani spornosti ji nepotrebujeme.

[Marek Bernát]

Samozrejme, že ju nepotrebujeme pri tom spore a to som ani len nenaznačil.

Išlo mi o to, že Michal písal niečo o všetkých logických dôsledkoch. Vďaka Goedelovej vete vieme, že nás niečo také ako všetky logické dôsledky nemusí zaujímať, pretože vďaka Goedelovej vete platí presumpcia nevinny: kým nenájdeme spor, tak je teória "v podstate OK".

[machr]

ale to ze to funguje v nejaky specialni algebre jeste nic neznamena. Taky si klidne muzu nadefinovat algebru, kde bude mit smysl logaritmus zapornyho cisla, ale neznamena to ze ma smysl i v R.

[Michal Kubeček]

Tak na to jsem docela zvědavý. Hlavně na to, jak čistě algebraickým postupem zadefinujete logaritmus na reálných číslech. Nebo vlastně už ta reálná čísla, když na to přijde…

Jinak nadefinovat smysluplné rozšíření reálných čísel tak, aby bylo možné logaritmovat záporná čísla, samozřejmě lze. Příkladem jsou třeba komplexní čísla. Jen musíme opět rezignovat na určité vlastnosti logaritmu - obvykle je to požadavek, aby to byla jednoznačná funkce…

[machr]

to bych asi musel prvne dostudovat nejky matematicky teorie

coz ovsem nic nemeni na tom, ze je to teoreticky mozny a svym prispevkem sem se snazil rict, ze nadefinovat si muzu prakticky cokoliv a potom tvrdit, ze ostatni sou vedle, protoze v moji algebre funguje deleni nulou, logaritmy zapornych cisel, arcus sinus -5 a dokonce se tam daji zapsat iracionalni cisla jako zlomky

[Michal Kubeček]

to bych asi musel prvne dostudovat nejky matematicky teorie

To byste asi měl, chcete-li se k problematice kvalifikovaně vyjadřovat.

coz ovsem nic nemeni na tom, ze je to teoreticky mozny a svym prispevkem sem se snazil rict, ze nadefinovat si muzu prakticky cokoliv a potom tvrdit, ze ostatni sou vedle, protoze v moji algebre funguje deleni nulou, logaritmy zapornych cisel, arcus sinus -5 a dokonce se tam daji zapsat iracionalni cisla jako zlomky

Pominu-li fakt, že většina těch výdobytků, o kterých píšete, je mimo rámec algebry, uniká vám podstata toho, jak a proč se podobná rozšíření konstruují. Nedělá se to proto, abyste se mohl vytahovat, že máte definovaný arcsin -5 (třeba jako 27), ale proto, abyste dostal strukturu, která vám poskytne něco víc než ta původní, ale přitom zachová co nejvíc z toho, co nabízela ta stará. Ale to souvisí s výše uvedenou reakcí na první větu vašeho příspěvku…

[machr]

> ale proto, abyste dostal strukturu, která vám poskytne něco víc než ta původní, ale přitom zachová co nejvíc z toho, co nabízela ta stará.

a co presne ziskam tim, ze si nadefinuju deleni nulou jako nekonecno???? Kdyz pri tom stejne dojde ke 'ztrate informace' (nemuzu provest inverzni operaci)

[Michal Kubeček]

Především, jak už jsem napsal jinde, R* se zavádí z jiných důvodů než kvůli dělení nulou. Jenže se obávám, že bez aspoň semestru matematické analýzy nemá smysl, abych se vám ty důvody pokoušel objasnit.

[machr]

> Jenže se obávám, že bez aspoň semestru matematické analýzy nemá smysl, abych se vám ty důvody pokoušel objasnit.

matematickou analyzu sice nemam, ale mam za sebou diskretni matematiku (a tam temhle vecem s algebrama, grupama a podobnejma venoval vetsinu casu)

[Michal Kubeček]

Jak už jsem napsal, ty důvody nejsou algebraické ale topologické. Kvůli algebře by určitě nikdo nekonečno nezaváděl, tam víc problémů přináší než řeší.

[machr]

tak mam pocit, ze jeden mluvime o koze a druhej o voze ;)

spatne sem si precet vas minulej prispevek. To, proc se zavadi R* je me celkem ukradeny. Ja sem se jen snazil poprit potrebnost (uzitecnost) deleni nulou.

[Marek Bernát]

Užitočnosť delenia nulou je s R* úzko spojené, pretože pri delení nulou môžu niektoré limity nadobúdať neohraničene veľkú hodnotu. Z toho dôvodu je treba dodefinovať nekonečno a teda aj R*.

Ale to sa samozrejmé týka len limít. Z algebraického hľadiska to nemá žiadny význam.

[Marek Bernát]

Oprava: mal som na mysli limitné delenie 0, teda neobmedzené blíženie sa k 0

[xvasek]

Já jsem teda v analýze měl nekonečné limity i bez těchto nesmyslných rozšíření - tj. nad normálním R. Je nějaká výhoda v tom rozšíření?

[Marek Bernát]

Hehe, práve sme sa o tom bavili Výhoda je tá, že to zjednodušuje zápis. Netreba zvlášt rozoberať prípad, kedy limita diverguje k nekonečne veľkému číslu. Proste povieme, že ide k nekonečnu a zapíšeme to, ako keby konvergovala k ľubovoľnému reálnemu číslu.

A potom je zrejme kopec výhod v topológii, ale tú som zatiaľ nemal a pozeral som si ju len tak zbežne zo záumu, aby som vedel, čo to je, takže o tej vám fundovane určite viac povie Michal Kubeček.

[xvasek]

Můžu se teda zeptat, jak se ta limita s těma nekonečnama definuje? Já jsem to měl skutečně zvlášť, ale jak to zamotat do té standardní definice s delta-okolí mi není úplně jasné.

Limita funkce f(x) v bodě a je číslo L, pro které platí: ke každému kladnému číslu e existuje takové kladné číslo d, že |f(x) - L| < e pro všechna x, pro která platí 0 < |x - a| < d.

Tam ta nekonečna nenacpu. Co s tím?

[machr]

tak ted sem dohledal. ze sme meli i tu matematickou analyzu, ale za ty 2 roky uz si absolutne nevzpominam co se tam bralo.... Jediny na co si vzpominam, ze to prednasela nejaka zenska hrozne brzo rano

(ale pisemku sem napsal celkem dobre)

[hoboj]

to nevim jak byste udelal, ale *R neni nic umelyho a v praxi se pouziva. Na neco proste R nestaci. Uz nahore sem rek ze pro R neni deleni nulou definovano

[Marek Bernát]

Mýlite sa, *R je úplne umelé, rovnako ako nekonečno, ktoré nie je žiadnym objektom, ale iba vyjadrením skutočnosti, že daná hodnota je väčšia ako ľubovoľné reálne číslo.

Obidva symboly sa používaju len kvôli skráteniu a zprehľadneniu zápisu, ale nie sú vyložene nutné.

Podobne je na tom samozrejme aj delenie – stačilo by nám násobenie inverzným prvkom.

[Michal Kubeček]

R* není o nic umělejší než R, oboje je jen matematická abstrakce, která nám více či méně uspokojivě modeluje reálný svět. R* vychází v tomto modelu jako celkem přirozené rozšíření R. Ne ovšem kvůli dělení nulou, na to by bylo vhodnější rozšíření jedním nekonečnem jako u C. R* se zavádí spíše z důvodů topologických; že se pak pro přidané prvky +∞ a -∞ dodefinovávají i některé algebraické operace, je spíše z pohodlnosti, aby byla snazší a přehlednější formulace některých tvrzení.

Na druhou stranu to samozřejmě není jediný možný model. Z těch známějších bych zmínil třeba různé varianty nestandardní analýzy nebo Vopěnkovu alternativní teorii množin. Můžeme samozřejmě vést spory o to, který model lépe odráží realitu, ale všechno jsou to jen modely. R není o nic méně reálné než R*.

[Michal Kubeček]

Oprava: poslední věta měla samozřejmě znít: "R* není o nic méně reálné než R." Nebo možná názorněji: "R není o nic reálnější než R*."

[Marek Bernát]

Áno, obidvoje sú len matematické abstrakcie, ale išlo mi o to, že bez R* sa môžeme zaobísť a o veľa neprídeme, len bude treba rozobrať niektoré špeciálne prípady. Nie tak pri reálnych číslach. Ale poznám jedného algebraika, ktorý by povedal, že bez reálnych čísel sa vieme zaobísť rovnako dobre

Takže pod tým, že je niečo umelejšie mám na mysli, že je to dodefinované z čírej pohodlnosti, nie z nutnosti

[Michal Kubeček]

Dangerous path this way of thinking leads us… :-)

Zkuste se na to podívat z trochu jiného úhlu: ne tak, že si dodefinováváme nekonečna pro vlastní pohodlí, ale že v mnoha situacích (věta o supremu, (sekvenciální) kompaktnost, …) se nám nekonečno samo nabízí jako přirozená součást reálných čísel, na kterou jsme v původním modelu zapomněli. Stejně tak, jako bychom se obešli bez nekonečen za cenu trochu složitější formulace některých vět, bychom se totiž opravdu mohli obejít bez reálných čísel - mohli bychom pracovat s racionálními a všechna tvrzení o reálných přeformulovat pomocí řezů nebo cauchyovských posloupností. Ale to by samozřejmě bylo velmi nepřirozené a smysluplnosti takového modelu by to rozhodně nepřidalo. A stejně tak je tomu i s rozšířením reálných čísel o +∞ a -∞.

[Marek Bernát]

Do not underestimate the powers of the emperor or suffer your father's fate you will...

Opäť si s vami dovolím nesúhlasiť. Hovoríte, že nekonečno sa samé ponúka ako prirodzený objekt. A čo pridanie delenia 0? Pozrite sa, akú búrlivú debatu a pohoršenie vyvoláva to, že sa 0 nedá deliť. Budeme sa ho teda len kvôli tomu snažiť pridať do reálnych čísel? Samozrejme, že nie, lebo je to hlúposť. Podobne aj nekonečná nie sú prirodzená súčasť reálnych čísel, pretože nedovoľujú počítanie s nimi. Jediné, čo funguje, sú operácie vychádzajúce priamo z definície, .i.e: nekonečno je väčšie ako ľubovoľné reálne číslo. Z toho napríklad vyplýva, že môžeme v pohode sčítavať reálne čísla s nekonečnom. Ale odpočítanie nekonečna od nekonečna už nedefinujeme, pretože to prináša divné výsledky. Už vidíte, čo je na tom umelé?

Samozrejme, z topologického hľadiska nás nezaujíma nejaké sčítavanie a tam sa nekonečná ponúkajú ako prirodzené "ohraničenie" reálných čísel, ale pachuť umelosti pri počítaní s nimi v bežnej analýze zostáva.

A práve s tým rozšírením racionálnych čisiel si dovolím nesúhlasiť, pretože axióm súvislosti zďaleka nie je tak strelený, ako "nejaký" objekt, ktorý je dosť veľký. Reálne čísla nám napríklad konečne ponúkajú nájdenie uhlopriečky ľubovoľného štvorca, apod. Pritom o nekonečne ako o riešení nejakej rovnice môžeme hovoriť len veľmi ťažko

Ale inak v podstate celá táto debata nemá žiadny význam, ide len o subjektívne pocity

[Michal Kubeček]

Opäť si s vami dovolím nesúhlasiť. Hovoríte, že nekonečno sa samé ponúka ako prirodzený objekt. A čo pridanie delenia 0? Pozrite sa, akú búrlivú debatu a pohoršenie vyvoláva to, že sa 0 nedá deliť. Budeme sa ho teda len kvôli tomu snažiť pridať do reálnych čísel? Samozrejme, že nie, lebo je to hlúposť. Podobne aj nekonečná nie sú prirodzená súčasť reálnych čísel, pretože nedovoľujú počítanie s nimi. Jediné, čo funguje, sú operácie vychádzajúce priamo z definície, .i.e: nekonečno je väčšie ako ľubovoľné reálne číslo. Z toho napríklad vyplýva, že môžeme v pohode sčítavať reálne čísla s nekonečnom. Ale odpočítanie nekonečna od nekonečna už nedefinujeme, pretože to prináša divné výsledky. Už vidíte, čo je na tom umelé?

Už jsem to napsal asi třikrát, ale nezbývá než to zopakovat znovu: nekonečno (nekonečna) se k R nebo C nepřidávají z algebraických pohnutek, ale z čistě topologických. Kdyby šlo čistě o algebraické operace, nikdy bychom je tam nepřidávali, protože přinášejí více problémů, než kolik jich řeší. Z hlediska topologie (a tedy i analýzy) jsou ale naprosto přirozenou součástí reálných čísel. Jen s nimi nemůžeme počítat - nebo jen částečně. Ano, přiznávám, analýza je mi bližší než algebra, takže jsem se v minulém příspěvku dopustil určitého zjednodušení.

A práve s tým rozšírením racionálnych čisiel si dovolím nesúhlasiť, pretože axióm súvislosti zďaleka nie je tak strelený, ako "nejaký" objekt, ktorý je dosť veľký. Reálne čísla nám napríklad konečne ponúkajú nájdenie uhlopriečky ľubovoľného štvorca, apod. Pritom o nekonečne ako o riešení nejakej rovnice môžeme hovoriť len veľmi ťažko

Tady nemáte pravdu. Reálná čísla nevzniknou jako rozšíření racionálních pro účely odmocňování (nebo řešení algebraických rovnic). Pokud byste totiž chtěl zkonstruovat uzávěr racionálních čísel vůči řešení algebraických rovnic, dostanete algebraická čísla. Je to těleso, můžete tam odmocňovat (kromě sudých odmocnin záporných čísel), řešit algebraické rovnice (přinejmenším stejně dobře jako v reálných číslech). Ale nejsou to všechna reálná čísla, je jich dokonce jen spočetně mnoho. Proto jsem psal, že reálná čísla algebraickými úvahami nezavedete (a vlastně ani nepocítíte jejich potřebu), na to je potřeba topologie. Obě klasické konstrukce zavedení reálných čísel jsou čistě analytické - řezy jsou motivovány větou o supremu, cauchyovské posloupnosti jsou klasické zúplnění metrického prostoru.

[Marek Bernát]

Je mi ľúto, že ste museli niečo trikrát opakovať, asi som to poriadne nepreparsoval, to sa mi občas stáva

A máte pravdu, to s tým riešením algebraických rovníc bol veľmi zlý príklad. Napadol ma kvôli tomu, že keď nás prednášajúci učil reálne čísla, znázorňoval ich užitočnosť napríklad na konštrukcii odmocniny z 2. Nenapadlo ma už, že kvôli tomuto ich zrovna netreba.

Vidím, že mám veľké nedostatky a to som si myslel, že reálnym číslam celkom rozumiem. Takže mi zostáva jediné: učit se, učit se, učit se, jak pravil soudruh Lenin...

[Michal Kubeček]

Ono se o tom moc nemluví… :-) Ne, problém je asi v tom, že když se student poprvé setká s tím, že s racionálními čísly nevystačí, je odmocnina asi tak jediný způsob, jak mu to zdůvodnit. Když už má dostatečný aparát na to, aby pochopil že jde o víc, bere se tak nějak za samozřejmé, že mu tyto souvislosti dojdou, ale on obvykle nemá mezi flámováním a učením se na zkoušky na podobné úvahy čas. Také je to možná tím, že k filosofování o podstatě matematiky tíhnou spíše množináři a zástupci diskrétních oborů obecně, analýzníci se na to většinou dívají trochu spatra…

[Radek Šlesinger]

To je behem behem poslednich 2 mesicu uz treti diskuse (z toho druha na abc), kde se resi deleni 0. Nevim, co na tom tolik lidi fascinuje.

Jak je videt, da se puvodni struktura rozsirit a neco jako "deleni 0" tam nadefinovat, ale pak uz to neni normalni deleni ve smyslu nasobeni inverzi. Uz jsem to tak musel nazvat jednou, to je proste algebraicka likvidace telesa realnych cisel.

[Marek Bernát]

Multiplikatívna grupa reálnych čísel neobsahuje 0 a teda ani jej inverzný prvok a preto sa nedá deliť 0.

Potom zostáva už len otázka, že prečo sú reálne čísla zadefinované práve týmto spôsobom. Odpoveď na túto otázku nechávam na autorovi blogu, možno ho napadne spôsob ako ich pomocou pár axióm zadefinovať lepšie.

Takže záverom a v zhode s matikárkou: v reálnych číslach sa deliť 0 proste nedá a to je stručná a správna odpoveď a všetky ostatné kecy majú podobnú podstatu, ako to, či existuje nekonečno a či svet vznikol pred 6000 rokmi...

[houska]

..ja myslim ze mate vsichni pravdu!

...krome me...

[#2453]

Nedavno jsem na wiki dostal jako nahodnou stranku http://en.wikipedia.org/wiki/-0 a priznam se ze mne to celkem dostalo, jelikoz jsem vubec nemel tuseni ze neco takovyho existuje

T.

[Zafod]

Mohl bych se zeptat, jaké je poslední číslo před nekonečnem?

[hoboj]

ono v podstate nekonecno neni ani cislo jako takovy, spis jako symbol. jakekoliv realne cislo je mensi nez oo. at bys scital realna cisla jak chces, nikdy se do nekonecna nedostanes

[Michal Kubeček]

Nic takového není. Ale kdybyste se zeptal, jaké je první číslo za nekonečnem, pak by v určitém kontextu odpověď zněla "ω+1"…

[Marek Bernát]

A môžete ten kontext bližšie rozviesť? To viete, som človek zvedavý...

[Radek Šlesinger]

Neco byste mohl najit v tomto ucebnim textu zhruba od strany 12.

[Marek Bernát]

Ďakujem. Škoda, že som zatiaľ nemal teóriu množín, takže takéto skočenie do stredu nejakého textu ma trochu zmiatlo, ale našťastie tomu ako tak rozumiem, takže to nie je stratené

[kaaja]

Mohu ja se zeptat jake je posledni cislo pred 0 (v R)?

[sofr]

Takže ten, kdo tvrdí, že dělit nulou nelze, je demagogický propagátor a kretén, zatímco ty, když zadefinuješ dělení tak, že to s původním významem slova už nemá mnoho společného, a pak tvrdíš, kdovíjak nulou dělit nejde, jsi co? Osvícený? Nebo jak tomu mám rozumět? Co si vlastně představuješ pod pojmem demagogie?

Přijde mi, že bys měl minimálně šetřit silnými slovy.

[xvasek]

Jo.