Tramvaje – úloha pro ZŠ

28.1.2013 21:48 | Ostatní

V dnešní diskuzi bylo zmíněno několik jednoduchých úloh, přidávám další.

Rychlou chůzí jdu podél tramvajových kolejí. Každých 8 minut mě předjede tramvaj jedoucí v mém směru a každé 3 minuty mě mine tramvaj jedoucí proti mně. Tramvaje v obou směrech mají stejný interval, jaký?        

Komentáře

[David Jaša]

Mají tramvaje v obou směrech i stejnou rychlost? :)

[kralyk z abclinuxu]

Došel jsem k rovnici 11v_chodec = 5v_tramvaj. Je na tom něco, nebo jsem zas vykouzlil nějakou blbost?

[kralyk z abclinuxu]

No vychází mi to 4,36_ minut.

Ale jestli to je tramvaj 22 nebo 18, tak je to stejně jedno, stejně jezděj, jak se jim zrovna (ne)chce...

[Radek Miček]

To je správně.

[h3poun]

u mně taky tak: 48/11

[jose17]

pocas 24 minut (najmensi spolocny nasobok 8 a 3) stretnem celkom 11 elektriciek (8 ma predbehne, 3 ma takmer zrazia). tychto 11 elektriciek je na trati dokopy 48 minut. preco? ked ma prva elektricka predbehne je moj cas i celkovy cas elektriciek rovny 8 minutam, ked ma predbehne druha elektricka ja sice idem 16 minut, no elektricky su na trati 8+16, pri tretej je to 24 minut mojej chodze, no 8+16+24 (48). preto 48/11.

[luky]

To vyjde jen nahodou, zkuste si vymenit casy za 10 a 20, pak vasi uvahou - lcm(10, 20) = 20, potkam 3 tramvaje, kdyz me 1. predjede, je cas 20 a 20/3 < 10, takze je to zjevne spatne.

[petr]

Tak si najdi nějaké pravděpodobnostní rozložení, nejlépe odpovídající intervalu tramvají 22 a 18 a máš z toho úlohu pro VŠ

[Visgean Skeloru]

5 minut, ale nejak jsem o tom nepremyslel..

[Visgean Skeloru]

Respektive jelikoz jedou obe stejne rychle tak muzeme chotcovu rychlost pricitat / odecitat:

t-c=5 t+c=8

c=8-t t-(8-t)=5 2t-8=5 t=13/2

ale to jsou docela random napady

[Blaazen]

Máš tam chybku. t-c=3 a ne 5. Když to dosadíš, tak ti vyjde 11/2 stejně jako nám. :)

[luky]

A jak jste k tomu dospeli? Ja pouzil uvahu, ze draha, co tramvaj ujede za 8 minut, je stejna, jako co ujede za interval + ja ujdu za 8 minut, a to co ujede za 3 minuty, odpovida tomu, co ujede za interval - to, co ja ujdu za 3. Takze to urcite nebude aritmeticky prumer intervalu.

[Radek Miček]

Představte si konkrétní situaci, kdy chodec jde rychlostí v_chodec = 5 km/h, tramvaj jede v_tram = 20 km/h a vzdálenost mezi dvěma těsně po sobě jedoucími tramvajemi je s = 10 km.

V okamžiku A, kdy chodce předjíždí nějaká tramvaj, víme, že tramvaj T, která vyjela těsně po ní, je od chodce vzdálena 10 km (kdyby se chodec zastavil, musí tato tramvaj ujet 10 km, aby ho dojela). Aby tramvaj T chodce dojela, musí ujet 10 km plus ještě to, co chodec ujde od okamžiku A.

Označme čas t_{po směru} (měřeno od okamžiku A), po který bude tramvaj T dojíždět chodce. Pak dráha, kterou tramvaj ujede je s + t_{po směru}*v_chodec a musí se rovnat t_{po směru}*v_tram. Z toho dostaneme t_{po směru} = s / (v_tram - v_chodec) = 2/3 h = 40 min.

Dále spočteme t_{proti směru} = s / (v_tram + v_chodec) = 2/5 h = 24 min. A t = s / v_tram = 1/2 h = 30 min.

Pokud jsem počítal dobře, tak je vidět, že interval tramvají není aritmetický průměr t_{po směru} a t_{proti směru}.

[Jardík]

Nikdy nic nejede stejně rychle. Zadání je neúplné, nevím, jestli nějaká tramvaj někde přibržďovala, jestli zrychlovala, zastavila (a na jak dlouho), jestli třeba mezi dvěma tramvajemi nezačalo pršet, nezmokli koleje a nezměňilo se nějaký to tření, ...

[Jardík]

Taki nevým, jestly Jardýk umý Česki.

[Gonio-]

5,5 min ? ale časy na zastávkách bývají obvykle v celých minutách.

[Blaazen]

Taky hlasuju pro pět a půl. I když ve fyzice a matice asi není prostor pro demokracii...

[Petr Tomasek]

I ve fyzice a matice zalezi na vykladu...

[pavlix]

Ale tenhle příklad je naštěstí dostatečně jednoznačný, pokud předpokládáš stejnou rychlost tramvají. To je snad jediné, co tam chybí říci explicitně.

[Člověk z Horní Dolní]

Kolik urazim za 8 min + vzdalenost mezi tramvajemi = kolik urazi tramvaj za 8 min:

vMe * 8 + distTram = vTram * 8

Vzdalenost mezi tramvajemi = kolik urazim za tri minuty + kolik urazi tram za 3 minuty:

distTram = vMe * 3 + vTram * 3

Z rovnic se vyjadri distTram a vTram a pak se jenom spocita t = distTram / vTram = 4.3636... min.

[David Jaša]

Zkusil jsem si to graficky (s/t graf, tramvaje se potkávají v 0/0; chodec má nohy do x , tramvaje po směru jsou lomítka, tramvaje proti směru zpětná lomítka):

s
[dejme tomu, že metry :)]

  |  \       /     \       /
8 | - \  -  /  ---  \   xxX
  |    \   /         xxx /
  |     \ /        xx \ / |
  |      X       xx    X  |
  |     / \   xxx     / \ |
3 | -- /   Xxx       /   \
  |   /   xx\       /     \
  |  / xxx   \     /       \
  | /xx    |  \   /       |
  |xx          \ /
0 +-------------X-----------
  |\           / \
  | \      |  /   \       |

  0  1  2  3  4  5  6  7  8   t [min]
                I

a vychází to na jednu rovnici: I = 3 min + 3 m / (8 + 3) m * (8 - 3) min = 3 + 3/11 * 5 = 4,3636 min

[failer]

To sem fakt musíš cpát GVD?

[David Jaša]

Ne, to je podobnost trojúhelníků.

[Blaazen]

Opravdu, je to 48/11 min. Na svou obhajobu musím říct, že jsem z venkova a nemáme tu tramvaje, jinak bych to určitě dal napoprvé. :)

[Xerces]

Tak sice bych na to asi nepřišel, ale prostým dělením mi vyšlo 4,36 periodických což teda nevím jak by se zapsalo do trafikonu. Takže to musí být zjevně špatně.

[Jaromír Stehlík]

Nebo prostě klasicky harmonickým průměrem.

2 / ((1 / 3) + (1 / 8)) = ~4.36

[jas]

Vieme, ze v = s/t. Nech index 1 oznacuje prvu elektricku a index 2 druhu elektricku. Za t1 a t2 budeme chciet dosadit 8 a 3 minuty, kedze su to takmer jedine informacie, co sme dostali.

Draha, ktoru prva elektricka prejde za 8 minut je rovna drahe medzi elektrickami + drahe, ktoru prejde chodec za 8 minut. Draha, ktoru prejde elektricka za 3 minuty je rovna draha medzi elektrickami minus draha, ktoru prejde chodec za 3 minuty. Nech scX je draha, ktoru prejde chodec za X minut.

Teda dostavame rovnice v1 = (s1 + sc8)/t1 a v2 = (s2 - sc3)/t2. Za predpokladu, ze su rychlosti elektriciek a chodca konstantne, rychlosti oboch elektriciek su rovnake a rozostupy medzi nimi su konstantne je mozne jednotlive veliciny 2. elektricky vyjadrit pomocou 1. elektricky: v2 = v1 [rychlost oboch elektriciek je rovnaka], s2 = s1[drahy medzi elektrickami su rovnake], sc3 = 3/8 * sc8[draha za 3 minuty su 3/8 drahy za 8 minut pri konst. rychlosti]. Dalej nech pocitame cas t v minutach, teda t1 = 8, t2 = 3.

Tym dostavame rovnice v1 = (s1 + sc8)/8 a v1 = (s1 - 3/8*sc8)/3. Pre zistenie casu medzi elektrickami potrebujeme vyjadrit pomer medzi drahou medzi elektrickami (s1) a rychlostami elektriciek (v1), teda sa potrebujeme zbavit sc8. Po priprave na sucet rovnic pre zbavenie sa sc8 dostavame 8*v1 = s1 + sc8, 8*v1 = 8/3*s1 - sc8. Sucet rovnic da 16*v1 = 11/3*s1. Pomer s/v vyjadrime ako s1/v1 = 48/11. Teda cas t medzi elektrickami je 48/11 min.

btw: Ak by sme pouzili sc8 = sc3, dostaneme ako vysledok 11/2, teda standardne chybne riesenie. Toto riesenie, teda, zabuda na to, ze draha chodca, ktora sa v jednom smere pripocitava je vacsia (kedze sa pripocitava draha za 8 minut pri konstantnej rychlosti) nez draha, ktora sa odpocitava pre elektricku v opacnom smere.

[Peter z vesnice bez vodovodu]

A dráha je rovná alebo sú tam aj zákruty?

[mustafa]

interval 4.36 je kravina, priste se jdi radsi kouknout do jizdniho radu kdyz uz po tech kolejich jdes. Intervaly jsou pet minut ve spicce, navic tam nemas co delat.

[:::]

Tohle je jednoduchej priklad Dopplerova Efektu.

Mame dva konce trate. Kazdy vyzaruje tramvaje s frekvenci f_0, ktere se siri prostredim rychlosti c.

Pozorovatel se pohybuje konstantni rychlosti v smerem k jednomu konci trate. Tento pohyb pozorovatele zpusobi rozdilny posun ve frekvenci tramvaji z obou zroju.

V pripade konce trate od ktereho se vzdaluje, vidi tramvaje s frekvenci f_1 = 1/8 min**-1

V pripade konce trate ke kteremu se priblizuje, vidi tramvaje s frekvenci f_2 = 1/3 min**-1

Plati:

(1) f_1 = f_0 * (c - v) / c

(2) f_2 = f_0 * (c + v) / c

Vyjadrim f_0 z (1):

(3) f_0 = f_1 * c / (c - v)

Vyjadrim f_0 z (2)

(4) f_0 = f_2 * c / (c + v)

Prave strany (3) a (4) se musi rovnat:

(5) f_1 * c / (c - v) = f_2 * c / (c + v)

Rovnici (5) vynasobim (c+v)*(c-v)/c:

(6) f_1 * (c + v) = f_2 * (c - v)

Z (6) vyjadrim v:

(7) v = c * (f_2 - f_1) / (f_2 + f_1)

Dosadim za f_1 a f_2:

(8) v = 5/11 * c

Dosadim f_1 a v do (3) (mozno dosadit i do 4):

f_0 = 1/8 * c / (c - c*5/11) = (1/8 * c) / (6/11 * c) = 11/48 min**-1

Vypocitam periodu z frekvence:

T_0 = 1/f_0 = 48/11 min

[Dalibor Smolík]

No, jestli je tohle úloha pro ZŠ, jdu se přihlásí do zvláštní školy ..

[:::]

Ja myslim ze chytrejsi zaci ZS by to zvladli. V podstate je to jenom dosazovani do rovnic a uprava.

Navic to nemusis pocitat pres frekvence jako ja, ale muzes pocitat primo periodu. Tim by se to asi jeste trochu zjednodusilo. Ja jsem pouzil frekvence zamerne abych ukazal tu spojitost s Dopplerovym efektem.

Takze v konecnym dusledku potrebujes znat jenom:

t = s / v

a umet tam dosadit.

[luky]

No, jestli je tohle úloha pro ZŠ, jdu se přihlásí do zvláštní školy ..

Tendle typ uloh jsme delali v devitce a vyresit jsme to dokazali vetsinou jen dva lidi ze tridy Mozna to byl jenom takovej bonus, jsem posledni rocnik, co mel devet trid, ale jen osmilety osnovy.

[Bedňa]

Nechce sa mi nad tým rozmýšľať, ale malo to byť 5,5minúty, len vedieť rýchlosť tramvaje, tak viem ako rýchlo ideš. Bolí ma hlava idem spať. Skurvenááááááááá zima.

[Bedňa]

Aha to som dojebal, no nič