Limitka logaritmu

11.1.2010 19:18 | Přečteno: 3504× | Další věci | poslední úprava: 11.1.2010 19:18

Počítám si příklady z matematiky na středeční zkoušku a narazil jsem na jeden, u kterého nevím co s ním.

Vím, že by měl vyjít 0 (podle grafu), ale jak ho spočítat nemám páru. Snad někdo ještě opráší své znalosti ze školy a bude vědět jak na to.
Ps.: Dají se nějak vkládat vzorce přímo?        

Komentáře

[pc2005]

Řekl bych, vydělit čitatel i jmenovatel x (vykrátí se) a pak dostaneš 1 / (1 + 1/x). 1/x se blíží nule, takže to je ln (1/1), což je nula.

[Saljack]

jj to je ono taková kravina a už nad tím sedím hodinu. Já věděl, že to bude něco lehkého. Dík.

[Jarda D.]

Hodinu a uz pises sem?? Chlape ja prosedel dny nad prikladem, nez jsem se odvazil nekoho otravovat...

[1john2]

ne kazdy ma tolik casu.. zalezi jakym zpusobem studuje a jak kriticka pro nej bude matika...

[Jirka P]

Tak ono sedět hodinu nad tímhle a dny nad příkladem je dost podobné...

[Ladicek]

Limity už jsem chvála bohu hezkých pár let neviděl, ale nefungoval by na tohle i L'Hospital? Je to nekonečno/nekonečno, takže dx, a to ln(1/1) mám hned. Ty shůry spadlé konstrukce, kterak z toho podílu udělat něco rozumného, jsem vždycky nesnášel.

[Ladicek]

Hm, akorát jsem zapomněl na ten logaritmus, že. Nic jsem neřekl – i když, logaritmus podílu…

[pc2005]

No ale L'Hospital je i tak dost overkill . Btw já už jsem neměl limity ani nepamatuju ale byly tam i nějaký vlastnosti jakože lim(fn(x)) = fn(lim(x)), ne?

[Ladicek]

Overkill to možná trochu je (i když derivovat se naučí i cvičená opice), ale aspoň je deterministický a nemusím věštit z křišťálové koule, jakou úpravu mám provést tentokrát

[pc2005]

V nederministickém automatu je síla . Nicméně když se člověk naučí v těch příkladech vidět ty vzory (využití neuronové sítě ), tak to přinese obrovské zrychlení.

[magurek]

Kristalovou kouli netreba, staci nebejt kreten. (Aneb jak asi pocita limity matematicky software?)

[Ladicek]

Bohudíky nejsem matematický software, abych musel mít v hlavě zadrátovanou sadu heuristik, které bych jednu po druhé vyzkoušel. Jo a jestli považujete matematický software za inteligentní, tak jsem rád, že jsem kretén

[pc2005]

abych musel mít v hlavě zadrátovanou sadu heuristik

A přitom si stačí dojít do tý správný přihrádky . (Sorry neodolal jsem)

[kralyk z abclinuxu]

ale byly tam i nějaký vlastnosti jakože lim(fn(x)) = fn(lim(x)), ne?

Přesně tak. Nejlepší je si vyndat ln před limitu a pak zbytek buď vydělit x nebo zderivovat, to už je asi jedno...

[Ladicek]

Okay, budu na to pamatovat, až mne někdo dokope k dalšímu studiu

[Saljack]

Tím jsem si právě nebyl jistý a nemohl jsem to nikde najít.

[Jirka P]

Ty sis nebyl jistý, že logaritmus (aspoň v okolí 1) je spojitá funkce?

[Saljack]

To ne. Nebyl jsem si jistý s tím jestli můžu udělat limitu vnitřku logaritmu.

[Jirka P]

Takže něco jako věta 6 tady?

[Marek Hycko]

Presne tak, odborne sa to nazyva limita zlozenej funkcie lim f(g(x)) = f(lim g(x)). (Za istych predpokladov, lim g(x) je realna a je v definicnom obore funkcie f.) Tieto predpoklady bohate stacia na vypocet ziadanej limity.

[Michal Kubeček]

Nechci vám brát iluze, ale předpoklady, které jste uvedl, ani zdaleka nestačí.

[Michal Kubeček]

Tedy abych to upřesnil: sice by stačily na výpočet této limity, ale rozhodně nestačí k tomu, aby ta věta platila.

[Vin]

To by se mohlo stát, že se limitou vnější funkce budeš blížit přes bod, ke kterému ses chtěl blížit. (když lim x->a g(x) = b, lim x->b f(x) = c, ale g(x) nabývá někde na všech okolích a, tak se nemůžeš blížit podle funkčních hodnot g(x) (jako bodů)).

Kdyby stačilo jen tohle, tak by se limity funkcí omezily jen na spojité funkce - což nechceme, takže buď je ještě f(x) spojitá v bodě a (a limitou je funkční hodnota), anebo g(x) nenabývá na žádném svém okolí b hodnoty a. V případě, kdy se chceš blížit k nekonečnu (jako tady), tenhle problém nenastane (do funkčních hodnot nekonečno nepatří - aspoň ne tady).

[Jirka P]

anebo g(x) nenabývá na žádném svém okolí b hodnoty a.

Skutečně takhle? Nemělo by stačit "existuje okolí b, kde g(x) nenabývá a".

[Vin]

Máš samozřejmě pravdu, to jsem měl na mysli, ale špatně jsem to napsal

[bl4z4]

Shodou okolností dělám též zkoušku z matematiky :), a pokud jsem se dobře učil, tak L'Hospitalovo pravidlo lze použít pouze na 0/0.

[Jirka P]

Tak to ses asi učil blbě, no...

[Michal Kubeček]

Nejen. A i kdyby, ostatní se na tento typ dají převést. Většinou je ale pohodlnější řešit to jiným způsobem.

[Saljack]

On je spíš problém, že ty limity jsou třeba vymyšlený tak, že l'H je nejlepší varianta.

[Michal Kubeček]

Na některých školách možná, u nás to bývalo spíš obráceně.

[Saljack]

Tak ty příklady byly přesně jak jsem říkal, jeden "úvahou" a jeden na l'H. To samé u logaritmů.

[qiRzT]

Nebo rovnou použít pravidlo pro limity podílu dvou polynomů stejného stupně - v nekonečnu je to poměr koeficientů u nejvyšších mocnin. Tedy jedna a ln(1) = 0.

[kotyz]

neptal se tu loni nekdo nahodou na uplne stejnej priklad? ten vzorecek je mi nakej povedomej ...

[amigapower]

To je vzoreček? kdybych to viděl někde na zdi, řek bych že je to grafity mně stačej 2 písmena v rovnici a sem v prdeli...

[kotyz]

taky si propad z matiky jako ja?

[kralyk z abclinuxu]

l'Amigapowerova věta: existuje-li limita funkce f a obsahuje-li zápis fce f dvě a více písmenek, je lepší se na to vykašlat, páč to stejně nevýde. V případě, že f diverguje nebo je z divergence podezřelá, bude nejlépe ve výpočtu použít množinu kvalitních lahváčů

[init_daemon]

Příloha:

• Limity.pdf (573694 bytů)

Snad pomoze

[Kuky]

A wolfram znáš?

[Saljack]

Neznám, ale tam jsem teď našel výsledek, který jsem věděl. Já potřeboval vědět jak na to přijít.

[kralyk z abclinuxu]

Neznám, ale tam jsem teď našel výsledek, který jsem věděl. Já potřeboval vědět jak na to přijít.

No právě Hint: tlačítko 'show steps'.

[Saljack]

Paráda to je super

[Jara]

drobna chyba v linku, tento je snad spravny.

ale pocita to zbytecne slozite, postup z 1. komentare je vhodnejsi..

[Luboš Doležel (Doli)]

Obávám se, že ve zkoušce z Y01MA1 budou o dost těžší příklady, viz stm-wiki.

[Saljack]

Ten je z dnešní.

[Luboš Doležel (Doli)]

Hezký. Hlavně že do semestrálních písemek nám učitelka strkala totální zabijáky.

[Saljack]

Já teda abych pravdu řekl, když jsem viděl co bylo v dnešní, tak jsem se zhrozil. Byly tam úplně jiný příklady než na stm a subjektivně mnohem těžší. Ty semestrální mi přišly celkem v pohodě, protože člověk věděl co tam bude. Ono je to taky hrozně o štěstí jakou verzi člověk dostane a jak mu sedne. Někdy se člověk zasekne i u takové kraviny jako je tenhle příklad (ono to bylo zjistěte asymptoty grafu). Ono překvapivě nikoho nezajímá, když napíšeš výsledek, prostě musíš mít postup.

[jas]

Tu v podstate staci trivialny trik s pridanim "+1-1" do citatela a ciastocnim podelenim.

[finc]

K cemu je to dobry?

[Vin]

http://cs.wikipedia.org/wiki/Kalkulus#Aplikace

[Saljack]

Tohle bylo na spočítání asymptoty grafu ale k čemu je ta asymptota (krom toho, že si poté lépe dokážeme představit jak graf vypadá) netuším. On taky jeden doktorand co nás měl na cvika říkal, že žádnou matematiku co se naučil na vysoké nikdy nepotřeboval a že si vystačíme s matematikou ze střední.

[Platonix]

Nešlo by to řešit takto: fci uvnitř logaritmu lze řešit například pomocí l'Hopitalova pravidla a vyjdee že zlomek se limitně blíží k 1. Potom můžeš argumentovat tím, že ln je fce spojitá na definičním intervalu (0,inf). Je tak možné tvrdit, že blíží-li se argument ln asymtoticky k 1, pak se bude ln asymptoticky blížit k 0, protože ln(1) = 0.

[Michal Kubeček]

fci uvnitř logaritmu lze řešit například pomocí l'Hopitalova pravidla

To vždycky, když potřebujete zabít komára, používáte protiletadlové dělo? :-)

[Platonix]

Ne, ale když chci zabít komára tak nepoužiju nějakou speciální pinzetu a na mouchu zase jinou pinzetu a na jiný hmyz zase nějakou jinou pinzetu... Prostě vezmu plácačku a mám jistotu. Co je na l'Hopitalovi tak hustý? Je to super věc, je to matematicky dokázané a pokryje to uspokojivě celou řadu případů a je to naprosto jednoduché na používání.

[Michal Kubeček]

Jednoduché na používání? Jedině pokud je vaším cílem pokud možno nepřemýšlet a jen mechanicky aplikovat nalinkovaný postup. Jinak je ve skutečnosti většinou jednodušší použít jinou techniku. Nemluvě o tom, že i v případě, že L'Hospitalovo pravdilo vede k cíli (a nevede k němu zbytečně složitě), není z něj na rozdíl od jiných technik moc vidět, proč to vychází zrovna takhle.

[qiRzT]

Ještě bych doplnil (doufám, že si to pamatuju dobře a nekecám blbosti), že pokud neexistuje limita po aplikaci L'Hospitalova, neznamená to, že neexistuje původní limita. Neboli pravidlo platí, pouze pokud původní limita existuje.

[Michal Kubeček]

Myslíte to dobře, ale tu poslední větu jste napsal obráceně. L'Hospitalovo pravidlo říká, že pokud jsou splněny ostatní předpoklady a existuje limita f'/g', pak existuje i limita f/g a je stejná. Ale limita f'/g' nemusí existovat, i když f/g limitu má: triviální příklad je (sin x)/x v +∞. Nebo se může stát, že příklad L'Hospitalovým pravidlem sice teoreticky spočítat jde, ale pracnost je taková, že se to ručně udělat v podstatě nedá, třeba (sin sinh x - sinh sin x)/x^7 v nule.

[qiRzT]

Dík za upřesnění, už je to dlouho, co jsem to naposled potřeboval. Jo a prosím nevykat

[koco]

Asi bych nad tím taky chvíli poseděla...ale strávila jsem dneska celej den nad limitama, takže když použiješ (jak mu důvěrně přezdíváme ) Hopitala na závorku, vyjde ti 1 a limita ln1=0