0.99999999... tedy 0.9 peridický == 1 ??? (diskuse)

[jas]

Možno preto, že to je jedna.

[pozortucnak]

moc anglicky neumím...

takze 2.9999999999... je presne 3

7.99999999999... je přeně 8?

[Abraxis]

Ano. Jednoduse receno:

1 = 1/1 = 9/9 = 9 * 1/9 = 9 * 0.111... = 0.999...

[xxx]

A jak se matematici vyrovnali s tim, ze 0.1 periodickych je 1/9? Tu uvahu vyse chapu, ale tohle mi tam chybi. Je za tim neco vic, nez to ze 0.1p je definovano jako 1/9?

[Abraxis]

Mozna bude pro tebe "citelnejsi" 1/3 = 0.333...

[tomas]

Je na to vic zpusobu, treba "postupne deleni" (nebo jak to nazvat). Pamatuju si, ze jsme to bylo hezky vysvetlene v nejake matematice pro zakladky, ale bohuzel uz nevim ve ktere. Mam jich par doma (kdyz jsem nebyl na konci roku ve skole a nevratil je ), zkusim se po tom kouknout.

[xxx]

Nakonec me nejvic pomohla metoda, ta co je tady nize. Ze mezi 0.9p a 1 neni zadne dalsi realne cislo. Tudiz to odporuje tomu, ze mezi dvema realnimi cisly je vzdy dalsi realne cislo (ha to jsme meli dokazat v M1), a tudiz ze to musi byt stejna cisla.

[Andrej]

Označme

a := 1,111...
b := 0,111...

Intuice nám říká, že a = 10 * b. Pak už jednoduše spočítáme:

    a = 10 * b
a - b = 9 * b
    1 = 9 * b
    b = 1 / 9

No a hotovo. Ještě pořád tady něco chybí? Ano, chybí. Ve skutečnosti jsem to neobjasnil ani o trochu víc, protože a = 10 * b je stejně silný předpoklad jako 0,111... = 1 / 9. Pouze je v lepším souladu s naší lidskou intuicí. Toť vše.

[xkucf03]

S intuicí bys u zkoušky z matematiky moc neobstál

[Michal Kubeček]

Dokud si tady pořádně nezadefinujeme, co ten zápis 0.999... přesně znamená, bez intuice to nepůjde.

[Andrej]

Jistě, můžeme si zadefinovat geometrickou řadu. Pak si můžeme odvodit vzorec pro částečný součet geometrické řady a z něj vypočítat jeho slavnou limitu. Taky to vyjde 1 a nebude to IMHO o nic méně „intuitivní“.

[disorder]

toto som hladal pred par tyzdnami

[Jan Drábek]

Ano 0.9 periodický je 1!

[Jan Drábek]

0.9P = x 9.9P = 10x 9.9P -0.9P = 10x-x 9.0 = 9x x = 1.0

[Dejv]

Jezkovy voci, lidi, 0.999999999999999999999999999 prece NENI 1 a je uplne jedno, kolik tam tech devitek je. 1 z toho vznikne az zaokrouhlenim!

Samozrejme bezne programy neumi pocitat s dostatecnou (ctete: nekonecnou) presnosti, aby to mohly rozlisit, ale to jeste neznamena, ze 0.99999999999999999999 == 1

Co myslite, 0.5 == 1/2 ?? No vidite, vetsinou ano. Ale ZX-Spectrum vam bude tvrdit, ze ne. Na vine je zpusob reprezentace desetinnych cisel a konecna presnost vypoctu a z ni plynouci zaokrouhlovani.

Dejv

[disorder]

no vidis, a presny opak vraj Cantor pouzil pri dokazovani nespocitatelnosti R ;)

[Martin]

Tady máš hnedle několik důkazů, stačí si jen vybrat. Třeba ti to rozšíří pohled na svět. :P

[manasekp]

ty cisla cos napsal samozrejme nejsou == 1 ale 0.9periodickych == 1 patrne je, kdysi sem na to videl jasny a snadno pochopitelny vypocet ktery si bohuzel nepamatuju . Stejne tak 1/nekonecno asi bude == 0

[alblaho]

Stejne tak 1/nekonecno asi bude == 0

No, nekonečno není reálné číslo. Ale když to bude příslušná limita, tak máš samozřejmě pravdu.

[xkucf03]

Stejne tak 1/nekonecno asi bude == 0

Ne, není to nekonečno. Jen můžeme říct, že 1/x se pro x jdoucí k nekonečnu blíží nule.

[Luboš Doležel (Doli)]

Rozdíl mezi 0.999... a 1 je nekonečně malý, takže vlastně žádný Jedna třetina je 0.333... a tři třetiny jsou 1, ale i 0.999... (ale to je jen variace na to, co tu napsali jiní).

[Jan Drábek]

Žádné zaokrouhlení se nekoná (viz důkazy na wikipedii). (Mimochodem nekonečno není číslo)

[Petr "Glubo" Sýkora]

No o tom, že nekonečno není číslo se dá polemizovat, třeba klasické rozšíření R na R*, tedy přidání kladného a záporného nekonečna je klasický a logický krok při práci s limitamy a derivacemi na reálných funkcích, a tedy nekonečno, ať už kladné, či záporné je číslo na R*.

[Martin]

Není.

[Martin Böhm]

Ale no tak, nebuď tak ostrý. :o) Nebo jste někde dělali pořádnou definici čísla? Já jí zatím neviděl... v Algebře ji nedělají, možná na Teorii čísel, tam jsem zatím nebyl. Ale i tak, myslím si, že je to s přihlédnutím ke kontextu šumák.

[Martin]

Co myslíš tou "pořádnou definicí čísla"? Nic takového nám nejspíš neukazovali, ale třeba větu o tělese reálných čísel jsme měli hned na jedné z prvních přednášek z matematické analýzy. Bylo to tuším hned po ukázce několika základních metod matematických důkazů. Pokud bychom připustili to, že je nekonečno reálným číslem, tak by v tom lepším případě začaly platit zrůdnosti typu 1 = 0, a v horším případě by se rozbil vesmír.

[Michal Kubeček]

"Je nekonečno reálné číslo (prvek R)?" a "Je nekonečno číslo?" jsou dvě různé otázky. Třeba 2+i také není reálné číslo, ale v jistém smyslu to číslo je.

[Martin]

To je samozřejmě pravda. Šlo mi o to, jestli vůbec může být nekonečno nějakým číslem, a v případě že ano, pak jakým. Doteď jsem víceméně předpokládal, že samotný pojem "číslo" značí prvek nějakého tělesa. Nekonečno ale prvkem žádného tělesa nemůže být, protože by v opačném případě z pár základních axiomů sčítání vyplynuly výše zmíněné legrační věci, takže jsem z toho vyvodil, že nemůže být žádným číslem.

[Michal Kubeček]

Ono jde právě o to, jak pojem číslo zadefinujete a jestli vůbec má smysl takový pojem definovat.

[Martin]

Normálně to asi moc valný smysl nemá, ale v tomhle vláknu bych se bez nějaké definice toho, co by to to číslo vlastně mohlo být, asi neobešel. Takže bych to uzavřel s tím, že jsem měl pravdu.

[Ignor]

Tak to by mě zajímalo, v čem jste to měl vlastně pravdu. Protože tohle má velký dopad na praxi - třeba když mi někdo řekne, že jsem číslo, tak vůbec nevim, jestli tím náhodou nemyslí, že bych moh bejt i nekonečno.

[Martin]

Tys mi tady celou dobu chyběl, kde jsi byl?

Pravdu jsem měl v tom, že nekonečno prostě není číslo, ať už číslo znamená cokoliv.

[kralyk z abclinuxu]

jestliže číslo znamená nekonečno, pak nekonečno bude nejspíš číslo :P
Myslím, že nemá cenu snažit se nějak všeobecně definovat číslo...
Dycky záleží na konkrétním použití.

[David Jaša]

A co Riemannova koule?

[Martin]

Co je s ní?

[David Jaša]

Na ní nekonečno není číslo?

[Martin]

Pokud narážíš na to, že se "severní pól" Riemannovy koule "promítne" na Gaussovu rovinu "kdesi v nekonečnu" tak to o tom, jestli je nekonečno číslem nebo není, moc nevypovídá. A to i v případě, že bychom se shodli na tom, co to to číslo vlastně je. Takže už bych toho radši nechal.

[JS]

Coz je ovsem v praxi celkem zbytecne, realna cisla takto rozsirovat, protoze pak vam vznikne kompaktni mnozina, ktera je homeomorfni s intervalem <0,1>. Je to zbytecne usili.

[Michal Kubeček]

Zbytečné to rozhodně není, jsou i jiné vlastnosti než topologické.

[JS]

No, algebraicke vlastnosti R to spis komplikuje, dela se to hlavne kvuli limitam, tedy topologickym vlastnostem R. Ovsem byl bych ochoten pripustit rozsireni komplexni roviny o nekonecno jako uzitecne, ale komplexni analyzu temer vubec neznam.

[Michal Kubeček]

Formulace (i důkaz) řady vět je jednodušší a praktičtější v R* než v R, nemusíte řešit tolik výjimek.

[hikikomori82]

0,999...          = X             (vynasobime rovnicu 10)
9,999...          = 10*X          (odpocitame 0,999...)
9,999...-0,999... = 10*X-0,999... (na pravej strane substituujeme 0,999... za X, vid uplne prvy riadok)
9                 = 10*X-X
9                 = 9*X           (delime deviatimi)
1                 = X             (0.999... = 1) QED

Iny sposob:

1/3 = 0,333...  (vynasobime *3)
1   = 0.999...

0,999... je PRESNE ROVNE 1 (aj bez akehokolvek zaokruhovania a nepresnosti)

[mikezt]

ZX Spectrum bude tvrdit za -ano-! Skuste si to.

[Mrkva]

0.9 periodickych = 9*(1/9)=1 :) Takze je to spravne :)

[Rix]

heh taketo srandy sme brali na strednej :) je to jedna este sa tu nespomenul vypocet podla limity suctu geometrickej postupnosti alebo ako sa to nadava :) s=a1/(1-q) kde a1 je prvy prvok teda 0.9 a q je kvocient teda 0.1 :)

[menphis]

poradna ?

[oroborus]

Myslim, ze z "Linuxovej poradne" by mu to admini vymazali a dakovali za pochopenie.

[Michal Vyskočil]

No kdyby založit subportál matematika (a byl schválen) ...

[xkucf03]

Matematická poradna by IMHO nebyla od věci.

[Luboš Doležel (Doli)]

Jakou by to vůbec mělo souvislost s Linuxem?

[Martin Böhm]

Asi žádnou. Pojďme raději založit abcvědy.cz - jak tam přejdou ti chytří lidé odsud (viz moji oblíbení autoři níže), už bych na tenhle portál sotva páchnul :o)

[xkucf03]

Přibližně stejnou jako databáze nebo programování.

[Luboš Doležel (Doli)]

To nemůžeš myslet ani trochu vážně.

[Jirka P.]

Proč? Google test:

 database...........492 M
 linux+database.......8 M tj. asi 2 %
 programming........196 M
 linux+programming...12 M tj. asi 6 %
 mathematics.........77 M
 linux+mathematics....2.5 M tj. asi 3 %
 science............665 M
 linux+science.......62 M tj. asi 10 %

Takže souvislost mezi linuxem a matematikou určitě je(*), i když přiznávám, spíš v druhém směru (spíš matematik používá linux než linux se používá k matematice). Zajímavý je ten výraz science - přebíjí ve všem database i programming.

(*) termíny, které spolu nesouvisí, dávají mnohem menší absolutní i relativní čísla.

[Luboš Doležel (Doli)]

Science je i computer science a matematické programy můžete diskutovat v linuxové poradně.

[xkucf03]

Chápu, že je potřeba udržet relativně úzký tématický záběr tohoto serveru, jinak by se z něj stal server o všem a zároveň o ničem. Respektuji i, že byla vybrána témata jako databáze a programování (jsou mi i bližší než matematika). Ale osobně u nich nevidím o moc větší souvislost s Linuxem: databáze se dají provozovat i na jiných OS, programuje se na všech OS, chodí sem lidi, které databáze a programování zajímá, ale i takoví, kterým neříká vůbec nic (Linux používají např. jako desktop, nebo spolehlivou platformu pro webový/poštovní server) s matematikou by to bylo podobné...

Možná by to šlo řešit štítkem „Matematika“. Už jednou jsem tu navrhoval, že by bylo hezké oddělit skutečné blogy (článek, popis nějakého řešení) od těch čistě dotazovacích (to, co by formálně patřilo do poradny, ale uživatel to píše do blogu, protože ví, že v poradně by mu to bylo zcenzurováno) – např. tím, že by se rozšířil záběr poradny nebo např. tím, že by vznikla kategorie dotazovacích blogů, které samy o sobě žádnou informaci nepřinášejí a hodnotné jsou max. až ve chvíli, kdy pod ně někdo do komentářů napíše řešení.

[Luboš Doležel (Doli)]

Ale osobně u nich nevidím o moc větší souvislost s Linuxem: databáze se dají provozovat i na jiných OS, programuje se na všech OS, chodí sem lidi, které databáze a programování zajímá, ale i takoví, kterým neříká vůbec nic (Linux používají např. jako desktop, nebo spolehlivou platformu pro webový/poštovní server) s matematikou by to bylo podobné...

Matematika především vůbec nesouvisí s operačními systémy (Linuxem), ani s tím, na jakém železe jsou provozovány. Je to asi tak taková souvislost, jako by tu někdo chtěl poradnu pro kuchaře, protože vám přece u Linuxu musí vyhládnout.

[06078]

a bude poradna pro kuchaře? Ovšem s tímto musím souhlasit s Lubošem, protože matematika nemá skoro žádné spojení s Linuxem, kromě toho, že jsou pro něj nějaké programy. Ale to už patří do linuxové poradny. Matiku tedy ne.

[Käyttäjä 11133]

Inu já nevím kde by byl kernel bez matematiky...

[Luboš Doležel (Doli)]

To aby pak bylo matematické fórum i na kuchařském portálu, protože bez matiky by si nespočítali, kolik toho do jídla nasypat

[Käyttäjä 11133]

Myslím, že průměrný linuxový kernel požaduje ke svému smysluplnému provozu řádově více matematiky, než průměrná kuchařka ke svému smysluplnému využití. Ale mi se jednalo jen o ohrazení se proti tvému jistě nemístnému tvrzení.

[Luboš Doležel (Doli)]

To bych rád tu matiku v jádře, aby na to bylo třeba poradnu, rád viděl. Je ti jasné, že pár XORů a nějaká pointerová aritmetika je dost slabé

[Jirka]

Co třeba datové struktury (různé druhy stromových struktur, např.)? Všechny algoritmy mají matematický základ (hlavně dneska, kdy je in formálně dokázat správnost algoritmu a tyto důkazy dodávat pro automatické verifikační systémy, atd.). Dále třeba využití matematiky při modelování paralelně běžících procesů (petriho sítě). Nedávno řešené plánovače budou mít určitě taky mocný matematický základ.

Já tedy nejsem vývojář kernelu, ale tak nějak bych tam tohle všechno (a mnohem více) očekával.

Ale je pravda, že na ábíčku by se takový subportál/poradna asi neuživil(a). To už spíš nějaké ty politické "vejšplechty".

[Luboš Doležel (Doli)]

Nepřipadá mi to ani trochu jako styl matiky, jaká se třeba řeší tady. To, cos tady popsal, by patřilo do programovací poradny .

[Käyttäjä 11133]

Ale to nic nemění na tom, že to JE a BUDE matematika. Já přece neříkám, že by se měla zakládat nějaká matematická poradna na ábíčku to mi je vcelku jedno, já se jen ohradil proti tvému tvrzení.

[Jirka]

To asi jo. Je to matematika, která se používá při programování. Na stylu moc nezáleží, protože na tomto portálu by to vždy souviselo s programováním.

Důkaz toho, co se řeší tady, jsme brali v prváku v diskrétní matematice, vedle matematické logiky a lineární algebry.

[kralyk z abclinuxu]

Matematická poradna by IMHO nebyla od věci.

+1, to by se šiklo, ale řešit tam takový voloviny jako jestli 0.9p == 1 tak nevim nevim...
Já bych měl spíš pár otázek ohledně integrování...

[Martin]

Doporučuju tohle fórum. Mně pomohlo docela v pohodě projít Matematickou analýzou I, II a III a to jsem ani nepoložil jediný dotaz, protože pár let přede mnou se tam pravidelně vyptával nějaký mně neznámý kolega z Matfyzu (a shodou náhod mu dělaly potíže podobné věci jako mně ).

[JS]

Je to skutecne tak, jsou to dve reprezentace stejneho cisla, 1. Spouste lidi se to zda prekvapive, protoze maji intuitivni predstavu, ze existuje cosi jako "nekonecne mala" cisla (nebo nekonecne blizka). Ale to je (u realnych nebo racionalnich cisel) zcestna predstava (ackoliv nekonecne mala cisla definovat muzeme, ale je to slozita technicka zalezitost a jak rikam, jde o neco jineho nez realna cisla, a nema zadne prakticke aplikace).

Vtip je v tom, ze realna (nebo i jen racionalni) cisla maji tu hezkou vlastnost, ze mezi kazdymi dvema ruznymi existuje dalsi, odlisne. Pokud by 0.99p a 1 byla jina cisla, uz by zadne dalsi cislo mezi nimi nebylo, tudiz, aby tato vlastnost byla splnena, musi to byt stejna cisla.

Jeste podotknu, ze jine reprezentace stejnych cisel jsou bezne u zlomku - napr. 2/4 nebo 3/6 jsou totez co 1/2. Takze to neni prakticky problem.

[Kvakor]

Je to skutecne tak, jsou to dve reprezentace stejneho cisla, 1. Spouste lidi se to zda prekvapive, protoze maji intuitivni predstavu, ze existuje cosi jako "nekonecne mala" cisla (nebo nekonecne blizka). Ale to je (u realnych nebo racionalnich cisel) zcestna predstava ...

Intuitivni predstavy vetsinou funguji jen tehdym kdyz se aplikuji ve stejnych podminkach, jako se vytvorily, tj. ve svete, kde se nekonecna nevyskytuji, rychlosti a hmoty jsou male, vlastni vlnova delka teles zanedbatelna, teploty nizke a prostor nezakriveny.

Jak se ale zacnou aplikovat na podminky, kde nekonecna existuji (a to dokonce ruzne velka), rychlosti jsou vysoke, hmoty enormni, vlnova delka vetsi nez vlastni veliksot castice, teploty se radeji meri v elektronvoltech a krivost prostoru je silena, tak intuitivni predstavy zalostne selhavaji.

A od urcite hranice uz zadne predstavy nefunguji, protoze to, co si mame predstavit, je prilis odlisne od nasi kazdodeni zkusenosti. Resenim je a) vykaslat se na presnost a pouzit neco, co uz se predtavit da (metoda pouzavana pro vysvetlovani laikum), b) vykaslat se na predstavovani a pouzivat jen matematiku (metoda pouzivana vedci) a c) vykaslat se na realitu a zblaznit se (jako se to stalo treba vyse zminenemu Georgu Cantorovy).

[miro]

Tak tenhle příspěvek mě potěšil, dávám 10 bodů

[JS]

To je sice hezke, ale matematicke axiomy a definice jsou definovane jednoznacne a nezavisle na svete. Jina vec je, co prijimame jako prakticky system axiomu. Napriklad axiom nekonecna z teorie mnozin (ze existuje nekonecna mnozina) prijimame celkem bezne, ackoli zadne nekonecno v realnem svete nikdo nikdy nevidel. A delame to proto, ze spousta matematiky pak vychazi pohodlneji. To same plati i v tomto pripade - matematika je proste pohodlnejsi, pokud neexistuji zadna "nekonecne mala" cisla. Neco podobneho plati i o uroven vys o axiomu vyberu (nektere jeho dusledky jsou dost kontraintuitivni, presto vsak mene, nez dusledky jeho negace).

[Jirka P]

To je sice hezke, ale matematicke axiomy a definice jsou definovane jednoznacne a nezavisle na svete. Jina vec je, co prijimame jako prakticky system axiomu.

Přesně tak.

Napriklad axiom nekonecna z teorie mnozin (ze existuje nekonecna mnozina) prijimame celkem bezne

No, a přesto běhají po světě lidé, kteří tento axiom popírají (Google: Mueckenheim). MMCH, axiom nekonečna (naštěstí) neříká, že existuje nekonečná množina, ale říká, že existuje množina přirozených čísel (a zároveň ji definuje). První způsob by byl, jakožto nekonstruktivní, dost k ničemu.

[kkaarreell]

MMCH, axiom nekonečna (naštěstí) neříká, že existuje nekonečná množina, ale říká, že existuje množina přirozených čísel (a zároveň ji definuje). První způsob by byl, jakožto nekonstruktivní, dost k ničemu.

Nicmene i takove (nekonstruktivni) axiomy existuji, treba velmi popularni axiom vyberu.

[MJ]

To není tak úplně pravda: Klasický axiom nekonečna (alespoň v Zermelo-Fränkelově axiomatice) říká, že existuje množina, která obsahuje všechna přirozená čisla. Může ovšem obsahovat i libovolné další prvky.

[Jirka P]

Jo, ale vzhledem k ostatním ZF-axiomům je to z hlediska dokazatelnosti jedno

[MJ]

To je pravda, ale každopádně bych takový axiom nepovažoval za plně konstruktivní (byť se nakonec ukáže, že je se svou konstruktivní verzí ekvivalentní).

[Kvakor]

Jenze zatimco pro nas "postizene" mastematikou neni nekonecno nic divneho, je pro ostatni lidi necim fascinujicim a zaroven trochu desivym. Obzvlast kdyz je vrcholem jejich vzdelani reseni kvadraticke rovnice, a to jen v oboru realnych cisel ...

[David Jaša]

Co to je za podmínky, kdy se teplota měří v jednotkách energie?

[Kvakor]

Vetsinou dost extremni - jadra hvezd, vnitrek tokamaku nebo treba ranna udobi vesmiru. V jistych ohledech je to vyhodnesjis nez udaje v Kelvinech, ponevac je hned jasne, s jakymi energiemy castic se pracuje. Viz Wikipedie.

[David Jaša]

Tušil jsem, že jde o energii částice, ale jistý jsem si nebyl.

[Petr "Glubo" Sýkora]

Mimo jiné většina fyziky plazmatu. Vzhledem k tomu, že teplota samotná je v zásadě (ano, diskutabilní, nicméně mnoho oborů fyziky na ni tak pohlíží) definovaná přes energii na částici/stupeň volnosti částice, tak přechod od kelvinů k energetickým jednotkám znamená přenásobení konstantou.

Když si vezmeme takové tokamaky na jadernou fůzi, tak v odbornějších kruzích člověk prakticky nenarazí na údaj, že se ten a ten tokamak dostává na teplotu tolik a tolik stupňů, ale údaj, že se dostává na teplotu tolik a tolik keVů je běžný.

[Ondrej 'SanTiago' Zajicek]

(ackoliv nekonecne mala cisla definovat muzeme, ale je to slozita technicka zalezitost a jak rikam, jde o neco jineho nez realna cisla, a nema zadne prakticke aplikace).

Existuji modely realnych cisel, ve kterem se vyskytuji i nekonecne mala realna cisla. Nedovolil bych si rict, ze by to nemelo zadne prakticke aplikace - Newton a Leibniz zrejme tento model (neformalne) pouzivali. Pozdeji, kdyz se matematika vic precizovala, tak se nevedelo, jak tenhle model presne formalizovat, abychom se vyhli sporum, tak se od nej opustilo a definice i tvrzeni v matematicke analyze se formuluji pomoci zname epsilon-delta metodiky. Precizni formalizace modelu s infinitezimalnimi realnymi cisly se povedla az ve dvacatem stoleti A. Robinsonovi (znama jako nestandardni analyza), nicmene vysledek je IMHO dost esotericky a, prestoze zahrnuje intuitivni koncept infinitezimalnich cisel a mnoho dukazu je v nem jednodussich, tak je v mnoha ohledech dost proti intuici a moc se neujal.

[Michal Kubeček]

Mimochodem, neměl by ten součet vyjít 1 i v nestandardní analýze?

[Ondrej 'SanTiago' Zajicek]

Mel, nestandardni model je konzervativni rozsireni standardniho modelu - tvrzeni o standardnich realnych cislech tam plati stejna.

[Ondrej 'SanTiago' Zajicek]

Presneji receno, nestandardni teorie mnozin je konzervativnim rozsirenim standardni teorie mnozin (ZFC s axiomem vyberu), pro vztah prislusnych modelu se pouziva jiny pojem, na ktery si ted nevzpomenu.

[Michal Kubeček]

Pozor, nestandardní analýza (Robinson) je něco jiného než alternativní teorie množin (Vopěnka). Vopěnka ve své knize píše, že na alternativní teorii množin začal pracovat právě proto, že se mu nelíbilo, že Robinson ty principy aplikuje až na úrovni analýzy, zatímco podle něj by měly funguovat už od základů, tedy od teorie množin.

[Ondrej 'SanTiago' Zajicek]

Pozor, nestandardní analýza (Robinson) je něco jiného než alternativní teorie množin (Vopěnka).

Ma odpoved se tykala nestandardni analyzy budovane v ramci nejake z nestandardnich teorii mnozin (treba UT (Boffa) nebo IST (Nelson)), puvodni Robinsonovu nestandardni analyzu take moc neznam.

[Michal Kubeček]

Myslel jsem si to, ale nestandardní analýzu jsem nikdy moc nezkoumal, tak jsem se raději zeptal.

[KS]

Na tom je zajímavé to, že jedno číslo má dvě reprezentace. Třeba u čísel o základu φ existují čísla mající více reprezentací.

[JS]

To je IMHO trosku diskutabilni, protoze ty jine reprezentace nejsou legalni asi podobne, jako neni legalni pouzivat vyssi cifry nez 9 v desitkovem zapisu. Jinak podobny jev, totiz ze konecna reprezentace ma i analogickou reprezentaci s periodickym rozvojem nastava i pro zlaty rez.

[Kvakor]

Pokud vim, jedina soustava, ve ktere nejsou periodicke rozvoje, je soustava zalozena na mocninach prvocisel (pro predstavu si spuste utilitku factor). Bohuzel je pro bezne pocitani ponekud nesikovna ...

[Tomáš]

Dneska se bavím. Kolik lidí se tu dokáže ztrapnit tím, že kafrá do ničeho, čemu nerozumí. Jediný správný postřeh byl, že pokud je číslo v počítači reprezentováno konečným počtem cifer (což většinou je, pokud člověk nesáhne k nějakému symbolickému zápisu), tak se to opravdu nerovná. Jinak je to tuším první ročník gymnasia.

Dá se k tomu dojít i takto (důkaz správnosti rozdílu přenechám laskavému čtenáři):

a = 0.99999999999...

10a = 9.99999999999...

po odečtění

9a = 9

a = ???

[alblaho]

No tak mě by tedy ten tvůj postup nepřesvědčil

První ročník gymnázia to není, tam se učí kvadratická rovnice. Ale je to první ročník VŠ, kde se v matematické analýze pořádně řekne, co to vlastně jsou reálná čísla, co je to limita a tak.

[Michal Kubeček]

První ročník gymnázia to není, tam se učí kvadratická rovnice.

Kam ten svět spěje…

[_Samael_]

Spíš kam spěje definice gymnázium, na 8mi leté se hlásí pětina toho co před čtyřmi roky(důvodem je změna zákona --> opakování zkoušek), na čtyřleté berou bez zkoušek. Jinak potvrzuji že někde se to ještě bere...

[Tomáš]

Myslel jsem 4leté gymnasium, pokud se to nemyslí samou sebou. Kvadratickou rovnici jsem bral na základní škole, pokud mě už paměť neklame a nepotřebovali jsme na to celý rok.

Psal jsem Gymnasium, protože v době, kdy jsem studoval, to ještě bylo Gymnasium (čili odkaz na klasické vzdělání), teď jsem to zkontroloval na webu a je z toho Gymnázium (škoda). Stejně si myslím, že se to bere nanejvýš v druháku, pak už začíná horší kalibr.

[alblaho]

Kvadratická rovnice se bere někdy v deváté třídě základky a ne všechny školy to stihnou. U přijímaček na SŠ to nebývá. Chodil jsem na čtyřletý gympl a kvadratickou rovnicí jsme se tam v prváku zaobírali, celý rok asi ne.

[vencour]

Podle toho jak co ... jestli X1, X2 = +B ..., nebo i přímo odvození rozkladu? My měli na gymplu odvození v prváku, na obsah osmičky na základce nepamatuju.

[MJ]

Jednoduchá úvaha: dvě reálná čísla jsou různá, pokud je jejich rozdíl nenulový. Kolik činí rozdíl mezi 0.9P a 1?

[JS]

To ovsem neresi intuitivni predstavu, kterou maji nekteri lide a kterou jsem zminil vyse, totiz ze existuje cosi jako "nekonecne male nenulove cislo".

[MJ]

Takovým lidem vždy říkám, ať mi ho napíší.

[Mrkva]

O,Op1? :D

[Martin Böhm]

Taky jsem to kdysi říkával :o) Přijde mi, že když tu periodu moc nechápeš, tak Ti nepřipadá zvláštní, že je nekonečno nul a na konci jednička :o)

[Mrkva]

Proc tam je asi ten smajlik, ze? :) Ne, vazne to nemyslim... Ale taky jsem si kdysi myslel, ze to muze existovat.

[Michal Kubeček]

Tomu, kdo něco slyšel o ordinálních číslech, to zvláštní připadat nemusí, to je prostě ω+1. :-) Ale aritmetika by se nad tím asi budovala dost špatně.

[JS]

No, jako sofisticky argument je to fikane, ovsem na druhou stranu, stejne dobre byste jim mohl zadat, aby vam napsali existujici cislo 10^-(10^10), a to by asi take nemohli. Takze by mohli namitnout, ze je proste prilis male, aby se dalo zapsat.

Ne vazne. Dokazu si predstavit topologii, ktera vznikne, pokud k realnym cislum pridame jeste tato obskurni "nekonecne mala" cisla. Ovsem problem je, ze to neni topologie realnych cisel - patrne nebude splnovat nektery z oddelovacich axiomu a nebude tedy metrizovatelna, coz bude asi velka vada. Problem je, ze tito lide se v techto uvahach tak daleko nedostanou - proste znaji spatne realna cisla a konec.

[Kverulant]

Matematika je ako viera v Boha: kazdy verí v niečo iné...

[qiRzT]

Pokud si dobře vzpomínám na jistou tlustou knihu od pana Jarníka, tak jste všichni vedle. On tam tvrdí, že něco jako 0,9 periodických není definováno, takže to vlastně neexistuje. On i ten důkaz, že se to rovná 1 je takový pochybný, přespříliš se snaží operovat s nekonečnem jako s jakýmsi prapodivným číslem....

[Jirka P]

Při vší úctě k Vojtěch Jarníkovi, ale co je/není definováno, je otázka toho, kdo si to definuje, ne toho, kdo to někam napíše. Navíc, 0.9p==1 je jen logickým důsledkem definice sémantiky desetinného rozvoje, ať už definujete číslo reprezentované desetinným rozvojem jako součet řady nebo supremum množiny jeho prefixů.

[Michal Kubeček]

Obávám se, že si vzpomínáte špatně. Spíš se tam mluví o tom, že aby byl desítkový zápis reálného čísla jednoznačný, je potřeba v těchto případech (konečný rozvoj vs. periodická devítka) jeden z těch dvou zápisů zakázat. Pochopitelně je to ten s periodickou devítkou.

[cecilconrad]

Tady je to vysvetlene lepe pro lidi.

[Peter H.]

Jednoznačne, hlavne s tým nekonečne malým nenulovým číslom uprostred

[Ladicek]

Ono to není úplně blbé, pokud vím, i takovou aritmetiku kdosi konzistentně definoval. Ale moc se to neujalo. Současná matematika bere 0.9p za rovné 1, protože to tak prostě funguje nejlíp

[saly]

Na zlomek se převést nedá, jelikož to imho není číslo racionální ...

[saly]

P.eS.: Tomu, že 0.9P == 1 prostě neuvěřím ...

[Martin]

Jak se dá nevěřit důkazům? Jestli některému z nich nerozumíš, tak to řekni rovnou. :P

[saly]

Rozumím jim, oboum dvoum, nebo kolik jich tu bylo uvedeno. To ale nic nemění na tom, že to prostě čistě logicky nemůžu vzít na vědomí ...

[Martin]

[jas]

Potom im nerozumiete(z odpovede tipujem, ze obvzlast nerozumiete pojmu realne cisla).

[saly]

Aspoň si myslím, že tomu matematickému důkazu rozumím. Zato, pokud to vezmu selským rozumem, tak abych z 0.9P dostal jedna, tak bych k tomu přičetl 0.0P1

[jas]

A to je ten problem, k tej jednotke to cislo nikdy nedojde, cize pricitavate 0 ;) .

[miro]

Není racionální? A kolik je 9*1/9?

[saly]

Viz můj příspěvek výše ...

[miro]

V žádném vašem "příspěvku výše" nevidím odpověď na to, kolik je 9*1/9 nebo aspoň na to, proč považujete číslo vyjádřitelné podílem dvou celých čísel za iracionální

[saly]

Samozřejmě, že jedna, ale! Ten váš předpoklad, že je 0.9P == 1 a => je to racionální číslo se zakládá na důkazech, které ač mnozí považují za matematicky korektní a pokud na ně kouknu, tak vidím, že to vychází, ale nevěřím jim :)

[Michal Kubeček]

A co takhle: snadno se ukáže, že číslo v desítkovém (nebo ji jakémkoli jiném) zápisu je racionální právě tehdy, když je ten zápis buď periodický nebo konečný (což je vlastně také periodický). Takže i podle tohoto kritéria je to číslo racionální.

[miro]

Oni staří Řekové pro změnu nevěřili v existenci iracionálních čísel. Pověst dokonce traduje, že když jeden z Pythagorových žáků elegantním způsobem dokázal, že 2^0,5 nemůže být racionální číslo, byl svržen z lodi do moře, aby strašlivá pravda nevyšla najevo. Samozřejmě najevo nakonec vyšla, protože matematika postavená výhradně na racionálních číslech byla v konečném důsledku neudržitelná (nebo aspoň - měřeno dnešním pohledem - velmi omezená). Ono taky popření iracionálních čísel znamenalo počátek stagnace starořecké matematiky, stagnace, ze které už antičtí myslitelé nevybředli.

Věřit tomu samozřejmě můžete ale nemusíte, otázka spíš zní, zda to, že 0,9p = 1 vede ke konzistentní matematice. Já matematik nejsem, ale pokud vím, matematikům skutečnost, že 0,9p = 1, žádné problémy nečiní a konzistentnost matematiky to nenabourává. Může být, že někdo přijde s konzistentní matematikou, ve které 0,9p <> 1, ale asi to bude mít docela těžké, protože půjde proti proudu (a vytvořit konzistentní matematiku určitě nebude práce pro jednoho chlapa na dva večery).

[kkaarreell]

Ono taky popření iracionálních čísel znamenalo počátek stagnace starořecké matematiky, stagnace, ze které už antičtí myslitelé nevybředli.

Ja bych rekl, ze vybredli. Jen se od racionalnich cisel presunuli ke geometrii, kde takovy problem nebyl, a rozvinuli ji na uroven, kterou (dovolil bych si rict) za sva studia neobsahne ani vetsina technicky zamerenych vysokoskolaku.

[Käyttäjä 11133]

Ale tohle číslo zcela zjevně nevyjadřuješ podílem dvou celých čísel. Nebo toho ti připadá jako podíl dvou celých čísel? 9*1/9

[miro]

Pokud a a b jsou celá čísla, pak a / b je (z definice) racionální číslo (pro b <> 0). Pokud je c celé číslo a a / b je racionální číslo, tak c * a / b je číslo racionální nebo iracionální?

[Käyttäjä 11133]

A já snad reagoval na tohle? Já reagoval na

proč považujete číslo vyjádřitelné podílem dvou celých čísel za iracionální

A k tomu byla moje připomínka jistě správně mířená.

[miro]

No a 9*1/9 není číslo "vyjádřitelné podílem dvou celých čísel"?

[Käyttäjä 11133]

Rozhodně si k vyjádření čísla 9*1/9 nepoužil právě dvě čísla v podílu.

[Michal Kubeček]

To už nemůžeme brát jako známý fakt ani rovnost a(b/c) = (ab)/c ?

[miro]

Ano, napsal jsem to tak úmyslně, aby bylo vidět, že když nejprve spočítám 1/9 (= 0,1p), což je číslo nepochybně racionální, a potom výsledek vynásobím devíti (čímž dostanu 0,9p), musí být nutně 0,9p racionální číslo, a ne, že ne. Napsat rovnou 9/9, bude to evokovat spíš jedničku než 0,9p. Z čehož BTW vyplývá, že pokud by bylo 0,9p <> 1, tak by to znamenalo, že a(b/c) <> (ab)/c, čiže násobení a dělení by nebylo komutativní. Takže nevěřit tomu, že 0,9p = 1 vede IMHO k daleko absurdnější matematice, než když se 0,9p rovná jedné.

[Michal Kubeček]

čiže násobení a dělení by nebylo komutativní

To dělení opravdu není. :-) Násobení sice ano, ale tady to nepotřebujete.

[miro]

oops psalo mi to rychleji než myslelo :$ Měl jsem na mysli, že by bylo popřením komutativnosti násobení, kdyby a*(b/c) vedlo k jinému výsledku než (a*b)/c. Taky špatně?

[Michal Kubeček]

Spíš jde o asociativitu, je to vlastně rovnost (ab)d = a(bd), kde d je inverzní prvek k c (vůči násobení).

[miro]

Proto jsem nenapsal "vyjádřené" ale "vyjádřitelné"

[MJ]

Protože je to definice racionálního čísla (hint: ratio = poměr).

[miro]

Já jsem se ptal, proč saly považuje 0,9p za iracionální, .

[miro]

Pardon, první link má být sem. S definicí racionálního čísla a s pojmem "ratio" problém nemám.

[Martin Böhm]

Takovéto diskuze na mne vždycky působí jako první kapka deště po dlouhém suchu (plném politických osočování a spol). MJ, Santiago, Ladicek, Martin Petr, JS, a další moji oblíbení přispěvatelé ruší matematické mýty a přidávají k tomu kapku svého pohledu na matematický svět.

Na tohle budu s láskou vzpomínat, až to bude pryč :o)

[David Jaša]

Zapomněls na Michala Kubečka.

[Martin]

MJ, Santiago, Ladicek, Martin Petr, JS, a další moji oblíbení přispěvatelé ruší matematické mýty a přidávají k tomu kapku svého pohledu na matematický svět.

Tak to prrr! Co mezi výše jmenovanými dělá ten lůzr?

[vencour]

Vim, že jsme tohle někde (algebra, analýza?) brali, zapsat číslo s konečným počtem desetinných čísel jako zlomek a je mi divný, že to tu nikdo nezmínil ... tušim, že to mělo něco do činění s Taylorovým rozvojem?

[JS]

Zapsat cislo s konecnym poctem desetinnych cisel jako zlomek je snadne - proste vezmete rozvoj, date ho do citatele, a do jmenovatele napisete 1 a tolik nul, kolik je cifer toho rozvoje, a pak uz staci jen kratit. Periodicke rozvoje se resi trosku slozitejsim ale v zasade podobnym zpusobem. S Taylorovym rozvojem to opravdu nema nic spolecneho.

[Michal Kubeček]

Něco by i mohlo. Např. jeden z možných důkazů té rovnosti by spočíval v tom, že se hledá funkce, jejíž rozvoj je

  \sum_{n=1}^{\infty} 9x^n

ukáže se, že je to 9x/(1-x), a za x se dosadí 1/10. Ale uznávám, že je to vykonstruované dost uměle.

[vencour]

Budiž, stejně tak zadání mohlo znít: napište číslo X jako Y s chybou menší než Z a ta chyba se pak našla v tom rozvoji někde. (Chvíli jsem pátral v poznámkách a Rektorysovi, bez úspěchu)

[Michal Kubeček]

Přibližná aproximace čísla zlomkem se dělá spíš přes řetězové zlomky; je to jednodušší a navíc se IIRC dá dokázat, že takto získaný výsledek je v určitém smyslu nejlepší.

[Jan Včelák]

Já to vždy dělám takhle: 0,33333... chci převést na zlomek

a = 0,3333...
10*a - a = 3 --> a = 3/9 = 1/3

Doteď jsem to považoval za dostačující pro všechna čísla.

a = 0,123123123...
1000*a - a = 123 --> a = 123/999

Ale s tou 0,999... mi to nějak nevychází

a = 0,999...
10*a - a = 9 --> a = 1

[JS]

Viz prvni prispevek.

[Nevim proč jsem píšu, ale jsem ospalej xD]

Pokud zapsat jako zlomek, co takhle 0.9 periodických děleno 10 periodických? (0.99999..../100000....) Koho by to napadlo xD

[Nevim proč jsem píšu, ale jsem ospalej xD]

teda chtěl jsem říct 9 periodických děleno 10 periodických.. Co po mě chcete? jsou 4 ráno